kentzhang-geek
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AlexiaChen
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再等几天就写完了。
前言
最近在学ROS，个人写了一波学习笔记，学到TF变换那里的时候，需要用到欧拉角和四元数这些知识，欧拉角的roll, pitch, yaw倒是很好理解，更接近人的理解（欧拉角是说人话），同时也理解欧拉角造成的万向锁问题，但是我看example上的3D角度旋转都是把欧拉角转换成四元数，再通过四元数来旋转。因为四元数没有欧拉角的万向锁问题，可以做全姿态变换。我会尽可能参考很多资料，用历史的脉络来尝试讲解是四元数是怎么联系到3D旋转的，因为它不好直观形象的理解，目前从代数形式上反而容易。
正文
复数(二元数)与2D的关系
大家查过资料的都知道四元数(quatiernion),是复数(Complex Number)的推广(扩展)。所以我们先要从复数入手，以及推导它与二维平面旋转之间的关系。
先来回顾一下复数的定义把，任意一个复数 $z \in \mathbb{C}$,都可以表示为$z = a + bi$的形式，其中$a, b \in \mathbb{R}$ 两个都是实数，a是实部，b是虚部。当你仔细观察这个公式定义，你会发现，它是一个线性的，如果学过线性代数的都知道，这样的线性组合形式可以引出向量空间和基(Basis)的概念，所以从这个公式出发，你可以认为其实任意的复数z都可以是$(1, i)$这个基的线性组合来表示，$1和i$就是这个复数空间的基向量，基向量的线性组合张成(span)了整个线性空间,当然，这个空间是一个二维的复平面。为了简化二维复平面的概念，我们可以只用实部和虚部的标量来化简，所以我们也可以用一个二维向量来表示复数:
$$ z = \begin{bmatrix} a \ b \ \end{bmatrix} \quad $$
接下来我们看复数的加减法，加减法就是实部与实部加减，虚部与虚部加减了。这里我们并不太关注，只是回顾基本知识。我们需要关注的是复数的乘法。
考虑两个复数 $z_1 = a+bi ，z_2 = c + di $ ，根据$i^2 = -1$的性质，利用乘法分配律，我们$$(a+bi)(c + di) $$最后可以得到$ac - bd + (bc + ad)i $, 好了这时候你发现了，得到了一个新的复数，这个复数的虚部是$(bc + ad)$ 。 并且实部是$(ac - bd) $。
好了，这下子有趣的来了，因为结果是个新复数，我们这个新的复数写成向量的形式:
$$ z_1z_2 = z_1 \begin{bmatrix} c \ d \ \end{bmatrix} \ = (ac - bd) + (bc + ad)i \ = \begin{bmatrix} ac - bd \ bc + ad \ \end{bmatrix} \ \ = \begin{bmatrix} a & -b \ b & a \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \ d \ \end{bmatrix} \ = \begin{bmatrix} a & -b \ b & a \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c & -d \ d & c \ \end{bmatrix} \ = \ \begin{bmatrix} ac - bd & -(bc+ad) \ bc + ad & ac - bd \ \end{bmatrix} \ $$
如果有点线性代数基础的同学就可以从以上推导看到，当两个复数相乘，其实是把第二个乘法因子的$z_2$变换成了一个新的复数，从线性代数的角度来看，就是一个二维向量，经过乘法，变换到了一个新的二维向量，二维向量的变换无非就是通过线性变换，这里的线性变换就是一个2*2的的矩阵 ，说人话就是二维向量在二维空间的的旋转。这里的矩阵是复数$z_1$。
所以，复数的乘法可以理解为一个矩阵与向量相乘，也就是向量的变换。你也可以说，复数的相乘与这个矩阵所代表的二维变换是等价的，
其实到这里，聪明的人就已经发现了，$i^2 = -1$为什么是这个结果了，我们来推导一下，设两个复数都为i，它们相乘那么可以写成：
$$ z_1z_2= i^2 = ii = \begin{bmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ \end{bmatrix} \ = \begin{bmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0\ \end{bmatrix} \ = \begin{bmatrix} -1 & 0 \ 0 & -1 \ \end{bmatrix} = -I $$
