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F的定义在上一篇笔记中有说到，F是实数域或复数域。V则是F上的向量空间。
线性代数一般关注的是有限维的向量空间，而不是任意维的向量空间。
好了，为了引入之后会提到的线性组合和张成空间（Span），需要引入一个向量组的概念，其实就是一组向量从v1 ～ vn，有了这个概念以后，就可以定义线性组合的概念，定义如下：
一个线性组合就是在向量空间V里的一组向量“合成”的一个新向量，满足a1v1 + ... + an*vn,且a1 ～ an ∈ F。
引入以上线性组合的概念，又定义了张成空间的概念：
一组在V上的向量v1 ～ vn构成的所有线性组合的集合叫做v1 ～ vn的张成空间： span(v1,...,vn) = {a1v1 + ... + an*vn | a1,...,an ∈ F}
从以上可以看到，张成空间的定义像是一个函数，它以一组向量作为输入，新输出一组向量，输出的那组向量构成输入向量的张成空间。这样可以有个性质就是，某组向量的张成空间是这组向量的最小包含子空间，这个子空间最少包含这组输入向量，运算封闭，构成一个加法的交换群。
张成空间直接引出线性代数的一个重要概念-----有限维向量空间，它是这样定义的:
一个向量空间是不是有限维关键在于其中的某组向量是否能张成该空间（反之，就是无穷维）
其实也就是，向量空间V = span(v1,...,vn) 且 v1 ~ vn ∈ V。 再简单点说就是该向量空间V的一组向量的所有线性组合构成的集合是否能构成向量空间V。
多项式想必都知道的，设函数p是F -> F的变换，并且满足以下形式：
p(z) = a0z^0 + a1z^1 + a2z^2 + ... + anz^n, 且 对于所有的z ∈ F ， 存在a0 ～ an ∈ F。
这样，我们定义一个集合P(F)，它是系数在F上的所有多项式集合。
你可以尝试对多项式与多项式之间进行加法和标量乘法，你会发现运算封闭，显然根据定义，P(F)是一个向量空间，之前我们说过的，向量空间这个向量是个抽象的对象，它很可能是函数或者其他奇怪的东西。在这里，该向量空间的元素就是多项式函数。因为多项式函数也是函数的“子集”，所以多项式函数向量空间是F -> F的函数向量空间的子空间。
对于集合P(F)的定义，为什么我要把系数两个字加重呢？因为对于一个多项式，那么它的系数a0 ～ an就确定了，也就是有序对(a0,a1,...,an)就决定了一个p(z)多项式。相当于这个有序对就是该多项式的唯一ID，相当于特征值，所以你就可以把这个有序对看作一个特征向量，该向量表征这个多项式。
下面定义多项式的次数：
p(z)的z的最高次是多少，那p(z)的次数就是多少，z^n，n就是其次数。如果恒等于0的多项式，我们规定它的次数就是负无穷。
之后我们还可以根据次数定义一个集合Pm(F):
对于m是非负整数，Pm(F),表示系数在F中次数不超过m的所有多项式构成的集合，其实也就是Pm(F) = span(1,z,...,z^m)
这时候你突然发现了(1,z,..,z^m)本来就是一个向量组，多项式的形式就是线性组合。一模一样。废话，函数也是向量。
好了，现在我们要提到一个也很重要的概念，线性无关：
如果a1v1 + ... + anvn等于0，且a1 ～ an ∈ F 并且只有a1 = a2 = ... = an = 0,那么我们就可以说V中的一组向量(v1,...,vn)是线性无关的。 注，空向量组也是线性无关的。
上面的定义还有一个说明就是，如果(v1,...,vn)向量组线性无关，那么该向量组的张成空间span(v1,...,vn)中的每一个向量都可以唯一地表示成v1,...,vn的线性组合。
当然，以上定义如果反过来，如果一组向量不是线性无关，那么它必然是线性相关的。线性相关则表明这组向量中的某一个向量必然是其余向量的线性组合，就是某个向量vi = a1v1 + ... + (ai-1)(vi-1)。
有一个需要明白但是暂时无需关注证明的结论：
在有限维向量空间中，线性无关向量组的长度小于等于向量空间中的每一个张成组的长度 有限维向量空间的子空间都是有限维的。
在有限维向量空间中，线性无关向量组的长度小于等于向量空间中的每一个张成组的长度
有限维向量空间的子空间都是有限维的。
之前讨论了线性无关和张成组，现在将这两个概念结合起来可以定义一个新的概念就是----基:
若向量空间V中的一个向量组即线性无关又张成V，则称为V的基
根据线性无关的概念就可以知道基的判定方法:
V中的向量组(v1,...,vn)如果是V的基，那么V中的每个向量v都可以唯一地写成v = a1v1 + ... + anvn这样的线性组合形式，并且a1，...,an ∈ F
