Open AlexiaChen opened 4 years ago
由于大学老师是复读机,大学的《线性代数》只讲行列式和矩阵的计算技巧,没有提到向量空间(线性空间)这种概念,直接忽视了体系的引入和过渡。
设R为实数集合,C为复数集合,根据域的公理性质得出:R和C都是域(Field),分别为实数域和复数域,把两个域,暂且用符号记为F。(记住了,F以后就代表R或C)。F中的元素称为标量(scalar)。
然后,把F推广到更高的维度n,记作F^n, F^n 的定义是从F中选任意n个标量组成的n元组的集合,这里可以简单看成“n维空间”(非物理上的,没有实际意义)上的点或向量。n维空间的向量可以进行加减,也就是有加法逆元。F中的标量也能与空间中的向量做乘法,也就是空间上可以进行标量乘法,即kv ∈ F^n, 且k ∈ F,v ∈ F^n
因为F^n为一个n元组集合,并且该集合上能进行加法和标量乘法,且运算是封闭的,那么该集合就是向量空间,我们可以记作符号V。比如,当n=4是,F^4就是4维实数(复数)向量空间,当然,n可以是无穷,叫无穷维向量空间。向量空间中的元素就是向量,这个向量(vector)比较抽象,可能是元组,向量,也可能是函数或者其他奇怪的东西(暂时不用管)。
如果你之前看到我写的椭圆曲线那篇文章,你就知道阿贝尔群的概念,这会你突然明白了,向量空间也是一个关于加法构成的阿贝尔群(交换群)。
向量空间是一个集合,所以它也有子集,设V的子集U,子集U如果也是向量空间的话,那么U也是V的子空间,并且U自身也是一个交换群。
既然提到了子空间的概念,那么不同子空间的和也构成一个包含这些子空间的最小子空间,和定义为每个子空间的元素所有可能的和构成的集合。由和也引出了直和,直和就是两个子空间U,W,它们的加法U+W是直和,那么U集合交W集合就是空集,也就是U ∩ W = {0}。
最后说下,看到上面提到群的内容,先说下不好意思,我是先学了点抽象代数的东西才来复习线性代数的,按理来说,科班课程安排是线性代数是在抽象代数之前修的。虽然学抽象代数严格来说,不要求先修课,但是还是学点集合论和线性代数再入门抽代会比较好点。另外,文章是我自己的学习笔记,不是科普专门讲给别人看懂的。看不懂我也无能为力。
由于大学老师是复读机,大学的《线性代数》只讲行列式和矩阵的计算技巧,没有提到向量空间(线性空间)这种概念,直接忽视了体系的引入和过渡。
设R为实数集合,C为复数集合,根据域的公理性质得出:R和C都是域(Field),分别为实数域和复数域,把两个域,暂且用符号记为F。(记住了,F以后就代表R或C)。F中的元素称为标量(scalar)。
然后,把F推广到更高的维度n,记作F^n, F^n 的定义是从F中选任意n个标量组成的n元组的集合,这里可以简单看成“n维空间”(非物理上的,没有实际意义)上的点或向量。n维空间的向量可以进行加减,也就是有加法逆元。F中的标量也能与空间中的向量做乘法,也就是空间上可以进行标量乘法,即kv ∈ F^n, 且k ∈ F,v ∈ F^n
因为F^n为一个n元组集合,并且该集合上能进行加法和标量乘法,且运算是封闭的,那么该集合就是向量空间,我们可以记作符号V。比如,当n=4是,F^4就是4维实数(复数)向量空间,当然,n可以是无穷,叫无穷维向量空间。向量空间中的元素就是向量,这个向量(vector)比较抽象,可能是元组,向量,也可能是函数或者其他奇怪的东西(暂时不用管)。
如果你之前看到我写的椭圆曲线那篇文章,你就知道阿贝尔群的概念,这会你突然明白了,向量空间也是一个关于加法构成的阿贝尔群(交换群)。
向量空间是一个集合,所以它也有子集,设V的子集U,子集U如果也是向量空间的话,那么U也是V的子空间,并且U自身也是一个交换群。
既然提到了子空间的概念,那么不同子空间的和也构成一个包含这些子空间的最小子空间,和定义为每个子空间的元素所有可能的和构成的集合。由和也引出了直和,直和就是两个子空间U,W,它们的加法U+W是直和,那么U集合交W集合就是空集,也就是U ∩ W = {0}。
最后说下,看到上面提到群的内容,先说下不好意思,我是先学了点抽象代数的东西才来复习线性代数的,按理来说,科班课程安排是线性代数是在抽象代数之前修的。虽然学抽象代数严格来说,不要求先修课,但是还是学点集合论和线性代数再入门抽代会比较好点。另外,文章是我自己的学习笔记,不是科普专门讲给别人看懂的。看不懂我也无能为力。