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简单梳理一下量子力学中的虚数单位的正负号，如何进行简单的推导和记忆，以及相对应的傅里叶变换中 e 指数上的正负号。
众所周知，-1 有两个平方根，我们管其中一个叫 $\mathrm{i}$, 另一个叫 $-\mathrm{i}$. 它们两个在代数上是无法区分的.也就是说你把所有的 $\mathrm{i}$ 换成 $-\mathrm{i}$, 所有该成立的等式都还成立. 所谓 $\mathrm{i}$ 和 $-\mathrm{i}$ 更多的是约定问题. 不过一旦约定好了, 所有相关的地方就没得选择了.
一般学习量子力学都是从薛定谔方程出发. 考虑含时薛定谔方程
$$ \mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\boldsymbol{x},t)=\hat{H}\psi(\boldsymbol{x},t) $$
对于定态的情形，设 $\psi(\boldsymbol{x},t)=\phi(\boldsymbol{x})f(t)$，且 $\hat{H}\phi(\boldsymbol{x})=E\phi(\boldsymbol{x})$，则时间因子 $f(t)$ 需要满足
$$ \mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}f(t)=f(t) $$
所以 $f(t)\sim\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$. 确定了时间因子之后, 相应的沿着波矢 $\boldsymbol{k}$ 方向传播的平面波的形式就确定了
$$ \psi(\boldsymbol{x},t)\sim\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-\mathrm{i}\omega t} $$
在薛定谔表象下, 对于定态, 我们往往会省略时间因子. 在恰当的归一化之后
$$ \braket{\boldsymbol{x}|\boldsymbol{p}}=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar} $$
相应地
$$ \braket{\boldsymbol{p}|\boldsymbol{x}}=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar} $$
动量本征态在坐标表象下的展开也就得到了
$$ \ket{\boldsymbol{p}}=\int\mathrm{d}\boldsymbol{x}\ket{\boldsymbol{x}}\braket{\boldsymbol{x}|\boldsymbol{p}}=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\int\mathrm{d}\boldsymbol{x}\ket{\boldsymbol{x}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar} $$
$$ \ket{\boldsymbol{x}}=\int\mathrm{d}\boldsymbol{p}\ket{\boldsymbol{p}}\braket{\boldsymbol{p}|\boldsymbol{x}}=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\int\mathrm{d}\boldsymbol{p}\ket{\boldsymbol{p}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar} $$
从坐标表象下的波函数 $\phi(\boldsymbol{p})$ 转换到坐标表象下的波函数 $\psi(\boldsymbol{x})$ 也是同理
$$ \psi(\boldsymbol{x})=\braket{\boldsymbol{x}|\psi}=\int\mathrm{d}\boldsymbol{p}\braket{\boldsymbol{x}|\boldsymbol{p}}\braket{\boldsymbol{p}|\psi}=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\int\mathrm{d}\boldsymbol{p}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar}\phi(\boldsymbol{p}) $$
$$ \phi(\boldsymbol{p})=\braket{\boldsymbol{p}|\psi}=\int\mathrm{d}\boldsymbol{x}\braket{\boldsymbol{p}|\boldsymbol{x}}\braket{\boldsymbol{x}|\psi}=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\int\mathrm{d}\boldsymbol{x}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar}\psi(\boldsymbol{x}) $$
接下来是产生和湮灭算符. 产生算符定义为
$$ a^{\dagger}\left(\varphi\right)\ket{\psi{1},\ldots\psi{n}}=\ket{\varphi,\psi{1},\ldots\psi{n}} $$
而湮灭算符就是 $a(\varphi)=\left(a^{\dagger}\left(\varphi\right)\right)^{\dagger}$, 具体形式比较复杂, 不在这里写出.
考虑 $\ket{\chi}=\alpha\ket{\psi}+\beta\ket{\varphi}$, 则
$$ a^{\dagger}(\chi) =\alpha a^{\dagger}(\psi)+\beta a^{\dagger}(\varphi) $$
$$ a(\chi) =\alpha^{\ast}a(\psi)+\beta^{\ast}a(\varphi) $$
所以 $a^{\dagger}$ 的系数与右矢的系数保持一致, 其变换的形式也与右矢相同:
$$ a^{\dagger}\left(\boldsymbol{p}\right)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\int\mathrm{d}\boldsymbol{x}a^{\dagger}\left(\boldsymbol{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar} $$
$$ a\left(\boldsymbol{p}\right)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\int\mathrm{d}\boldsymbol{x}a^ {}\left(\boldsymbol{x}\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar} $$
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众所周知，-1 有两个平方根，我们管其中一个叫 $\mathrm{i}$, 另一个叫 $-\mathrm{i}$. 它们两个在代数上是无法区分的.也就是说你把所有的 $\mathrm{i}$ 换成 $-\mathrm{i}$, 所有该成立的等式都还成立. 所谓 $\mathrm{i}$ 和 $-\mathrm{i}$ 更多的是约定问题. 不过一旦约定好了, 所有相关的地方就没得选择了.
