Open 981377660LMT opened 7 months ago
环和群都是代数结构的概念，它们都有一些共同的特性，但也有一些关键的区别。
群（Group）：群是一个集合，配上一个二元运算，满足以下四个条件：
封闭性：对于群中的任意两个元素，其运算结果仍在群中。 结合律：对于群中的任意三个元素a、b、c，有(ab)c = a(bc)。 单位元存在：群中存在一个元素e，对于群中的任意元素a，都有ea = ae = a。 逆元存在：对于群中的任意元素a，都存在一个元素b，使得ab = ba = e，其中e为单位元。 环（Ring）：环是一个集合，配上两个二元运算（加法和乘法），满足以下条件：
对于加法，环是一个阿贝尔群（满足群的定义，且运算满足交换律）。 对于乘法，环满足封闭性和结合律。 乘法对加法满足分配律：对于环中的任意三个元素a、b、c，有a(b+c) = ab + ac，(b+c)a = ba + ca。 主要区别在于，环有两个运算，而群只有一个运算。环的加法运算形成一个阿贝尔群，乘法运算不一定形成群，因为乘法运算不一定存在单位元和逆元。
981377660LMT
commented
7 months ago 981377660LMT
commented
7 months ago
环和群都是代数结构的概念，它们都有一些共同的特性，但也有一些关键的区别。
群（Group）：群是一个集合，配上一个二元运算，满足以下四个条件：
封闭性：对于群中的任意两个元素，其运算结果仍在群中。 结合律：对于群中的任意三个元素a、b、c，有(ab)c = a(bc)。 单位元存在：群中存在一个元素e，对于群中的任意元素a，都有ea = ae = a。 逆元存在：对于群中的任意元素a，都存在一个元素b，使得ab = ba = e，其中e为单位元。 环（Ring）：环是一个集合，配上两个二元运算（加法和乘法），满足以下条件：
对于加法，环是一个阿贝尔群（满足群的定义，且运算满足交换律）。 对于乘法，环满足封闭性和结合律。 乘法对加法满足分配律：对于环中的任意三个元素a、b、c，有a(b+c) = ab + ac，(b+c)a = ba + ca。 主要区别在于，环有两个运算，而群只有一个运算。环的加法运算形成一个阿贝尔群，乘法运算不一定形成群，因为乘法运算不一定存在单位元和逆元。