直覺範疇論

[dannypsnl]

說直覺是因為這不是完善的定義，但是作為入門或是簡要使用的定義「夠好」。我們說 $\mathcal{C}$ 是一個範疇的意思是：

1. 有 $Ob(\mathcal{C})$ 此集合(collection)，表示範疇中的物件。作為方便的記號，當 $a$ 為 $\mathcal{C}$ 中一物件，我們記成 $a \in Ob(\mathcal{C})$
2. 當有 $a, b \in Ob(\mathcal{C})$，而 $f$ 為一 $a$ 到 $b$ 之態射(morphism) ，記為 $f \in \mathcal{C}(a, b)$ 或是 $f : a \to b$。態射可以組合，也就是說當有 $f : a \to b$ 且 $g : b \to c$，就一定有 $f \circ g$ 此態射存在。與上面相同， $\mathcal{C}(a, b)$ 是一個 collection。

要是 $\mathcal{C}(a, b)$ 剛好是集合，就說這是 locally small category，要是連 $Ob(\mathcal{C})$ 也只是集合，那就說這是 small category。

但在最開始的時候，只要簡單的相信範疇給定的定義即可。

[dannypsnl]

Functor

要是限定在 small category，那麼 functor 就是兩個函數：

1. 在 $Ob(\mathcal{C})$ 中的每個物件，在 $Ob(\mathcal{D})$ 中都有對應的物件
2. 在 $\mathcal{C}(a, b)$ 中的每個態射，在 $\mathcal{D}(a, b)$ 中都有對應的態射，並且需保留對應的組合事實

[FizzyElt]

第二部份我放在 Functor 檔案內，第一部份單獨一個放一個 這樣如何？

[dannypsnl]

可以啊

[dannypsnl]

可以修一下：用本性類表示 collection，良性類則是 set

[dannypsnl]

補充，範疇還需要

1. $id_a, id_b$ 對 $f : a \to b$ 滿足 $f \circ id_a = f$ 跟 $id_b \circ f = f$
2. $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$

[FizzyElt]

用本性類表示 collection，良性類則是 set 這是要改在哪裡

[dannypsnl]

直覺範疇裡面，廣泛的來說就是所有同時用到兩種概念的地方