Ensembles équipotents : ajouter ou soustraire des cardinalités

[cdrcprds]

Le lemme 1.55 (qui dit que si deux sous-ensembles B et B' sont équipotents, alors A\B et A\B' sont équipotents) ne fonctionne que pour des ensembles B et B' disjoints.

La dernière ligne de la démonstration tente de traiter le cas des ensembles non disjoints en se ramenant à deux parties disjointes C et C', mais ça ne fonctionne pas, car on n'a aucune garantie que les ensembles C et C' obtenus sont bien équipotents.

Un contre-exemple : Z\N et Z\Z ne sont pas équipotents.

Du coup, il faudra sans doute revoir la démonstration du lemme 1.61 (qui s'appuie en partie sur ce résultat).

[cdrcprds]

Par ailleurs, une note en bas de page dans la démonstration de la proposition 1.58 (qui établit une bijection entre un ensemble infini S et l'ensemble {0;1}xS) pose la question de l'utilisation de l'axiome du choix à un point donné de la démonstration. Il s'agit de construire une fonction phi : x -> phi_i(x) en "choisissant" un indice i€I tel que x€X_i.

Bien que l'indice i€I ne soit pas nécessairement unique pour un x donné, la valeur phi_i(x) est en revanche bien unique (la discussion située juste au-dessus de la définition de phi le prouve).

On peut donc définir phi(x) comme étant l'unique élément de l'ensemble (indexé par l'ensemble des indices i tels que x€X_i) : {phi_i(x)}. Par conséquent, on n'a pas besoin de l'axiome du choix à cet endroit précis (bien sûr, dans la suite de la démonstration, qui utilise le lemme de Zorn, c'est une autre histoire).

[LaurentClaessens]

Bien vu. À première vue, il faut ajouter l'hypothèse que A est strictement surpotent à B et à B'. Mais alors il faut être sûr que c'est suffisant pour les endroits où c'est utilisé. Je verrai ça à tête reposée ...

PS : pour citer des résultats, au lieu de donner les numéros (p.ex 1.55), on peut donner les labels qui sont affichée. Dans notre cas, c'est le "LEMooDHWSooFqhano". C'est un peu moche, mais ça a l'avantage de ne pas bouger avec le temps, alors que les numéros peuvent facilement changer, parfois de beaucoup.

[LaurentClaessens]

Bon, j'ai ajouté l'hypothèse que B et B' sont disjoints. D'autre part, j'ai adapté la démonstration du lemme "LEMooIVCBooHWQiZB". Maintenant elle n'utilise plus le premier.

Ça devrait être bon.

[LaurentClaessens]

J'ai précisé la définition de phi, et corrigé au passage une faute : j'avais oublié partout la dépendance de phi et phi_i en k \in {0,1}.

[cdrcprds]

• Pour LEMooDHWSooFqhano (A\B équipotent à A\B') : c'est Ok.
• Pour PropVCSooMzmIX ({0,1}xS équipotent à S) : il reste quelques imprécisions.
  • Si Y est équipotent à S : on construit une fonction f qui est une injection (et pas nécessairement une bijection) puisque phi n'est "qu'une" injection. C'est quand même suffisant parce que Cantor-Bernstein.
  • Si Y n'est pas équipotent à S : on justifie l'existence d'une bijection g : {0,1}xN -> N, en citant LEMooUFCAooSyZtZj (A U B équipotent à A) alors qu'il faudrait plutôt citer LEMooRXSRooBUWOyb. Le reste de la démonstration est Ok.
• Pour LEMooIVCBooHWQiZB (A\B équipotent à A) : la démonstration n'est pas encore correcte : Dans SUBEQooTUWMooHIBLmJ on justifie que "A\B1 est surpotent à B2" alors qu'on a en fait besoin de "A1\B1 est surpotent à B2".

[cdrcprds]

Une autre façon de procéder pour LEMooIVCBooHWQiZB : On utilise LEMooXMVDooIWLWis (A U B équipotent à A) ainsi que le théorème de comparabilité cardinale (qui utilise l'axiome du choix, mais il est de toutes façons déjà omniprésent dans ces histoires de cardinaux).

On écrit : A = (A\B) U B. Le théorème de comparabilité cardinale nous garantit que l'un des deux cas suivants est vérifié :

• Si A\B est surpotent à B : la réunion des deux est alors équipotente à A\B (exactement ce qu'on voulait démontrer).
• Si B est surpotent à A\B : la réunion des deux est alors équipotente à B ; on a dans ce cas A et B équipotents (faux par hypothèse).

Reste encore à démontrer le théorème de comparabilité cardinale : Wikipédia ne donne pas la démonstration complète, mais indique tout de même les grandes lignes :

• Montrer que l'ensemble des graphes d'injections d'une partie de A dans une partie de B est inductif.
• Il existe donc (lemme de Zorn) un élément maximal (au sens de l'inclusion), qui donne le graphe d'une injection de A dans B ou de B dans A.

[cdrcprds]

Encore une deernière chose : la démonstration de PROPooFKBEooKXqujV (AxN équipotent à A) est incomplète. On construit des parties A_i et B_i qui vérifient un certain nombre de conditions... et la démonstration s'arrête là, sans conclusion.

