TMI2015

[GENZITSU]

第11問

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第1問 ある行orある列がa倍されてる時に行列式がどうなるかを思い出す。 abc(a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a)(c-b)

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第2問 ベクトル場の法線面積分はベクトル場と法線の内積を面積分することである A・n = x - 2z これを面積分する -1/6

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第3問 cos(u), sin(u)を t = tan(u/2)で置き換えるやつと似てる x^2 + (y/2)^2 = 1 xとyの範囲も楕円全体をカバーする

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第4問 X = (x, y, z)とおいて X’AXを計算するとx^2 + (x-y)^2 + (y-z)^2 これが0になるのはx = y = z = 0の時だけなので正定値であることが言える

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第5問 底面積3/2高さ(4+2+6)/3 = 4の三角柱みなせる 6

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第6問 (1) λ = 1(重解), -1 (2) ハミルトン・ケーリーの定理から A^(n+3) = A^(n+2) + A^(n+1) -A^n (n >= 0 ) =(A^2 - I) A^n + A^(n+1) A^2 = [[1, 0 , 0], [0, 1, 0], [1, 0, 1]] (A^2 - I) A = A^2 - I したがって A^(n+3) = A^2 - I + A^(n+1) nを調整して終わり (3) (2)を逐次的に使って A^200 = A^2 + 99 * (A^2 - 1) =[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [100, 0, 1]]

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第7問 w = 1/ (z + 1) からu, vをx, yで表す。 x = yを代入してu,vだけの関係式にすればよい (u - 1/2)^2 + (v - 1/2)^2 = 1/2

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第8問 第k項は 2^(1/2k(k-1)) (1 + 2+ ... + 2^(k-1)) + 3(1/2k(k-1)) (1 + 3 + ... + 3^(k-1)) 2^n, 3^nがたくさん出てくるけど被りなく出現する 従って第15項までの和は 1 + 2 + ..... + 2^119 + 1 + 3 + ... + 3^119 の和とかける 2^120 + 1/2 * 3^120 -3/2

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第9問 Z = 0, M = 1, A = 2で三進法か？ P = 16番目 = 121(3) = MAM A = 1 = 001(3) = ZZM R = 18 = 200(3) = AZZ I = 9 = 100(3) = MZZ S = 19 = 201(3) = AZM PARIS = MAM-ZZM-AZZ-MZZ-AZM

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第10問 (1) (a・b ) / |a|^2 * a (2) A = [a1, a2] とすると (b - As)・a1 = 0, (b - As)・a2 = 0 すなわち A' (b - As) = [[0], [0]] A' b = (A' A) s P = A (A' A)^(-1) A' b (A'A)に逆行列が存在することの証明は省略していいと思う(共通のH26の第2問をみればいい)

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第11問 テイラー展開したやつを二回微分して微分方程式に入れるっていう落ち。 夢も希望もない。 係数比較すると c1 ~ Ck = 0 c(k+1) = 1 c(k+2) = 　1/(k+1)

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第12問 C 12 E D 14 C E 9 B F 10 E G 18 E H 25 G I 23 E

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第13問 ピラミッドの頂点を求めるっていうことから下から一段上が逐次決定されていくと仮定できる あとは気合い 83 → 8 3 = 24 77 → 7 7 = 49 合わせて73 答えは 55

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第14問 a^3 + b^3 + c^3 = 100a + 10b - c これを変形して 100a - a^3 = b^3 - b + c^3 - c それぞれの項の値を求めて表にしたのち 1^3 -1 が 0なのをみるに371がすぐに見つけられる 次に簡単な0を含むような組があるか探すと 7^3 - 7 = 336 ( = 100 * 4 - 4)が見つかる 407, 371

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第15問 底面の半径をrとするとV = pi/6 r^3 dV/dt = 12, dV/dr = pi/2 r^2 dr/dt = dV/dt dr/dV = 24/pi 1/r^2 8/3*pi

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第16問 黒石の縦の個数をm,横の個数をnとすると 2m + 2n + 4 = 2mn (m, n) = (4, 2), (2, 4) 黒: 8, 白:16

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第17問 (1) Aはあと一人を味方にしさえすればいい 提案内容「Cに宝石を1個Aに宝石を71個」 基本的にCはAの要求を飲まない限り、BとCだけになった時Bに全部取られることになるので1個でも賛成するはずである。 (Aが72個と宣言するのもあり、Cはどのみ0個なのでランダムに賛成反対を投じるので最大は72個かも) (2) 人数が少ない状況から逆算する 3人の時、4人の時、5人の時。。。 賛成反対を決める際の基準になるのはその時の人数-1の時の状況との比較であることに注意 提案内容「Aに68個, CEFGIに1個」

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第18問 普通に条件付き確率を求めればいい 9/23

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第19問 H25の球状リングの問題と似ている AC = a, BC = bとおけば 結果的にa,bが消える 8 * pi

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第20問 (1) 1,3,5,7に最初の四人が座る場合：24通り (2) 地道に計算する(計算しているとはいっていない) (3) 地道に計算する(計算しているとはいってない)