King-of-Infinite-Space
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4 years ago 抽签的结果服从多项分布(Multinomial distribution)，在n次试验后E(X) = n p, Var(X) = n p (1-p)，此处X和p有下标i，对应某个对阵（其实对于某个对阵考虑二项分布也可以）。在抽签的情况下每个p都很小所以SD(X)~ sqrt(E(X))。要使得模拟的结果更接近真实分布，就需要增加抽签次数，因为相对误差SD(X)/E(X) ~ 1/sqrt(E(X))。
对今年的抽签进行了总计七百万次模拟之后（包括上述一百万次），上面的结果仍然是出现次数最多的（4474，万分之6.39），而出现次数次多的几个对阵有所不同。第二多的出现次数是4380，考虑到sqrt(4474)~67，距离其一个标准差以上，我们可以相信上面的结果就是最有可能出现的。
欧冠小组赛战罢，又到了一年一度淘汰赛抽签的时间。
抽签流程如下：一个碗里放着所有小组第二，从中抽出一个；选出它可能的对手（不能是同国家或同小组的球队）放到一个碗里，从中抽出一个。以此重复。
去年写了个程序模拟了一百万次抽签，结果最有可能出现的对阵与实际抽签结果想必居然8中5。想必那是个巧合，于是我把代码拿出来改了改（之前写的算法太慢了），又进行了一百万次模拟。在2002种可能性中，最有可能出现的对阵如下：
PSG - DOR BAY - ATA MCI - NAP JUV - RMA LIV - LYO BAR - CHE RBL - ATM VAL - TOT
在一百万次模拟中出现664次（频率为万分之6.64）。排在它后面的对阵出现次数为651、643等等，分布直方图如下（x轴为出现次数，y轴为有多少组不同对阵在模拟中出现该次数）。
其实强行模拟用频率估计概率并不是聪明的办法。这里通过某种图论的方法直接计算了概率。有空学习一下它的算法。不过那个网页只展示了每个球队与其他球队对阵的概率，我更感兴趣的是所有可能对阵的概率分布。
回顾一下去年的结果：
在3694种可能性中，最有可能出现的对阵如下（粗体为猜中的对阵）：
DOR - TOT BAR - LYO PSG - MUN POR - AJA BAY - LIV MCI - ROM RMA - SCH JUV - ATM
在一百万次模拟中出现374次。排在它之后的还有359、353等。
与去年相比，今年的可能对阵明显减少。这是因为今年欧冠小组赛出线的球队全部来自五大联赛（历史上首次！），而去年五大联赛之外有阿贾克斯和波尔图。阿贾克斯去年离欧冠决赛只有一步之遥，而今年在双德等人转会之后连小组也没出线（最后一轮在主场被瓦伦西亚击败）。咫尺天涯，令人唏嘘。