Closed AlexiaChen closed 1 year ago
有一次聊天的时候，他说不要被有限域（finite field）给吓唬住，实际上就是模运算（mod）而已。其实他的理解还是有些许错误，模运算还要是模的素数，才能算有限域，其实是一个整数集合Z，模上一个素数才构造了一个有限域。如果模上的是非素数，是其他的正整数，那么实质上构造的就是一个剩余类环（residue class ring）。有限域是剩余类环的一个特例。
如果不明白我这篇文章有详细推导
如果你明白了你也就知道了，剩余类环是交换环的微缩模型，从抽象代数的观点来看，设R是一个交换环，P是R上的一个素理想（prime ideal），同时也是R上的一个极大理想, 那么R/P就没有0因子，如果把R变为一个剩余类环，并且限定在P上，那么这个剩余类环就是一个有限域Fp。
至于0因子这个关系是来源于数论的Bézout's identity， 如果a，b两个数有一个最大公约数d，那么就有x和y满足以下公式ax + by = d， 此时GCD(a,b)就是a和b的线性组合,也就推导出ax全等于d mod b，也就是说除了a=0外，a都有对应的乘法逆元。
其实细节还是蛮难的，大部分人只知道整数集合mod一个prime number就是一个有限域了，这就是构造一个有限域的方法而已。工程上直接用就可以了。
有一次聊天的时候，他说不要被有限域（finite field）给吓唬住，实际上就是模运算（mod）而已。其实他的理解还是有些许错误，模运算还要是模的素数，才能算有限域，其实是一个整数集合Z，模上一个素数才构造了一个有限域。如果模上的是非素数，是其他的正整数，那么实质上构造的就是一个剩余类环（residue class ring）。有限域是剩余类环的一个特例。
如果不明白我这篇文章有详细推导
如果你明白了你也就知道了，剩余类环是交换环的微缩模型，从抽象代数的观点来看，设R是一个交换环，P是R上的一个素理想（prime ideal），同时也是R上的一个极大理想, 那么R/P就没有0因子，如果把R变为一个剩余类环，并且限定在P上，那么这个剩余类环就是一个有限域Fp。
至于0因子这个关系是来源于数论的Bézout's identity， 如果a，b两个数有一个最大公约数d，那么就有x和y满足以下公式ax + by = d， 此时GCD(a,b)就是a和b的线性组合,也就推导出ax全等于d mod b，也就是说除了a=0外，a都有对应的乘法逆元。
其实细节还是蛮难的，大部分人只知道整数集合mod一个prime number就是一个有限域了，这就是构造一个有限域的方法而已。工程上直接用就可以了。