好脾气的琴键

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小时候音乐课上以及学习某民族乐器时用的是简谱。多年后又自学了一点基本乐理，然后觉得通行的记谱方式或多或少都有缺陷。简谱的1234567固然简洁，但这些数字不能直接进行运算（12的间隔不同于34的间隔），不符合人们关于数字的直觉。西方用的字母CDEFGAB不如数字直接，而五线谱更是繁复。情况非如此不可吗？于是本文探索一下基于十二平均律的记谱方式，结果绕了一圈到达了12个数字的简谱。（实属闭门造车自娱自乐，但若能加深自己对乐理的理解倒也不错。本人对乐理了解有限，术语可能不尽准确。）（顺便测试Markdown和LaTex混排。）

十二平均律定义了半音音阶 (chromatic scale)，12个音等距。而人们更习惯使用的自然音阶 (diatonic scale) 是其中的7个。显然，通行的记谱方式遵循了自然音阶，并用升降号表示其他5个音。这样的缺陷在于无法直观地计算音程，而音程往往是应用中以及听感上更重要的概念。比如1和3（C和E）之间是4个半音（大三度），但3和5（E和G）之间是3个半音（小三度）。这对于老手不是问题，但会给初学者造成麻烦。一套合理的符号系统能方便人们理解概念，而不是增加学习的障碍。12音音阶是更全面更通用的系统，而7音音阶只是嵌在里面的一个子集。所以，基于12音音阶记谱是更合理的方案。

如果能用数字表示等距的12个音，那么计算音程（以半音为单位）和移调就是简单的加减法。（升降号去死吧！）理想的计数方式是12进制。但数字只有10个，超过10的进制只得使用其他符号，比如16进制用字母A~F表示10进制的10~15。记谱的话，0用起来可能不太习惯（可以像简谱那样用作休止符），那么还需要10、11、12的符号。考虑到西方音乐已经用了前7个字母A~G，最好使用后面的字母，比如勉强形似的P、H、R？X、Y、Z？罗马数字ⅹ、ⅺ、ⅻ？但用字母的话没法直观计算。

突发奇想，带分数 (mixed number) 相当于自带取模运算 (mod 12)。比如：

C4 = $4\frac{1}{12}$

A4 = $4\frac{10}{12}$

B0 = $\frac{12}{12}$

音程的计算无比直观：C4 - G3 $= 4\frac{1}{12} - 3\frac{8}{12} = \frac{5}{12}$，即5个半音（纯四度）。

顺便，由于A4的音高被定为440Hz，一个音对应的带分数 $n$ 和它的频率 $f$ 有如下关系：$f(n) = 440 \times 2^{n - 4\frac{10}{12}}$。

此记法方便计算，但不方便书写和阅读。既然人们关心的主要是带分数的分子，不妨将此写法简化一下：将带分数的分子作为主体，整数部分作为上标，省略分母12。这样看起来就简洁多了。

C4 = $4\frac{1}{12}$ = $1^4$

B3 = $3\frac{12}{12}$ = $12^3$

在特定情况下（比如在乐谱开头作好规定），还可以省略上标。然后发现绕了一圈又回到了1=C的简谱，只不过把7个音的自然音阶换成了12个音的半音音阶。相应音名和音程名的对照如下。

音名	音名(1=C0)	音程名	音程(半音)	新的音名
C0	1			1
		m2	1	2
D	2	M2	2	3
		m3	3	4
E	3	M3	4	5
F	4	P4	5	6
		tri	6	7
G	5	P5	7	8
		m6	8	9
A	6	M6	9	10
		m7	10	11
B	7	M7	11	12
C1	$\dot{1}$	O	12	$1^1$

新记法下对应C大调CDEFGAB的是1、3、5、6、8、10、12。（这个数列有点耳熟？“一三五七八十腊，三十一天永不差。”只是7变成了6。）C小调就是1、3、4、6、8、9、11。这样每个调式就只是7个数字，数字之差就是以半音为单位的音程。 总之，新的记谱方式用这微小的一次性的记忆负担，换来了明显更优的数学性质，免去了很多换算的麻烦。（甚至不妨再自由一点，像简谱那样在开头定调，比如A4调1=$4\frac{10}{12}$。）

当然，基于十二平均律的记谱方式不是什么新鲜事物。乐理研究里的确有用12进制整数表示音符的integer notation（C=0，10和11可以用t,e或A,B代替）。改进五线谱的方案也有不少，比如Dodeka Music就在推广等距的四线谱（以及等距的键盘）。新的记谱方式相当于一种语法更简单的语言。若要普及，需要有人用它编写课程和资料，并配合新乐器进行教学。在数码时代，这些在技术上不是难事。在日新月异的计算机领域，新的编程语言可以很快推广。但音乐界传统的力量可能太大，因循守旧才是真正的障碍。

记谱法不只是一种书写格式，还涉及一个更深刻的问题：记录音乐的方式在多大程度上塑造了人们对音乐的感知？不清楚学界对此有多少研究，个人猜测影响不小。那么，习惯了旧语言的人或许难以切换到新语言，而从新语言从头学起的人或许能对音乐产生更全面的认识。

According to Philip Tagg and Richard Middleton, musicology and to a degree European-influenced musical practice suffer from a 'notational centricity', a methodology slanted by the characteristics of notation. (Musical notation - Wikipedia)

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标题的梗源于我曾把well-tempered误理解作good-tempered。。就当作比喻吧。

The Well-Tempered Clavier, BWV 846–893, is two sets of preludes and fugues in all 24 major and minor keys for keyboard by Johann Sebastian Bach. In the composer's time Clavier, meaning keyboard, indicated a variety of instruments, most typically the harpsichord or clavichord but not excluding the organ. (Wikipedia)

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在知乎见过这样一个问题 如何看待王垠对乐理的理解，对本文有所启发。先交代下背景：王据说是计算机语言方面的奇才。他把编程语言和逻辑上的一些概念视为通用原则，并试图用它们审视评判其他领域。（注：原来觉得此人只是性情乖张、恃才傲物，刚刚瞅了一眼他的博客，看来此人走上了民科和阴谋论的道路。）

王学习乐理时觉得常用的记谱方式和一些概念的名称令人费解，于是发文吐槽。他固然出言不逊，但几位专业人士的回复有点吹毛求疵，没有说到关键。（或许是攻击性的言论引发了防御性的回复。这个回答倒是对其有所肯定，但扯得有点远。）评论区网友比较公允，不少和我一样觉得王说的有道理，这套系统的确令人困惑。

专业人士指出早有音乐家探索过这些问题。这并不奇怪。关键问题在于绝大多数人学习使用的还是传统的那一套，而且它并没有因为这些探索而得到改进。

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顺手记一下：钢琴的音域是A0到C8，共88个键，52个白键。E4、F4是第44、45个键，亦是第26、27个白键。

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看了下unicode里有没有10~12的字符。有倒是有，比如⑩、⑾、⒓，但都有多余的符号。（右下角那个点是做什么的？。。）即便如此也比字母或罗马数字易读吧。

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正在试图在脑子里重新建立数字和音高以及唱名的对应关系……需要忘掉以前的1~7……