其中i就是:
$$ i = \begin{bmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0\ \end{bmatrix} $$
I是单位矩阵:
$$ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \ \end{bmatrix} $$
所以本质上复数$z = a+bi$也可以写成这样实部与虚部配合的矩阵形式:
$$ z = \begin{bmatrix} a & -b \ b & a \ \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \ \end{bmatrix} \ + b \begin{bmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 \ \end{bmatrix} \ = \ \begin{bmatrix} a & 0 \ 0 & a \ \end{bmatrix} \ + \begin{bmatrix} 0 & -b \ b & 0 \ \end{bmatrix} \ = a + bi $$
好了，到目前为止，你就可以看到复数，甚至虚数都与线性代数的矩阵有莫大关系，既然涉及到2D矩阵，那么又可以以几何的方式来理解复数和虚数了。当然你看到虚数$i$的矩阵形式后，用一个向量(1, 0) 去乘以这个虚数$i$看看会有什么变化:
$$ \begin{bmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ \end{bmatrix} \ = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ \end{bmatrix} \ + \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ \end{bmatrix} \ = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ \end{bmatrix} $$
从以上公式上来看，如果把输入向量和输出向量在二维复平面画出来的话，你会发现，输入向量(1, 0)在二维复平面上被逆时针旋转了90°。
从这里你豁然开朗，难怪以前看到的复数和虚数相关的领域很多都用角度来表示（三角函数），包括量子力学，相对论，信号处理，傅里叶变换等方向。
当然，这里我们只关注复数的乘法的几何意义，不做太多太多的扩展，复数相乘得到一个新的复数，实际上就是复平面上二维向量的旋转，一个复数a 乘以 复数b，那么复数a对应的向量就旋转了复数b所对应的角度。
举个例子, 对于 $(3+4i)(1+i)=(-1 + 7i)$
从上图就可以看到向量(3,4) 旋转了45°，得到的目标向量是(-1, 7)。但你仔细一看！这个向量(-1,7)经过复数相乘运算后比原向量(3,4) 的长度更长了，好了，你又发现了一个重要的点，就是，复数相乘就是表示2D旋转，还附加了缩放功能，也就是说复数的乘法是旋转与缩放的复合。
下面我们来详细推导下这个关系，把旋转矩阵和缩放矩阵分别推导出来。
在推导之前，我们需要回顾下复数的模长和共轭复数的关系:
$$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\quad \ z\bar z = (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2 = |z|^2
\quad \ |z| = \sqrt{z\bar z} $$
既然与复数相乘（乘以一个复数）意味着乘以复数对应的矩阵
$$ \begin{bmatrix} a & -b \ b & a \ \end{bmatrix} $$
，那么这个矩阵变换代表什么呢？我们提取一下公因子:
$$ \begin{bmatrix} a & -b \ b & a \ \end{bmatrix} \ = \sqrt{a^2 + b^2} \begin{bmatrix} \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} & \frac{-b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \ \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} & \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \ \end{bmatrix} $$
看到上图你就知道大概了，可以写出对应的三角函数,$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} = cos(\theta)$ $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} = sin(\theta)$。
