Wh4rp
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1 year ago Hola, El problema con intentar hacer el paso inductivo con $+3$ es que estarías haciendo la inducción sobre el conjunto de los multiplos de 3. En el caso de que tu caso base sea $n = 3$. Pero lo haces así la proposición que demuestras ya no es lo que te pedían, esta te queda:
P(n) := (\text{Si } f(n) \text{ es par } \Rightarrow n \text{ es divisible por 3}) \, \forall n \in \{ 3 k \mid k \in \mathbb{N} \}Ya que partes de $3$ y siempre das saltos de a $3$, entonces estás revisando el conjunto $\{3, 6, 9, 12, ...\}$.
En otros casos si puedes hacer "inducción haciendo el salto que quieras", pero eso cambia el conjunto sobre el cual estás demostrando tu proposición.
Ahora bien, esa inducción si funciona para el otro lado $\Leftarrow$. Ya que quieres demostrar que es válido para todos los multiplos de 3, o sea $n = 3k$. Y ahí puedes hacer la inducción sobre $k$.
La proposición que tienes que demostrar en $\Leftarrow$ queda:
Q(k) := (\text{Si } n = 3k \text{ (multiplo de 3)} \Rightarrow F(n) = F(3k) \text{ es par}) \, \forall k \in \mathbb{N}Y esto si lo puedes demostrar por inducción sobre la variable $k$.
Salu2, cualquier duda no dudes en preguntar.
Hola! A partir del siguiente ejercicio:
Entiendo que debo de demostrar hacia ambos lados. Dado que debo demostrar que F(n) es par si y sólo si n es divisible por 3, planteo que en la primera demostración (<-), puedo demostrar que F(3n) es par [F(3n) = 2k], con n mayor o igual a 1. [Esto para omitir n=0 que si bien lo considero como múltiplo de 3, no sería un divisor).
Ahora, asumiendo que lo anterior es correcto, mi problema se presenta con la demostración para el otro lado (->), en donde quiero llegar a que, si F(n) es par, entonces n es divisor de 3. Nuevamente, se me ocurre intentar con los múltiplos, vale decir F(n) par entonces n = 3k, k>=1, pero no sé cómo proseguir. Principalmente, me surge la duda de si es que es posible que mi tesis de inducción sea para n+3 en vez de n+1, puesto que quiero demostrar [Fn par, entonces Fn+3 par]. ¿Es posible?
En realidad, siento que mi enfoque para el otro lado de la demostración está siendo erróneo o que me estoy sobrecomplicando con la definición de lo que es una demostración inductiva simple (vale decir, pensar que se puede n+3 en la tesis en vez de n+1, por ejemplo). ¿Me podrían ayudar?
Gracias!