[LaurentClaessens]

* Pour **LEMooIVCBooHWQiZB** (**A\B** équipotent à **A**) : la démonstration n'est pas encore correcte :
  Dans **SUBEQooTUWMooHIBLmJ** on justifie que "**A\B1** est surpotent à **B2**" alors qu'on a en fait besoin de "**A1\B1** est surpotent à **B2**".

Nous avons l'injection (phi_1)^(-1): A\B_1 -> A\B qui dit que A\B >= A\B_1.

Je laisse une note dans ce sens, mais je n'ose plus affirmer :)

[cdrcprds]

Malheureusement, je crois que ça ne marche pas : phi_1 transforme "bijectivement" A\B en A_1\B_1, donc phi_1^(-1) transforme A_1\B_1 (et non A\B_1) en A\B. La réciproque de phi_1 n'est définie que sur A_1, pas sur A tout entier.

Je crois bien qu'il va falloir passer par le théorème de comparabilité cardinale. Sur la page https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_cardinal#Propri%C3%A9t%C3%A9s wikipédia présente le résultat à démontrer comme une conséquence de LEMooXMVDooIWLWis ; ils ne citent pas explicitement le théorème de comparabilité cardinale, mais ils ont l'air de l'utiliser implicitement (cf la démonstration que j'ai écrite plus haut).

La démonstration du théorème de comparabilité cardinale n'est en fait pas si compliquée ; wikipédia en dessine une esquisse ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_de_Zorn#Ensemble_inductif (ils la prennent comme exemple d'utilisation du lemme de Zorn)

[cdrcprds]

Pour la preuve de PROPooFKBEooKXqujV :

• Dans la construction, pour A_0 et B_0 : il est dit deux fois qu'ils sont disjoints.
• Pour montrer que A_i et A_j sont disjoints, la chaîne d'inclusions serait plutôt : Aj < B(j-1) < B_(j-2) < ... < Bi (B(j-1) apparaît deux fois)
• Dans la conclusion, je trouve le terme "inéquipotence" assez trompeur ; j'emploierais plutôt "la surpotence AxN >= A ".

Le reste me semble Ok.

[LaurentClaessens]

Effectivement, quand un truc est équivalent à l'axiome du choix, il ne faut pas insister : on ne trouvera pas d'astuces pour s'en passer. Bref, c'est prouvé comme tu le disais, avec la comparabilité cardinale.

Merci pour la relecture.

[cdrcprds]

Pour PROPooFKBEooKXqujV : La précision "A_i et B_i sont disjoints" a disparu : il fallait la laisser. Quand j'avais parlé d'un doublon, je parlais de la phrase "Nous commençons à zéro en utilisant le corollaire 1.60 pour construire A0 et B0 dans A disjoints tels que A0 ~ B0 ~ A et tels que A0 et B0 sont disjoints."

Quelques remarques pour THOooCBSKooCmzfUf (théorème de comparabilité cardinale) :

• "Nous passons rapidement sur le fait que cet ensemble est inductif, et nous considérons tout de suite un élément maximal". D'accord, mais il faudrait au moins faire référence au lemme de Zorn pour justifier l'existence de cet élément maximal.
• À propos de l'application sigma : "Elle n’est pas surjective si Y est différent de A". Il faut plutôt écrire "Y différent de B".
• La distinction des cas à la fin (selon que Y=B ou non) n'est pas tout-à-fait bonne : même si Y=B, on ne sait pas si phi : X->B est surjective (on sait seulement que phi est une injection de X dans Y). À la place, il faut distinguer les cas "phi(X)=B" (auquel cas, on a évidemment Y=B) et "phi(X) différent de B" (auquel cas, on dispose d'un b€B\phi(X) et on peut continuer la démonstration).

Pour LEMooIVCBooHWQiZB, c'est enfin bon (victoire !).

[LaurentClaessens]

En ce qui concerne la distinction Y=B ou non, en réalité, on peut toujours dire que Y=B parce qu'agrandir l'espace d'arrivé ne change rien à l'injectivité. Et d'ailleurs un élément maximal aura, pour cette raison, toujours Y=B.

À mon avis, il faut dire directement que l'ensemble est le triples (X,Y,phi) où phi est bijective. Ensuite, il faut montrer qu' un élément maximal aura soit X=A soit Y=B.

EDIT : Ce n'est pas exactement ce que je disais ... http://www.logique.jussieu.fr/~sami/Ensembles_L3/5_Cardinaux_non_denombrables.pdf

[cdrcprds]

Il reste une coquille dans la démonstration de la comparabilité cardinale : Il est écrit vers la fin de la démonstration : "Nous sommes dans le cas X \neq A et Y \neq B". Ce serait plutôt phi(X) \neq B (et non Y).

En dehors de ça, je pense que c'est bon.

Edit : en fait, je crois que les Y ne sont pas très utiles, dans la démonstration ; on peut se contenter de définir les fonctions phi : X -> B injectives (mais pas forcément surjectives), et enlever toutes les allusions à Y.

[LaurentClaessens]

Si c'est bon, je ferme. Il est temps de mettre ça en musique pour démontrer l'existence et l'unicité d'une clôture algébrique pour tout corps...