这样就可以变成:
$$ \sqrt{a^2 + b^2} \begin{bmatrix} \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} & \frac{-b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \ \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} & \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \ \end{bmatrix} \ = |z| \begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) \ sin(\theta) & cos(\theta) \ \end{bmatrix} \ = \begin{bmatrix} |z| & 0 \ 0 & |z| \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) \ sin(\theta) & cos(\theta) \ \end{bmatrix} $$
从上面就可以看到左边的对角矩阵就是缩放矩阵，右边的矩阵就是2D旋转矩阵。
从矩阵的乘法上来看，就是先做了旋转，再做了缩放。
如果复数的模 $|z| = 1$, 那么这个复数所代表的变换就只剩下旋转矩阵了。所以在2D中，我们想让一个向量v，进行旋转，就需要乘以一个2D旋转矩阵，2D旋转矩阵的复数形式是: $cos(\theta) + sin(\theta)i$。
当然因为矩阵和复数形式都是等价的，所以让一个向量v旋转，也可以直接乘以它的复数形式 $cos(\theta) + sin(\theta)i$。这里的向量v也可以看做一个复数，之前提到过的。
还有一个复数的极坐标形式，需要根据欧拉公式:
$$ cos(\theta) + sin(\theta)i = e^{i\theta} $$
所以复数也可以表示成极坐标形式，这个极坐标形式的复数形式是: $z = |z|e^{i\theta}$。|z|就是缩放因子，相当于我们可以通缩放因子和旋转角度来定义任意一个复数了。
可以看到，复数可以转换到矩阵，矩阵可以转换到复数。甚至是极坐标表示。后面我们也会在四元数上看到类似的公式推导，因为毕竟四元数是复数的推广。
$$ v' = \begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) \ sin(\theta) & cos(\theta) \ \end{bmatrix} v $$
$$ v' = zv = (cos(\theta) + sin(\theta)i)v $$
$$ v' = e^{i\theta}v $$
记住，复数的乘法符合交换律，别把矩阵不符合交换律这个搞混了。
到此为止，有些人可能就会问了，虚数i和复数，然后复数又对应到2D上的旋转，是怎么联系到一起的啊？其实我个人认为最开始的时候也没人知道，就像我们无需关心虚数i是不是真实存在的，它只是为了解决数学这样形而上学的自洽性(自圆其说)而引入的一个因子(工具)而已。刚好复数的乘法的推导结果就可以解决2D旋转的问题，这是自然而然被带出来的。这样四元数这个复数的复数，自然也被复数推广出来了，自然也可以表示更高维度的旋转。说白了虚数和复数还是数学工具，一个坐标和你可以用虚数表示也可以用实数，都可以，计算怎么方便怎么来。
复数一个很有意思的地方，就是整个复数的集合，满足域的条件。跟实数域一样。有域的概念就好办了，直接在上面可以做四则运算，所以专业一点叫复数域。
复数矩阵中的a, b如果是复数，那么这个矩阵就代表一个四元数，同时也可以说，a和b是复数，那么复数的复数就是四元数。这样四元数与三维空间的旋转你就可以有一定直觉了。接下来步入四元数的话题。
四元数与3D的关系
在开始之前，我们需要了解与欧拉角不一样的另一个旋转表达方式，那就是轴角(Axis-angle)方式。它也没有欧拉角万向锁(Gimbal Lock)的问题，而且欧拉角还依赖三个坐标轴的选定，使用四元数都是为了解决这些问题的。
假设我们有一个经过原点的旋转轴$u = (x, y, z)^T$, 我们定义一个旋转，一个向量$v$，沿着这个旋转轴旋转$\theta$度，变换到了$v'$:
这里是右手定则，大拇指朝着u的方向，旋转方向是其他四只手指的逆时针方向。
所以可以看到，在轴角法的表示中，一个旋转的定义需要使用四个参数：旋转轴u的x,y,z坐标，以及一个旋转角$\theta$。参数明显多于欧拉角的roll, pitch, yaw。 实际上任何三维中的旋转只需要三个自由度就可以了，为什么这里需要多出一个自由度(参数)?