向量空间的张成组不一定是基，因为它可能不是线性无关的，因为可能有“冗余”的一两个向量能被其他向量线性组合构造出来，只要“删除”掉“冗余”的向量，那么剩余的向量组才构成一个基。所以可以有下面一个推论：
在向量空间V中，每个张成组都可以化简成一个基。 每个有限维向量空间都有基 在有限维向量空间中，每个线性无关的向量组都可以扩充成向量空间的基
在向量空间V中，每个张成组都可以化简成一个基。
每个有限维向量空间都有基
在有限维向量空间中，每个线性无关的向量组都可以扩充成向量空间的基
有限维向量空间的维数其实就是基的长度，也就是基向量组的长度。任意两个基的长度其实都相同。
记 dim V表示向量空间V的维数，那么dim F^n = n , dim Pm(F) = m + 1
另外有限维向量空间的子空间有个维数的推论:
若V是有限维的，U是V的子空间，则dim U <= dim V
并且，线性无关组，张成组与基还有一定关系：
若V是有限维的，则V中的每个长度为dim V的线性无关的向量组都是V的基 若V是有限维的，则V中的每个长度为dim V的张成向量组都是V的基
若V是有限维的，则V中的每个长度为dim V的线性无关的向量组都是V的基
若V是有限维的，则V中的每个长度为dim V的张成向量组都是V的基
F的定义在上一篇笔记中有说到，F是实数域或复数域。V则是F上的向量空间。
线性代数一般关注的是有限维的向量空间，而不是任意维的向量空间。
张成空间（span）
好了，为了引入之后会提到的线性组合和张成空间（Span），需要引入一个向量组的概念，其实就是一组向量从v1 ～ vn，有了这个概念以后，就可以定义线性组合的概念，定义如下：
引入以上线性组合的概念，又定义了张成空间的概念：
从以上可以看到，张成空间的定义像是一个函数，它以一组向量作为输入，新输出一组向量，输出的那组向量构成输入向量的张成空间。这样可以有个性质就是，某组向量的张成空间是这组向量的最小包含子空间，这个子空间最少包含这组输入向量，运算封闭，构成一个加法的交换群。
张成空间直接引出线性代数的一个重要概念-----有限维向量空间，它是这样定义的:
其实也就是，向量空间V = span(v1,...,vn) 且 v1 ~ vn ∈ V。 再简单点说就是该向量空间V的一组向量的所有线性组合构成的集合是否能构成向量空间V。
多项式想必都知道的，设函数p是F -> F的变换，并且满足以下形式：
这样，我们定义一个集合P(F)，它是系数在F上的所有多项式集合。
你可以尝试对多项式与多项式之间进行加法和标量乘法，你会发现运算封闭，显然根据定义，P(F)是一个向量空间，之前我们说过的，向量空间这个向量是个抽象的对象，它很可能是函数或者其他奇怪的东西。在这里，该向量空间的元素就是多项式函数。因为多项式函数也是函数的“子集”，所以多项式函数向量空间是F -> F的函数向量空间的子空间。
对于集合P(F)的定义，为什么我要把系数两个字加重呢？因为对于一个多项式，那么它的系数a0 ～ an就确定了，也就是有序对(a0,a1,...,an)就决定了一个p(z)多项式。相当于这个有序对就是该多项式的唯一ID，相当于特征值，所以你就可以把这个有序对看作一个特征向量，该向量表征这个多项式。
下面定义多项式的次数：
之后我们还可以根据次数定义一个集合Pm(F):
这时候你突然发现了(1,z,..,z^m)本来就是一个向量组，多项式的形式就是线性组合。一模一样。废话，函数也是向量。
线性无关
好了，现在我们要提到一个也很重要的概念，线性无关：
上面的定义还有一个说明就是，如果(v1,...,vn)向量组线性无关，那么该向量组的张成空间span(v1,...,vn)中的每一个向量都可以唯一地表示成v1,...,vn的线性组合。
当然，以上定义如果反过来，如果一组向量不是线性无关，那么它必然是线性相关的。线性相关则表明这组向量中的某一个向量必然是其余向量的线性组合，就是某个向量vi = a1v1 + ... + (ai-1)(vi-1)。
有一个需要明白但是暂时无需关注证明的结论：
基（basis）
之前讨论了线性无关和张成组，现在将这两个概念结合起来可以定义一个新的概念就是----基:
根据线性无关的概念就可以知道基的判定方法:
向量空间的张成组不一定是基，因为它可能不是线性无关的，因为可能有“冗余”的一两个向量能被其他向量线性组合构造出来，只要“删除”掉“冗余”的向量，那么剩余的向量组才构成一个基。所以可以有下面一个推论：
维数
有限维向量空间的维数其实就是基的长度，也就是基向量组的长度。任意两个基的长度其实都相同。
记 dim V表示向量空间V的维数，那么dim F^n = n , dim Pm(F) = m + 1
另外有限维向量空间的子空间有个维数的推论:
并且，线性无关组，张成组与基还有一定关系：