c4ebt
commented
1 month ago Hola!
Un buen punto de partida es hacernos un mapa mental de la información que tenemos, y de lo que queremos demostrar.
¿Qué información tenemos? Tenemos que $\mathcal{S}$ es una partición de un conjunto $A$, y que $\sim \subseteq A \times A$ es una relación tal que dos elementos de $A$ están relacionados si y solo si estan en el mismo conjunto en la partición $\mathcal{S}$.
Con la información anterior, buscamos demostrar que $\sim$ es una relación de equivalencia, o en otras palabras, que es refleja, simétrica y transitiva. Notemos que la relación aquí es $\sim$, no $x$; $x$ no es más que un elemento de $A$ cualquiera.
Para demostrar que es refleja, tomamos un elemento cualquiera de $A$, $x$, y debemos demostrar que está relacionado a sí mismo, i.e. $x \sim x$. Con la forma en que definí la relación antes es intuitivo que está relacionado a sí mismo, ya que claramente está en el mismo conjunto de la partición que sí mismo. Sin embargo, tenemos que formalizar esto, y una forma de hacerlo es mediante el axioma de extensión: si $x$ está en un conjunto $X$ de la partición $\mathcal{S}$, entonces por axioma de extensión ${ x, x }$ debe ser subconjunto de $X$, con lo que se llega exactamente al requisito necesario para que dos elementos estén relacionados por $\sim$. Con esto se concluye que la relación es refleja.
Para demostrar simetría y transitividad se sigue la misma ruta de siempre:
- Simetría: tomamos un par de elementos $x, y \in A$ y suponemos que $x \sim y$. Buscamos demostrar que $y \sim x$. En este caso, la forma de demostrar que $y \sim x$ necesariamente tiene que pasar por el hecho de que $x$ e $y$ pertenecen a un mismo conjunto $X$ de la partición $\mathcal{S}$, ya que esa es la definición de $\sim$.
- Transitividad: tomamos tres elementos $x, y, z \in A$ y suponemos que $x \sim y \land y \sim z$. Buscamos demostrar que $x \sim z$. De igual manera, por la definición de $\sim$ lo que buscamos demostrar es que $x$ y $z$ pertenecen al mismo conjunto $X$ de la partición $\mathcal{S}$.
Espero que se entienda mejor :)
Hola! Quería consultar por la estructura de esta demostración que me tiene confundido.
Aquí, se me pide demostrar este teorema, pero la demostración procede así:
Mi problema es que inicialmente yo hubiese pensado demostrar el si y solo si, aunque viendo la demostración, me da a pensar que ese si y solo si es de "definición". Lo que realmente busco demostrar es que x~y es una relación de equivalencia. Pido confirmación de esto. Ahora bien, cuando uno hace el si y solo si es relativamente simple, ya que sé a priori que debo asumir el antecedente y demostrar el entonces para ambas direcciones (dado que lo haga por demostración directa). En este caso, me cuesta reconocer qué es lo que puedo asumir para llegar a que x~y es una relación de equivalencia. Sobre todo me confunde la parte de demostrar reflexividad, donde se llega a que {x} es subconjunto de X, y luego por ax extensión, {x,x} es subconjunto de X, posteriormente Aplica la definición de relación y llega a que es refleja. Realmente no entiendo esta parte de aplicar la definición de relación para concluir que {x,x} es una relación y que, además, es refleja. ¿De qué condiciones parto exactamente?, me cuesta un poco entender el panorama general y estructura de esta demostración. Cualquier ayuda se agradece!