这里的u其实也是一个三维向量，既然是向量那么就有大小和方向，这里我们不关心向量的大小，也是就$|u| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。只关心方向。以后我们都把|u|规定是1，这样可以带来方便。实际中，如果一个旋转轴向量是非单位向量，那么我们需要把它转化为一个单位向量 $\hat{u} = \frac{u}{|u|}$。
我们在考虑旋转之前，先把向量v在轴角系统上分解一下，分解为两个向量，一个向量$v{\parallel}$,一个向量$v{\perp}$，它两一个平行于向量u，一个垂直于向量u:
其中，$v_{\parallel}$ 其实就是v在u上的正交投影，根据正交投影公式，我们可以推导出如下关系,其中 |u| = 1:
$$ v = v{\parallel} + v{\perp} $$
$$ v_{\parallel} = proj_u(v) = \frac{u \cdot v}{u \cdot u}u = \frac{u \cdot v}{|u|^2}u = (u \cdot v)u $$
$$ v_{\perp} = v - (u \cdot v)u $$
你从上图和公式就可以看出来，实际上向量v再3D中的旋转，$v{\parallel}$ 根本不旋转，因为它与旋转轴u重合，所以我们只需要关注$v{\perp}$，因为旋转不改变长度，又与旋转轴正交，所以可以看作在一个平面上旋转:
从上图可以看到，旋转后的$v_{\perp}'$是:
$$ v{\perp}' = cos(\theta)v{\perp} + sin(\theta)(u \times v_{\perp}) $$
所以我们最终可以推导向量$v$到向量$v'$在轴角下的3D变换公式了:
$$ v' = v{\parallel}' + v{\perp}'
$$
$$ \ =
v{\parallel} + cos(\theta)v{\perp} + sin(\theta)(u \times v_{\perp}) $$
$$ \ =
(u \cdot v)u + cos(\theta)(v - (u \cdot v)u) + sin(\theta)(u \times v) $$
$$ \ = cos(\theta)v + (1- cos(\theta))(u \cdot v)u + sin(\theta)(u \times v) $$
好了，我们接下来要进入我们的终极目标，四元数了。四元数与之前所铺垫的公式推导有很大相似之处。
首先定义四元数有三个虚部，也就是三个虚数，一个实部。四元数 $ q \in \mathbb{H} $, 为什么是H，因为四元数的发现者是哈密顿，表示形式为下:
$$ q = a + bi + cj + dk, (a,b,c,d \in \mathbb{R}) $$
其中
$$ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 $$
所以跟复数一样，四元数q也可以写成向量的形式，它的基是(1, i, j, k)， 任何一个四元数都是其基向量的线性组合:
$$ q = \begin{bmatrix} a \ b \ c \ d \ \end{bmatrix} $$
有些时候也用有序对的方式表示，把虚部通过三维向量表示， 实部是标量:
$$ q = [s, v] \ 其中 \quad v = \begin{bmatrix} x \ y \ z \ \end{bmatrix} s, x, y, z \in \mathbb{R} $$
四元数的模长(范数)跟二元数类似，就是 $q = \sqrt{a^2+b^2 + c^2 + d^2} = \sqrt{s^2 + v \cdot v} = \sqrt{s^2+ |v|^2}$。二元数是二维，四元数是四维，多了一维，三元数不符合一些抽象的规则，一般不存在三元数这东西。
四元数的加减也是加减标量就行了，四元数的标量乘法就是：$sq = s(a+bi+cj+dk) = sa + sbi + scj + sdk = qs$，四元数的标量乘法，遵循交换律。
四元数跟二元数不一样，它不满足交换律，左乘和右乘是不一样的，跟矩阵差不多。
跟复数一样，我们需要重点关注四元数的乘法。
设两个四元数$q_1 和 q_2$的乘法,$q_1 = a+bi+cj+dk, q_2 = e+fi+gj+dk$:
$$ q_1 q_2 $$
$$ \ = (ae - bf - cg -dh) + \ (be + af - dg +ch)i + \ (ce + df + ag - bh)j + \ (de -cf + bg + ah)k $$
$$ \ = \begin{bmatrix} a & -b & -c & -d\ b & a & -d & c \ c & d & a & -b\ d &-c & b & a\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e \ f \ g \ h \ \end{bmatrix} $$
