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复变函数 # 顾名思义，将复数作为变量的函数我们称之为复变函数，它的具体定义如下 在复数平面上存在一个点集$E$，对于其的每一个点，按照一定的规律，都能找到一个或多个复数值$\omega$与其对应，则称$\omega$为$z$的复变函数，记作 $$\omega=f(z),z\in E$$ 为了下面的介绍，我们简述几个概念 邻域：以复数$z_0$为圆心，以任意小实数为半径做一圆，则院内所有点的集合称作$z_0$的邻域 内点：若$z_0$及其邻域均属于点集$E$，则称其为该点集的内点 外点：若$z_0$及其邻域均不属于点集$E$，则称其为该点集的外点 边界点：若$z0$及其邻域一部分属于点集$E$，一部分不属于，则称其为该点集的边界点 区域：全由内点组成且具有连通性的点集 导数 # 复变函数可以看作实变函数的推广，因此其也具有导数。 设函数$\omega=f(z)$是在区域$B$上定义的单值函数，对于其每一个$z$值，都有且只有一个$\omega$与之对应，若$B$上某点$z$，极限 $$\lim{\Delta z \to 0}\frac{\Delta \omega}{\Delta z}=\lim{\Delta z \to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta(z)}$$ 存在且与$z$趋于0的方式无关，则称其为$\omega$在$z$点可导，此极限即为其导数。 实变函数中的导数关系基本上都可以适用于复变函数 C-R方程 # 我们分别考虑从实轴方向和虚轴方向迫近，首先是实轴方向，此时，$\Delta y=0$，而$\Delta z=\Delta x \to 0$则有 $$ \begin{aligned} & \lim{\Delta x \to 0}\frac{u(x+\Delta x,y)+\text{i} v(x+\Delta x,y)-u(x,y)-\text{i} v(x,y)}{\Delta x}\ =&\lim{\Delta x \to 0}\left( \frac{u(x+\Delta x,y)-u(x,y)}{\Delta x}+\text{i}\frac{v(x+\Delta x,y)-v(x,y)}{\Delta x}\right)\ =&\frac{\partial u}{\partial x}+\text{i} \frac{\partial v}{\partial x} \end{aligned} $$ 然后我们考虑虚轴方向，则有： $$ \begin{aligned} & \lim{\Delta y \to 0}\frac{u(x,y+\Delta y)+\text{i} v(x,y+\Delta y)-u(x,y)-\text{i} v(x,y)}{\Delta y}\ =&\lim_{\Delta y \to 0}\left( \frac{u(x,y+\Delta y)-u(x,y)}{\Delta y}-\text{i}\frac{v(x,y+\Delta y)-v(x,y)}{\Delta y}\right)\ =&\frac{\partial v}{\partial y}-\text{i} \frac{\partial u}{\partial y} \end{aligned} $$
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复变函数 # 顾名思义，将复数作为变量的函数我们称之为复变函数，它的具体定义如下 在复数平面上存在一个点集$E$，对于其的每一个点，按照一定的规律，都能找到一个或多个复数值$\omega$与其对应，则称$\omega$为$z$的复变函数，记作 $$\omega=f(z),z\in E$$ 为了下面的介绍，我们简述几个概念 邻域：以复数$z_0$为圆心，以任意小实数为半径做一圆，则院内所有点的集合称作$z_0$的邻域 内点：若$z_0$及其邻域均属于点集$E$，则称其为该点集的内点 外点：若$z_0$及其邻域均不属于点集$E$，则称其为该点集的外点 边界点：若$z0$及其邻域一部分属于点集$E$，一部分不属于，则称其为该点集的边界点 区域：全由内点组成且具有连通性的点集 导数 # 复变函数可以看作实变函数的推广，因此其也具有导数。 设函数$\omega=f(z)$是在区域$B$上定义的单值函数，对于其每一个$z$值，都有且只有一个$\omega$与之对应，若$B$上某点$z$，极限 $$\lim{\Delta z \to 0}\frac{\Delta \omega}{\Delta z}=\lim{\Delta z \to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta(z)}$$ 存在且与$z$趋于0的方式无关，则称其为$\omega$在$z$点可导，此极限即为其导数。 实变函数中的导数关系基本上都可以适用于复变函数 C-R方程 # 我们分别考虑从实轴方向和虚轴方向迫近，首先是实轴方向，此时，$\Delta y=0$，而$\Delta z=\Delta x \to 0$则有 $$ \begin{aligned} & \lim{\Delta x \to 0}\frac{u(x+\Delta x,y)+\text{i} v(x+\Delta x,y)-u(x,y)-\text{i} v(x,y)}{\Delta x}\ =&\lim{\Delta x \to 0}\left( \frac{u(x+\Delta x,y)-u(x,y)}{\Delta x}+\text{i}\frac{v(x+\Delta x,y)-v(x,y)}{\Delta x}\right)\ =&\frac{\partial u}{\partial x}+\text{i} \frac{\partial v}{\partial x} \end{aligned} $$ 然后我们考虑虚轴方向，则有： $$ \begin{aligned} & \lim{\Delta y \to 0}\frac{u(x,y+\Delta y)+\text{i} v(x,y+\Delta y)-u(x,y)-\text{i} v(x,y)}{\Delta y}\ =&\lim_{\Delta y \to 0}\left( \frac{u(x,y+\Delta y)-u(x,y)}{\Delta y}-\text{i}\frac{v(x,y+\Delta y)-v(x,y)}{\Delta y}\right)\ =&\frac{\partial v}{\partial y}-\text{i} \frac{\partial u}{\partial y} \end{aligned} $$