Open AlexiaChen opened 4 years ago
由于大学老师是复读机，大学的《线性代数》只讲行列式和矩阵的计算技巧，没有提到向量空间（线性空间）这种概念，直接忽视了体系的引入和过渡。
设R为实数集合，C为复数集合，根据域的公理性质得出：R和C都是域（Field），分别为实数域和复数域，把两个域，暂且用符号记为F。（记住了，F以后就代表R或C）。F中的元素称为标量（scalar）。
然后，把F推广到更高的维度n，记作F^n, F^n 的定义是从F中选任意n个标量组成的n元组的集合，这里可以简单看成“n维空间”（非物理上的，没有实际意义）上的点或向量。n维空间的向量可以进行加减，也就是有加法逆元。F中的标量也能与空间中的向量做乘法，也就是空间上可以进行标量乘法，即kv ∈ F^n, 且k ∈ F，v ∈ F^n
因为F^n为一个n元组集合，并且该集合上能进行加法和标量乘法，且运算是封闭的，那么该集合就是向量空间，我们可以记作符号V。比如，当n=4是，F^4就是4维实数（复数）向量空间，当然，n可以是无穷，叫无穷维向量空间。向量空间中的元素就是向量，这个向量（vector）比较抽象，可能是元组，向量，也可能是函数或者其他奇怪的东西（暂时不用管）。
如果你之前看到我写的椭圆曲线那篇文章，你就知道阿贝尔群的概念，这会你突然明白了，向量空间也是一个关于加法构成的阿贝尔群（交换群）。
向量空间是一个集合，所以它也有子集，设V的子集U，子集U如果也是向量空间的话，那么U也是V的子空间，并且U自身也是一个交换群。
既然提到了子空间的概念，那么不同子空间的和也构成一个包含这些子空间的最小子空间，和定义为每个子空间的元素所有可能的和构成的集合。由和也引出了直和，直和就是两个子空间U，W，它们的加法U+W是直和，那么U集合交W集合就是空集，也就是U ∩ W = {0}。
最后说下，看到上面提到群的内容，先说下不好意思，我是先学了点抽象代数的东西才来复习线性代数的，按理来说，科班课程安排是线性代数是在抽象代数之前修的。虽然学抽象代数严格来说，不要求先修课，但是还是学点集合论和线性代数再入门抽代会比较好点。另外，文章是我自己的学习笔记，不是科普专门讲给别人看懂的。看不懂我也无能为力。
由于大学老师是复读机，大学的《线性代数》只讲行列式和矩阵的计算技巧，没有提到向量空间（线性空间）这种概念，直接忽视了体系的引入和过渡。
设R为实数集合，C为复数集合，根据域的公理性质得出：R和C都是域（Field），分别为实数域和复数域，把两个域，暂且用符号记为F。（记住了，F以后就代表R或C）。F中的元素称为标量（scalar）。
然后，把F推广到更高的维度n，记作F^n, F^n 的定义是从F中选任意n个标量组成的n元组的集合，这里可以简单看成“n维空间”（非物理上的，没有实际意义）上的点或向量。n维空间的向量可以进行加减，也就是有加法逆元。F中的标量也能与空间中的向量做乘法，也就是空间上可以进行标量乘法，即kv ∈ F^n, 且k ∈ F，v ∈ F^n
因为F^n为一个n元组集合，并且该集合上能进行加法和标量乘法，且运算是封闭的，那么该集合就是向量空间，我们可以记作符号V。比如，当n=4是，F^4就是4维实数（复数）向量空间，当然，n可以是无穷，叫无穷维向量空间。向量空间中的元素就是向量，这个向量（vector）比较抽象，可能是元组，向量，也可能是函数或者其他奇怪的东西（暂时不用管）。
如果你之前看到我写的椭圆曲线那篇文章，你就知道阿贝尔群的概念，这会你突然明白了，向量空间也是一个关于加法构成的阿贝尔群（交换群）。
向量空间是一个集合，所以它也有子集，设V的子集U，子集U如果也是向量空间的话，那么U也是V的子空间，并且U自身也是一个交换群。
既然提到了子空间的概念，那么不同子空间的和也构成一个包含这些子空间的最小子空间，和定义为每个子空间的元素所有可能的和构成的集合。由和也引出了直和，直和就是两个子空间U，W，它们的加法U+W是直和，那么U集合交W集合就是空集，也就是U ∩ W = {0}。
最后说下，看到上面提到群的内容，先说下不好意思，我是先学了点抽象代数的东西才来复习线性代数的，按理来说，科班课程安排是线性代数是在抽象代数之前修的。虽然学抽象代数严格来说，不要求先修课，但是还是学点集合论和线性代数再入门抽代会比较好点。另外，文章是我自己的学习笔记，不是科普专门讲给别人看懂的。看不懂我也无能为力。