所以本质上两个四元数的乘法，从上面的矩阵你可以看到，是一个4*4的矩阵，相当于就是4维到4维线性空间的映射。哎呀，好像与复数的不一样，应该是一个3阶方阵才对啊，四维的四元数怎么做三维空间的旋转呢？这个暂时不要管，先往下看。
因为四元数的乘法不满足交换律，所以$q_2q_1$的结果是
$$ q_2 q_1 \ = \begin{bmatrix} a & -b & -c & -d\ b & a & d & -c \ c & -d & a & b\ d & c & -b & a\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e \ f \ g \ h \ \end{bmatrix} $$
如果你仔细观察这个4*4矩阵（特别是第一个矩阵，左乘q1的矩阵），把矩阵分成4个 2*2的小方阵你会发现，其实它就是复数的矩阵形式:
它就是复数$z = a + bi$的矩阵形式，只是复数形式里面的$a b$被替换成复数了:
$$ z = \begin{bmatrix} a & -b\ b & a \ \end{bmatrix} $$
只是这里的a和b就是:
$$ a = \begin{bmatrix} a & -b\ b & a \ \end{bmatrix} $$
$$ b = \begin{bmatrix} c & d\ d & -c \ \end{bmatrix} $$
但是仔细一看，b这个小矩阵好像写不出来复数的形式。
再观察第二个大矩阵的分解:
这个大矩阵就写不出来复数的矩阵形式，只有里面的4个小矩阵，是复数形式的矩阵。
这两个大矩阵的性质好像反过来一样。我在这里很不理解，我感觉是小矩阵也应该是复数形式，大矩阵也符合复数形式。这里有一个疑点，欢迎大神帮忙解答？
不过我查了wiki，四元数的44的实数矩阵表示法不唯一，难道这这个？ 四元数也有2\2复数矩阵的表示:
$$ q = \begin{bmatrix} a + bi & c + di\ -c + di & a - bi \ \end{bmatrix} $$
上式矩阵，本质上就是Quaternions as pairs of complex numbers上的应用，所谓的卡莱尔-迪克森构造法构造四元数。所谓的虚数$k$，就是$ij$的积。
四元数的4*4实数矩阵表示：
好了，知道了这些性质结果，我们还要总结出更多的规律，接下来我们看Grabmann积：
$$ 对于任意四元数, q_1 = [s, \vec{v}], q_2 = [t, \vec{u}]， q_1 q_2的结果是： \ q_1 q_2 = [st - v \cdot u, su+tv + v \times u] $$
所以对于实部为0的纯四元数，那么他们的结果是:
$$ q_1 q_2 = [-v \cdot u, v \times u] $$
因为四元数不满足交换律，我们规定$q^{-1}$是$q$的逆，这个两个逆是不同的,$qq^{-1}=q^{-1}q = 1 (q \ne 0)$。
定义四元数的共轭:
$$ q = a + bi + cj + dk = [s, \vec{v}] $$
$$ q^\star = a - bi -cj - dk = [s, -\vec{v}] $$
$$ qq^\star = |q|^2 = q^\star q $$
$$ q^{-1} = \frac{q^\star}{|q|^2} $$
如果q是一个单位四元数，也就是|q| = 1, 那么:
$$ q^{-1} = \frac{q^\star}{|q|^2} = q^\star $$
到此为止，我们可以通过代数的方式来了解四元数是怎样对3D旋转产生作用了。
再用轴角的系统方式，我们来继续研究，只是把轴角的向量换成纯四元数:
$$ v = [0, \vec{v}] $$
$$ v{\perp} = [0, \vec{v{\perp}}] $$
$$ v{\parallel} = [0, \vec{v{\parallel}}] $$
$$ u = [0, \vec{u}] $$
$$ v' = [0, \vec{v'}] $$
$$ v{\perp}' = [0, \vec{v{\perp}'}] $$
$$ v{\parallel}' = [0, \vec{v{\parallel}'}] $$
现在我们知道$v' = v{\parallel}' + v{\perp}'$
对于$v_{\perp}$的旋转:
$$ 当v{\perp}正交于旋转轴u时， 旋转\theta角度后的v{\perp}'可以使用四元数乘法来获得。\ 令v{\perp} = [0, \vec{v{\perp}}'], q = [cos(\theta), sin(\theta)u], 那么 \ v{\perp}' = qv{\perp} $$
对于$v_{\parallel}$的旋转:
$$ v{\parallel}' = v{\parallel} $$
为了避免繁复的四元数推导，我最后直接给出3D旋转的四元数公式吧。