一般学习量子力学都是从薛定谔方程出发. 考虑含时薛定谔方程
$$ \mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\boldsymbol{x},t)=\hat{H}\psi(\boldsymbol{x},t) $$
对于定态的情形，设 $\psi(\boldsymbol{x},t)=\phi(\boldsymbol{x})f(t)$，且 $\hat{H}\phi(\boldsymbol{x})=E\phi(\boldsymbol{x})$，则时间因子 $f(t)$ 需要满足
$$ \mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}f(t)=f(t) $$
所以 $f(t)\sim\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$. 确定了时间因子之后, 相应的沿着波矢 $\boldsymbol{k}$ 方向传播的平面波的形式就确定了
$$ \psi(\boldsymbol{x},t)\sim\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-\mathrm{i}\omega t} $$
在薛定谔表象下, 对于定态, 我们往往会省略时间因子. 在恰当的归一化之后
$$ \braket{\boldsymbol{x}|\boldsymbol{p}}=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar} $$
相应地
$$ \braket{\boldsymbol{p}|\boldsymbol{x}}=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar} $$
动量本征态在坐标表象下的展开也就得到了
$$ \ket{\boldsymbol{p}}=\int\mathrm{d}\boldsymbol{x}\ket{\boldsymbol{x}}\braket{\boldsymbol{x}|\boldsymbol{p}}=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\int\mathrm{d}\boldsymbol{x}\ket{\boldsymbol{x}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar} $$
相应地
$$ \ket{\boldsymbol{x}}=\int\mathrm{d}\boldsymbol{p}\ket{\boldsymbol{p}}\braket{\boldsymbol{p}|\boldsymbol{x}}=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\int\mathrm{d}\boldsymbol{p}\ket{\boldsymbol{p}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar} $$
从坐标表象下的波函数 $\phi(\boldsymbol{p})$ 转换到坐标表象下的波函数 $\psi(\boldsymbol{x})$ 也是同理
$$ \psi(\boldsymbol{x})=\braket{\boldsymbol{x}|\psi}=\int\mathrm{d}\boldsymbol{p}\braket{\boldsymbol{x}|\boldsymbol{p}}\braket{\boldsymbol{p}|\psi}=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\int\mathrm{d}\boldsymbol{p}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar}\phi(\boldsymbol{p}) $$
相应地
$$ \phi(\boldsymbol{p})=\braket{\boldsymbol{p}|\psi}=\int\mathrm{d}\boldsymbol{x}\braket{\boldsymbol{p}|\boldsymbol{x}}\braket{\boldsymbol{x}|\psi}=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\int\mathrm{d}\boldsymbol{x}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar}\psi(\boldsymbol{x}) $$
接下来是产生和湮灭算符. 产生算符定义为
$$ a^{\dagger}\left(\varphi\right)\ket{\psi{1},\ldots\psi{n}}=\ket{\varphi,\psi{1},\ldots\psi{n}} $$
而湮灭算符就是 $a(\varphi)=\left(a^{\dagger}\left(\varphi\right)\right)^{\dagger}$, 具体形式比较复杂, 不在这里写出.
考虑 $\ket{\chi}=\alpha\ket{\psi}+\beta\ket{\varphi}$, 则
$$ a^{\dagger}(\chi) =\alpha a^{\dagger}(\psi)+\beta a^{\dagger}(\varphi) $$
$$ a(\chi) =\alpha^{\ast}a(\psi)+\beta^{\ast}a(\varphi) $$
所以 $a^{\dagger}$ 的系数与右矢的系数保持一致, 其变换的形式也与右矢相同:
$$ a^{\dagger}\left(\boldsymbol{p}\right)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\int\mathrm{d}\boldsymbol{x}a^{\dagger}\left(\boldsymbol{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar} $$
相应地
$$ a\left(\boldsymbol{p}\right)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\int\mathrm{d}\boldsymbol{x}a^ {}\left(\boldsymbol{x}\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar} $$