Open AlexiaChen opened 4 years ago
因为后面学习算子的时候会用到这个内容，所以要提到下。这里主要是理解概念为主，相关证明可以暂时不关心。所以学习笔记也没有提到证明，一般这套学习笔记，我是尽量不接触证明的。因为我不是数学专业。
还是老样子，Ｆ表示Ｒ或Ｃ，Ｒ表示实数域，Ｃ表示复数域。注意，根据域公理，没有整数域这样的概念。
多项式的系数有复系数或者实系数，所以要“回顾”下高中所学的概念：
对于复数ｚ，设ｚ = a + b*i, 其中ａ和ｂ均为实数 z的实部(real part)定义为 Re z = a ｚ的虚部(Imaginary part)定义为 Im z = b 对于复数ｚ,设ｚ∈ C ｚ ∈ C 的复共轭(complex conjugate),定义为 z = Re z - (Im z)*i = a - b\i 复数z的绝对值，定义为 |z| = sqrt((Re z)^2 + (Im z)^2)
对于复数ｚ，设ｚ = a + b*i, 其中ａ和ｂ均为实数
对于复数ｚ,设ｚ∈ C
注意，z的共轭复数的符号表示暂时记为z*。要提醒下，不然与之前的对偶空间符号有冲突。
这里的复共轭，有时候也叫共轭复数。为什么叫共轭呢？可以这样理解，考虑一个复平面，横纵坐标，横坐标为实部，纵坐标为虚部，那么一个复数z = a + b*i 且a,b ∈ R， 那么复数z就可以表示成复平面上的一个点(a,b)，正好复共轭的定义是虚部互为相反数，那么在复平面上，共轭就是两点互相关于横坐标（实部坐标）对称。你可以理解共轭就是一种对称关系。
复数有一些性质，留意下即可:
设w,z ∈ C，则： z与z*的合: z + z* = 2(Re z) z与z*的差: z - z* = 2(Im z)*i z与z*的积: z*(z*) = |z|^2 复共轭的可加性和可乘性: (w + z) = w + z 且 (w*z)* = (w)*(z*) 共轭的共轭: z = (z*)* 实部与虚部有界于|z|: |Re z| <= |z| 且 |Im z| <= |z| 复共轭的绝对值: |z*| = |z| 绝对值的可乘性: |w*z| = |w|*|z| 三角不等式: |w + z| <= |w| + |z|
设w,z ∈ C，则：
这个之前的学习笔记提到过。
若一个多项式是零函数，则其所有系数均为0：
设a0,a1,...,am ∈ F。若对任意z ∈ F均有： a0 + a1*z + a2*z^2 + ... + am*z^m = 0 且 a0 = a1 = ... = am = 0
多项式的次数记为deg p = m, 看项的最高次是多少。
基本的带余除法可以表示为 p = s*q + r 且 s != 0, r < s。其中商是q，余数是r。这里把这个公式推广到多项式。可以理解为，多项式p除以s得到了余式r。
回顾下之前的学习笔记整理的符号，P(F)表示系数在F中的所有多项式构成的向量空间， Pm(F)表示系数在F上并且次数不超过m的所有多项式构成的P(F)的子空间。
设p,s ∈ P(F) 且 s != 0。 则存在唯一的多项式q,r ∈ P(F) 使得 p = s*q + r 且 deg r < deg s
主要是求解方程p(z) = 0在多项式p ∈ P(F)的研究中有比较大的作用。所以有个特殊的名字而已。
如果 p(λ) = 0, 那么就把数λ称为多项式p的零点（根），其中 λ ∈ F, p ∈ P(F)。 如果存在多项式q使得p = s*q，那么就称多项式s为多项式p的因子（因式），其中 p,s,q ∈ P(F)。
如果 p(λ) = 0, 那么就把数λ称为多项式p的零点（根），其中 λ ∈ F, p ∈ P(F)。
如果存在多项式q使得p = s*q，那么就称多项式s为多项式p的因子（因式），其中 p,s,q ∈ P(F)。
多项式的每个零点对应一个一次因式：
设p ∈ P(F), λ ∈ F。则p(λ) = 0当且仅当存在多项式q ∈ P(F)使得对每个z均有p(z) = (z - λ)*q(z), 且z ∈ F。
多项式零点的个数不会超过它的次数:
设p ∈ P(F)是m次多项式， m >= 0。则p在F上最多有m个互相不同的零点。也就是最多有m个根。
数域F一直以来约定是R或C，所以同时处理了复系数多项式和实系数多项式。但是要再细化点，看看两者的区别，需要先处理复系数多项式的结果来证明实系数多项式的相应结果。
