Consulta pauta tarea 6

[ssepul21]

Hola! Quería consultar por qué en la pregunta 1b de la tarea 6 resulta conveniente usar inducción. No lo veo claro del todo cuando es conveniente usar ese método de demostración en concreto. Tipo: fue por ver que dependía solo del n? En qué me podría fijar para darme cuenta de eso? Porque traté de hacer el ejercicio por mi cuenta, llegué al tema del grado, pero no se me ocurrió ocupar inducción para generalizar la idea. Pensé ocupar contradicción, diciendo que el n fuese impar, pero como que no sabía como formalizar lo que venía despues jajaja.

Saludos!

[catalinaortegacalderon]

Holaa!

Generalmente conviene utilizar inducción cuando un ejercicio consiste en lo siguiente:

"Demostrar que una propiedad específica se cumple para todo n natural." (hablando de inducción simple, para fuerte es similar y para inducción estructural conviene cuando hay definiciones recursivas de conjuntos)

Efectivamente cuando la propiedad menciona un "n" o depende de un "n" es una buena pista de que es conveniente usar inducción.

Ahora, que en la pauta se haya demostrado por inducción no implica que es la única manera de demostrar la afirmación. Para una demostración pueden servir muchos métodos distintos. Generalmente unos más directos que otros. Yo te recomiendo probar con tus métodos de demostración favoritos pero efectivamente cuando se pide demostrar una propiedad para "todo n natural", es un buen indicio de que demostrar el ejercicio por inducción es un buen camino.

[catalinaortegacalderon]

Habría que ahondar en tu idea de demostrar el ejercicio por contradicción, pero probablemente sí se puede demostrar la propiedad con ese método. Tal vez de una manera más complicada que haciéndolo por inducción (o tal vez no).

[ssepul21]

Te cacho! Me hace más sentido ahí. Voy a evaluar igual si se puede hacer por contradicción, pero ¿tienes algún pro tip similar para contradicción?

[FranCaprile]

Hola! Todos los ejercicios se pueden demostrar de muchas formas, aunque hay veces que algúnas son más faciles que otras.

No hay un pro tip tan evidente como el de inducción para ver si es útil demostrar un ejercicio por contradicción, pero aquí te dejo algunas pistas:

1- Hay negaciones en el enunciado: Por ejemplo, cuando te piden demostrar que 'no hay ningún número irracional en cierto conjunto' o 'no existe una función que mapee dos conjuntos', es útil demostrar suponiendo lo contrario.

2- Existen cuantificadors existenciales o universales en el enunciado: Por ejemplo 'demuestre que para todo x, ocurre esto', es útil suponer que existe x en el que 'no ocurre esto' y llegar a una contradicción. Lo mismo para 'demuestre que existe un x tal que ocurre esto': es útil suponer que para todo x 'no ocurre esto' y llegar a una contradicción.

3- Cuando no queda otro recurso: Cuando ya intentaste la demostración por inducción, contrapositivo, etc. y ninguna funciona, puede servir intentar la contradicción.

A medida que hagas ejercicios, se te va a hacer cada vez más fácil saber cómo demostrar algo. De todas formas, estas pistas no son excluyentes, por ejemplo un ejercicio puede tener variables universales y puede ser útil demostrarlo por contrapositivo.

Saludos,