VAMarques
commented
1 month ago no veo bien por qué la unión de los conjuntos iría de 0 hasta n+m-1 y no hasta n+m-2.
Piensa que en Discretas estamos (No soy ayudante), con los naturales del 0 en adelante, entonces con el conjunto $B$, su elemento 0, tomara la posicion n, no la posicion n-1, la cual es el final de $A$, debido a esto el $j$-esimo elemento de B en $A \cap B$ tomara el valor de $n+j$, luego el elemento $m-1$ tomara el valor $n+m-1$
A ={0, ... , 9} y B = {0, ... ,12}
Esto no cumple las condiciones, pues $A \cup B=\{0,...,9\}$, y no vacio. Por tanto no cumple la hipotesis, en consecuencia no importa que no se este cumpliendo lo afirmado.
Pero en si:
me gustaría que, al concatenar con g(x), este g(x) parta desde n?
Es la intuicion correcta, no queremos que entro los elementos se "solapen", como lo mencionaste.
No termino de entender qué representa el k que pertenece a ese conjunto. Sería una salida de h(x)?
Mas precisamente, $k$ seria un elemento en el conjunto de llegada, recuerda que estamos buscando cardinalidad de $A \cup B$, y estamos demostrando que $|A \cup B| = |A|+|B|$, y la cardinalidad de $|A|+|B|$ es n+m, el conjunto con $n+m$ elementos es $\{ 0, 1, ..., n+m-1 \}$, entonces lo que estamos buscando es que siempre podamos llegar al $k$ con la funcion $h(x)$.
Desde $\{0,...,n-1\}$ eso es facil, pues ya lo asumimos por f, luego al asumir $n \le k < n+m$ es que estamos buscando que si esta en ese rango, podamos llegar con $h(x)$, pero entonces tenemos que modificar la otra funcion, $g(x)$, para que no "Choque", o "solape" con la otra, $f(x)$, por eso se le suma n, pues $f(x)$ nunca llegaba a $n$ originalmente, pero si a $n-1$
Entonces, lo que pasa es que al tener un $k \in {0, ..., n+m-1}$ este siempre tendra algun elemento $x$ en el conjunto original al cual al aplicar $h(x)$, el resultado sea $k$, eso es ser sobrejectiva.
Igual no es una demostracion sencilla, creo que la razon de la confusion podria haber sido el tema del 0, eso te puede confundir mucho, yo tambien me enrede un poco haciendo esto, pues estaba estudiando pero me canse y me encontre con tu issue.
Si necesitas ayuda con la inyectividad podrias preguntar aca, pero no se si yo te pueda responder, pues esto no es realmente mi responsabilidad hahaha.
pibahamondesw
Hola! quería consultar algo de la clase, en específico, la demostración de este teorema:
Tengo varias dudas con esta demostración:
1) no veo bien por qué la unión de los conjuntos iría de 0 hasta n+m-1 y no hasta n+m-2.
2) ¿Por qué al definir h(x) le sumo n? Sería porque f(x) va de A -> {0, n-1} y me gustaría que, al concatenar con g(x), este g(x) parta desde n? De todas formas, aún así me confunde. Por ejemplo, si me imagino que A ={0, ... , 9} y B = {0, ... ,12}, estos conjuntos se estarían solapando y me quedaría finalmente que su unión sería A U B = {0, ... ,12} , pero n=10 y m=12, entonces n+m-1 = 21, y no se cumple que h: A U B -> {0, ..., n, n+1, ..., n+m-1}
3) Al demostrar sobreyectividad
No termino de entender qué representa el k que pertenece a ese conjunto. Sería una salida de h(x)? Y si es así, ¿por qué debo considerar todos esos casos? No termino de ver exactamente por qué debo tomar casos como k<n, n <= k <n+m y menos entiendo por qué debo tomar esos casos específicos.
Naturalmente tengo dudas con la demostración de la inyectividad también, pero confío en que aclarando las dudas de antes también podré entender el resto de la demostración. Cualquier explicación del proceso de pensamiento que debiese llevar para resolver estas dudas lo agradecería muchísimo!
Gracias :)