Closed AlexiaChen closed 1 year ago
有一次聊天的时候,他说不要被有限域(finite field)给吓唬住,实际上就是模运算(mod)而已。其实他的理解还是有些许错误,模运算还要是模的素数,才能算有限域,其实是一个整数集合Z,模上一个素数才构造了一个有限域。如果模上的是非素数,是其他的正整数,那么实质上构造的就是一个剩余类环(residue class ring)。有限域是剩余类环的一个特例。
如果不明白我这篇文章有详细推导
如果你明白了你也就知道了,剩余类环是交换环的微缩模型,从抽象代数的观点来看,设R是一个交换环,P是R上的一个素理想(prime ideal),同时也是R上的一个极大理想, 那么R/P就没有0因子,如果把R变为一个剩余类环,并且限定在P上,那么这个剩余类环就是一个有限域Fp。
至于0因子这个关系是来源于数论的Bézout's identity, 如果a,b两个数有一个最大公约数d,那么就有x和y满足以下公式ax + by = d, 此时GCD(a,b)就是a和b的线性组合,也就推导出ax全等于d mod b,也就是说除了a=0外,a都有对应的乘法逆元。
其实细节还是蛮难的,大部分人只知道整数集合mod一个prime number就是一个有限域了,这就是构造一个有限域的方法而已。工程上直接用就可以了。
有一次聊天的时候,他说不要被有限域(finite field)给吓唬住,实际上就是模运算(mod)而已。其实他的理解还是有些许错误,模运算还要是模的素数,才能算有限域,其实是一个整数集合Z,模上一个素数才构造了一个有限域。如果模上的是非素数,是其他的正整数,那么实质上构造的就是一个剩余类环(residue class ring)。有限域是剩余类环的一个特例。
如果不明白我这篇文章有详细推导
如果你明白了你也就知道了,剩余类环是交换环的微缩模型,从抽象代数的观点来看,设R是一个交换环,P是R上的一个素理想(prime ideal),同时也是R上的一个极大理想, 那么R/P就没有0因子,如果把R变为一个剩余类环,并且限定在P上,那么这个剩余类环就是一个有限域Fp。
至于0因子这个关系是来源于数论的Bézout's identity, 如果a,b两个数有一个最大公约数d,那么就有x和y满足以下公式ax + by = d, 此时GCD(a,b)就是a和b的线性组合,也就推导出ax全等于d mod b,也就是说除了a=0外,a都有对应的乘法逆元。
其实细节还是蛮难的,大部分人只知道整数集合mod一个prime number就是一个有限域了,这就是构造一个有限域的方法而已。工程上直接用就可以了。