guia i2 pregunta Cardinalidad pregunta 8

[Utmite]

No nos indican que la funcion $f$ sea inyectiva por lo que podemos tener la funcion $f(x)=0$ por lo que su $f(\mathbb{N}) = {0}$ y ese conjunto no es enumerable, por lo que no se puede demostrar el enunciado. ¿es un error de la guia? o ¿que hice mal?

[Maratripa]

Todos los conjuntos finitos son numerables, por lo que {0} si es numerable. El razonamiento detrás de esa pregunta es que cualquier subconjunto de los naturales es numerable, y como el conjunto imagen de la funcion son los naturales, el conjunto tiene que ser numerable.

Lo que hay que hacer es demostrar el caso general de f. Notar que la pregunta pide "demuestre que..." por li que ya tienes el hint de que es verdadero.

[Utmite]

¿Entonces los conjuntos finitos también son enumerables? Pues en la clase 17 se nos define enumerable como |A| = |$\mathbb{N}$| y |{0}| no tiene la misma cardanilidad que los naturales

[emivenezian]

misma duda

[Maratripa]

Lo que se define en las clases son los conjuntos infinitamente numerables, que por lo general son los conjuntos con los que trabajamos en el curso.

La verdad es que por la definición de igual cardinalidad que los naturales, los conjuntos finitos no son numerables, pero reservamos esta categoría (no numerables) para los conjuntos que tienen cardinalidad mayor a los naturales.

Viéndolo de otra forma, podemos decir que un conjunto numerable es tal que le podemos asignar un número natural a cada elemento / poner el conjunto en una lista que podemos indexar.

En esta pregunta en particular, tomamos los conjuntos finitos como numerables. Pero la definición de clases debería decir: "un conjunto infinito es numerable cuando tiene la misma cardinalidad que los naturales".

[emivenezian]

pero que funcion biyectiva existe entre el {0} y los naturales?

[Maratripa]

No existe, por eso esa definición es de los conjuntos infinitos numerables. Todos los conjuntos finitos son numerables, pero no todos los conjuntos numerables son finitos.

[emivenezian]

pero dices que el {0} si es numerable, entonces tiene que existir esa biyeccion

[Maratripa]

No necesariamente, la definición de clases no está completa. La definición de clases no es un si, y solo si, es solo una implicancia, por lo que no todos los conjuntos numerables tienen una biyeccion a los naturales.

Es decir, un conjunto es numerable si tiene una biyeccion a los naturales. No dice que un conjunto tiene una biyeccion a los naturales si es numerable. La definición es solo para un lado, por lo que deja abierta la definición de los conjuntos finitos.

[emivenezian]

Entiendo, entonces como se demuestra que un conjunto finito es numerable si no siempre hay una biyeccion, como en el caso del 0?

[Maratripa]

Para efectos de esa pregunta, puedes asumir que todo conjunto finito es trivialmente numerable, ordenas los n elementos en una lista finita y le asignas el índice de cada elemento al elemento, por lo tanto, los puedes "enumerar".