对于任意向量$v$，沿着以单位向量定义的旋转轴$u$旋转$\theta$之后的$v'$可以使用四元数乘法来得到。令 $v = [0, \vec{v}], q = [cos(\frac{1}{2}\theta), sin(\frac{1}{2}\theta)u]$, 那么:
$$ v' = qvq^\star = qvq^{-1} $$
所以你可以看到，把用四元数做向量的旋转，其实是把三维向量的当作一个纯四元数，也就是虚部的标量才是向量的值(坐标)。
之前说过，四元数还可以与3D旋转矩阵互相转换，所以我们接下来还要了解四元数的3D矩阵的一些性质。
下面直接罗列左乘和右乘一个四元数$q = a +bi + cj + dk$的矩阵
$$ Left(q) = \begin{bmatrix} a & -b & -c & -d \ b & a & -d & c \ c & d & a & -b \ d & -c & b & a \end{bmatrix} $$
$$ Right(q) = \begin{bmatrix} a & -b & -c & -d \ b & a & d & -c \ c & -d & a & b \ d & c & -b & a \end{bmatrix} $$
$$ Right(q^\star) = Right(q)^T $$
所以四元数的旋转乘法公式$v' = qvq^\star$ 可以写成矩阵形式，设 $a = cos(\frac{1}{2}\theta), b = sin(\frac{1}{2}\theta)u_x, c = sin(\frac{1}{2}\theta)u_y, d = sin(\frac{1}{2}\theta)u_z$。
$$ qvq^\star = Left(q)Right(q^\star)v = \ \ \begin{bmatrix} a & -b & -c & -d \ b & a & -d & c \ c & d & a & -b \ d & -c & b & a \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b & c & d \ -b & a & d & -c \ -c & d & a & -b \ -d & -c & b & a \ \end{bmatrix} v \ \ = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1-2c^2-2d^2 & 2bc - 2ad & 2ac+2bd \ 0 & 2bc+2ad & 1-2b^2-2d^2 & 2cd-2ab \ 0 & 2bd - 2ac & 2ab + 2cd & 1-2b^2-2c^2 \ \end{bmatrix} v $$
因为这个四元数是4*4的四维变换矩阵，但是恰巧矩阵第一列和第一行向量的形式不会对v做任何变换，所以可以把4*4压缩成3*3的矩阵:
$$ v' = \begin{bmatrix} 1-2c^2-2d^2 & 2bc - 2ad & 2ac+2bd \ 2bc+2ad & 1-2b^2-2d^2 & 2cd-2ab \ 2bd - 2ac & 2ab + 2cd & 1-2b^2-2c^2 \end{bmatrix} v $$
因为这里的v是个纯四元数，所以也可以把它四维向量压缩成一个3维向量，这样以上的公式就成立了。虽然旋转矩阵不如四元数形式简单，而且从实现上看，占用更多的存储空间，但是对于大量的变换，使用预计算好的矩阵是比四元数乘法更有效率的。
四元数的旋转也可以像矩阵乘法那样复合，也就是可以把连续的变换压缩成一个变换，因为对于任意四元数$q_1, q_2$:
$$ q_1^\star q_2^\star = (q_2 q_1)^\star $$
所以, 四元数的N次复合(旋转变换N次)的公式是:
$$ v' = (qn q{n-1} ... q_1)v(qn q{n-1} ... q1)^\star = q{new}vq_{new}^\star $$
四元数的旋转还有双倍覆盖问题，就是四元数与3D旋转的关系不是一一对应，也就是说，对于同一个3D旋转，可以使用两个不同的四元数来表示，对任意的单位四元数 $q = [cos(\frac{1}{2}\theta), sin(\frac{1}{2}\theta)u]$, 其实就是四元数$q$和$-q$代表同一个旋转，对应的旋转矩阵也是相同的， 如果q表示的是沿着旋转轴u旋转$\theta$度，那么-q代表的就是沿着相反的旋转轴-u旋转$2\pi - \theta$度。其实从旋转公式就可以看出来:
$$ (-q)v(-q)^\star = (-1)^2qvq^\star = qvq^\star $$
所以有些地方的资料上会说单位四元数与3D旋转有一个2对1满射同态的关系（双倍覆盖）。这里有点抽象代数的概念，因为这个映射是一个满射，所以所有的单位四元数都对应着一个3D旋转，或者说，一个四维单位超球面$\mathbb{S}^3$上任意一点所对应的四元数都对应着一个3D旋转。
References