Open AlexiaChen opened 3 years ago
先说同构吧，一般数学上讨论这个会更多一点，一般提到同构你就要明白，是在讨论两个代数结构的关系，同构即保持相同的结构(元素数量和运算)。比如，所有二元群都是同构的。就是从代数上看，二者本质不变，其本质是一样的，群元素可以各种各样，但是同构。
再对同构进行一点更严谨的描述吧，上面说了，同构是两个代数结构的关系，那么这个关系是什么呢？这个关系其实就是一个映射f，这个映射f满足一些性质:
举个例子，设f是群A到群B上的同构映射，那么群A和群B的集合之间双射，*和o分别是群A，群B上的二元运算，任意a, b ∈ A 且该映射保持(没破坏)群的二元运算，即: f(a*b) = f(a) o f(b)。
而同态更generalize，如果两个代数结构不同构，还是为了研究它们之间的关系，可以把条件不限制那么严格，就可以考虑它们之间保持(没破坏)运算的映射，也就是同构是同态的特例，同态限制少，那么会更好找。同态映射不是双射，也就是不是单射或不是满射。当映射不是满射的时候，就只用考虑映射的像(目标集合)，这个像是原来目标代数结构的子结构。例如，对于群同态的情况，同态的像集是一个子群。用子结构替换原来的代数结构，那么此时的同态映射就变成了满射。当同态映射不是单射时，不同的元素被映射到相同的元素。这时，可以把映射到同一个元素的不同元素看作是一样的(等价的)，这样我们就得到一个等价关系，叫商集合。在这个商集上诱导的同态映射就是一个单射了，这个同态映射从商集映射到原来的子结构上又变成了同构映射。也就是满足双射的同态就是同构，不然就是单同态或者满同态。
在密码学中，为了更方便的研究，所以放宽了一些限制，大部分用到的是同态，不强调同构。密码学上的同态也就是某个满足同态性质的函数(映射)，考虑两个椭圆曲线群(加法群)，上面的二元运算都是加法，那么就可以试图研究这两个群的关系，在它们之间找到一个同态函数H，H(x + y) = H(x) + H(y)。
先说同构吧，一般数学上讨论这个会更多一点，一般提到同构你就要明白，是在讨论两个代数结构的关系，同构即保持相同的结构(元素数量和运算)。比如，所有二元群都是同构的。就是从代数上看，二者本质不变，其本质是一样的，群元素可以各种各样，但是同构。
再对同构进行一点更严谨的描述吧，上面说了，同构是两个代数结构的关系，那么这个关系是什么呢？这个关系其实就是一个映射f，这个映射f满足一些性质:
举个例子，设f是群A到群B上的同构映射，那么群A和群B的集合之间双射，*和o分别是群A，群B上的二元运算，任意a, b ∈ A 且该映射保持(没破坏)群的二元运算，即: f(a*b) = f(a) o f(b)。
而同态更generalize，如果两个代数结构不同构，还是为了研究它们之间的关系，可以把条件不限制那么严格，就可以考虑它们之间保持(没破坏)运算的映射，也就是同构是同态的特例，同态限制少，那么会更好找。同态映射不是双射，也就是不是单射或不是满射。当映射不是满射的时候，就只用考虑映射的像(目标集合)，这个像是原来目标代数结构的子结构。例如，对于群同态的情况，同态的像集是一个子群。用子结构替换原来的代数结构，那么此时的同态映射就变成了满射。当同态映射不是单射时，不同的元素被映射到相同的元素。这时，可以把映射到同一个元素的不同元素看作是一样的(等价的)，这样我们就得到一个等价关系，叫商集合。在这个商集上诱导的同态映射就是一个单射了，这个同态映射从商集映射到原来的子结构上又变成了同构映射。也就是满足双射的同态就是同构，不然就是单同态或者满同态。
在密码学中，为了更方便的研究，所以放宽了一些限制，大部分用到的是同态，不强调同构。密码学上的同态也就是某个满足同态性质的函数(映射)，考虑两个椭圆曲线群(加法群)，上面的二元运算都是加法，那么就可以试图研究这两个群的关系，在它们之间找到一个同态函数H，H(x + y) = H(x) + H(y)。