c4ebt
commented
4 months ago Hola! Aquí van las respuestas:
a) Si tenemos dos relaciones de equivalencia $R_1$ y $R_2$ distintas, entonces sí es posible que una clase de equivalencia bajo $R_1$ también sea clase de equivalencia bajo $R_2$. Sin embargo, no es posible que todas las clases de equivalencia sean iguales bajo ambas relaciones, ya que eso implicaría que las relaciones son iguales.
b) La afirmación dice que los elementos del conjunto $A / \sim$, que a su vez son conjuntos, tienen intersección vacía, es decir, no comparten elementos. Esto ocurre porque son clases de equivalencia, y dos clases de equivalencia distintas no comparten elementos.
c) Un ejemplo posible es la relación $\equiv_n$ definida sobre los naturales, que denota la equivalencia de dos números módulo $n$. Para visualizarlo de mejor manera, tomemos $n = 4$. Las clases de equivalencia de este conjunto son $[0]_{\equiv4}, [1]\{\equiv4}, , [2]\{\equiv4}$ y $[3]\{\equiv_4}$. En la primera de estas están todos los naturales divisibles por $4$, en la segunda todos los naturales que son el sucesor de un número divisible por 4, y así sucesivamente. Esta relación es de equivalencia (me parece que se ve en clases). Notemos que el conjunto cuociente de los naturales bajo esta relación, $\mathbb{N} / \equiv_4$ forma una partición: cada número natural cae dentro de uno y solo uno de los siguientes criterios:
- divide a 4
- es mayor que un divisor de 4 por una unidad
- es mayor que un divisor de 4 por dos unidades
- es mayor que un divisor de 4 por tres unidades
Espero que este ejemplo sirva para clarificar qué es una partición, y como se genera a partir de una relación de equivalencia.
d) Te recomiendo no quedarte muy pegado si no entiendes un concepto particular de un ejercicio particular. De modo general, solo importa que comprendas profundamente la materia del ramo, y definiciones del estilo de periodo pueden ser explicadas un poco más en la prueba. De todas formas, intentaré clarificar los conceptos que mencionas de ese ejercicio. El periodo es similar en cierta forma a lo que vemos en los números decimales periódicos. Una relación tiene un periodo $p$ si, si después de componerla consigo misma un cierto número de veces, se empieza a dar un patrón en el que se repite una relación obtenida anteriormente tras componer consigo misma $p$ veces. El concepto de composición es el visto en clases. Componer una relación varias veces es tomar la relación correspondiente a la composición anterior, y componer la relación con esa. Espero que haya servido un poco más de clarificación. Es un ejercicio bastante rebuscado, y honestamente yo no me preocuparía tanto de manejarlo en su total profundidad.
Yeps3nM
Hola! Tengo distintas dudas sobre la materia y la resolución de algunos ejercicios:
a) Si se tienen dos relaciones de equivalencia o más bajo un mismo conjunto, es posible que compartan clases de equivalencia sin ser iguales? b) Cuando en la clase 15 se prueba que el conjunto cociente de una relación de equivalencia es una partición de un conjunto dado, no entiendo muy bien el por qué de la siguiente afirmación en la demostración de la 3ra propiedad: " ∀X,Y ∈ A/∼, si X ≠ Y entonces X ∩ Y = ∅: Todos los conjuntos en A/∼ son clases de equivalencia, y por lo tanto por teorema anterior esta propiedad se cumple." c) En el concepto de partición todavía se me confunde la definición y no pude pensar en ejemplos de relaciones que no lo generaran, entonces quería saber si me podrían dar alguno para clarificarme más la aplicación de lo teórico d) En las pruebas de semestres pasados específicamente Control 2 2020, realmente no pude hacer el segundo ejercicio porque no comprendí lo que pedían y cómo se orientaba el desarrollo del ejercicio. Si bien vi la pauta, la definición del periodo y el tema de las composiciones, agradecería mucho si me lo pudiesen explicar/clarificar de alguna forma
Muchas gracias!