代数学基本定理:
每一个(任何一个)复系数多项式都有零点。
也就是说，任何一个复系数一元m次多项式方程在复数域上至少有1个根(1 <= n <= m)
注意，这个定理在实数域R下不成立，到后面会反映在实向量空间和复向量空间上算子的区别。
C上多项式的分解：
若p ∈ P(C)是复系数一元m次多项式，则p可以唯一分解(不计因式次序)为 p(z) = c(z - λ)...(z - λm)，其中c,λ1,λ2,...,λm ∈ C。
这个分解显然就是p(z) = (z - λ)*q(z)的分解，q(z) = (z - λ1)*q1(z)，q1(z)又可以继续分解，依次类推。
之前提到的代数学基本定理在实数域R下就不成立，有可能没有零点，比如 p(x) = 1 + x^2 = 0，x无解。所以没有零点。
实系数多项式的非实零点是成对出现的：
设p ∈ P(C)是实系数多项式。若λ ∈ C是p的零点，则λ*也是p的零点。
二次多项式分解：
设b，c ∈ R。则存在λ1，λ2 ∈ R使得分解式： x^2 + b*x + c = (x - λ1)(x - λ2)成立当且仅当b^2 >= 4*c
R上的多项式分解：
设p ∈ P(R)是实系数一元m次多项式，则p可以唯一分解（不计因式顺序）为: p(x) = c(x - λ1)...(x - λm)(x^2 + b1*x + c1)...(x^2 + bm*x + cm) 其中c,λ1,...λm,b1,b2,...,bm,c1,c2,...,cm ∈ R，并且对每个j均有(bj)^2 < 4\(cj)
多项式学习笔记
因为后面学习算子的时候会用到这个内容，所以要提到下。这里主要是理解概念为主，相关证明可以暂时不关心。所以学习笔记也没有提到证明，一般这套学习笔记，我是尽量不接触证明的。因为我不是数学专业。
还是老样子，Ｆ表示Ｒ或Ｃ，Ｒ表示实数域，Ｃ表示复数域。注意，根据域公理，没有整数域这样的概念。
复共轭与绝对值
多项式的系数有复系数或者实系数，所以要“回顾”下高中所学的概念：
注意，z的共轭复数的符号表示暂时记为z*。要提醒下，不然与之前的对偶空间符号有冲突。
这里的复共轭，有时候也叫共轭复数。为什么叫共轭呢？可以这样理解，考虑一个复平面，横纵坐标，横坐标为实部，纵坐标为虚部，那么一个复数z = a + b*i 且a,b ∈ R， 那么复数z就可以表示成复平面上的一个点(a,b)，正好复共轭的定义是虚部互为相反数，那么在复平面上，共轭就是两点互相关于横坐标（实部坐标）对称。你可以理解共轭就是一种对称关系。
复数有一些性质，留意下即可:
多项式系数的唯一性
这个之前的学习笔记提到过。
若一个多项式是零函数，则其所有系数均为0：
多项式的次数记为deg p = m, 看项的最高次是多少。
多项式的带余除法
基本的带余除法可以表示为 p = s*q + r 且 s != 0, r < s。其中商是q，余数是r。这里把这个公式推广到多项式。可以理解为，多项式p除以s得到了余式r。
回顾下之前的学习笔记整理的符号，P(F)表示系数在F中的所有多项式构成的向量空间， Pm(F)表示系数在F上并且次数不超过m的所有多项式构成的P(F)的子空间。
多项式的零点
主要是求解方程p(z) = 0在多项式p ∈ P(F)的研究中有比较大的作用。所以有个特殊的名字而已。
多项式的每个零点对应一个一次因式：
多项式零点的个数不会超过它的次数:
复数域C上的多项式分解
数域F一直以来约定是R或C，所以同时处理了复系数多项式和实系数多项式。但是要再细化点，看看两者的区别，需要先处理复系数多项式的结果来证明实系数多项式的相应结果。
代数学基本定理:
也就是说，任何一个复系数一元m次多项式方程在复数域上至少有1个根(1 <= n <= m)
注意，这个定理在实数域R下不成立，到后面会反映在实向量空间和复向量空间上算子的区别。
C上多项式的分解：
这个分解显然就是p(z) = (z - λ)*q(z)的分解，q(z) = (z - λ1)*q1(z)，q1(z)又可以继续分解，依次类推。
实数域R上的多项式分解
之前提到的代数学基本定理在实数域R下就不成立，有可能没有零点，比如 p(x) = 1 + x^2 = 0，x无解。所以没有零点。
实系数多项式的非实零点是成对出现的：
二次多项式分解：
R上的多项式分解：