跳跃表（skiplist）是一种有序数据结构，它通过在每个节点中维持多个指向其他节点的指针，从而达到快速访问节点的目的。

跳跃表支持平均 O(log N) 最坏 O(N) 复杂度的节点查找，还可以通过顺序性操作来批量处理节点。

在大部分情况下，跳跃表的效率可以和平衡树相媲美，并且因为跳跃表的实现比平衡树要来得更为简单，所以有不少程序都使用跳跃表来代替平衡树。

Redis 使用跳跃表作为有序集合键的底层实现之一：如果一个有序集合包含的元素数量比较多，又或者有序集合中元素的成员（member）是比较长的字符串时， Redis 就会使用跳跃表来作为有序集合键的底层实现。

举个例子， fruit-price 是一个有序集合键，这个有序集合以水果名为成员，水果价钱为分值，保存了 130 款水果的价钱：

redis> ZRANGE fruit-price 0 2 WITHSCORES
1) "banana"
2) "5"
3) "cherry"
4) "6.5"
5) "apple"
6) "8"

redis> ZCARD fruit-price
(integer) 130

fruit-price 有序集合的所有数据都保存在一个跳跃表里面，其中每个跳跃表节点（node）都保存了一款水果的价钱信息，所有水果按价钱的高低从低到高在跳跃表里面排序：

跳跃表的第一个元素的成员为 "banana" ，它的分值为 5 ；
跳跃表的第二个元素的成员为 "cherry" ，它的分值为 6.5 ；
跳跃表的第三个元素的成员为 "apple" ，它的分值为 8 ；

诸如此类。

和链表、字典等数据结构被广泛地应用在 Redis 内部不同， Redis 只在两个地方用到了跳跃表，一个是实现有序集合键，另一个是在集群节点中用作内部数据结构，除此之外，跳跃表在 Redis 里面没有其他用途。

本章将对 Redis 中的跳跃表实现进行介绍，并列出跳跃表的操作 API 。

本章不会对跳跃表的基本定义和基础算法进行介绍，如果有需要的话，可以参考 William Pugh 关于跳跃表的论文《Skip Lists: A Probabilistic Alternative to Balanced Trees》，或者《算法：C 语言实现（第 1 ～ 4 部分）》一书的 13.5 节。

跳跃表的实现

Redis 的跳跃表由 redis.h/zskiplistNode 和 redis.h/zskiplist 两个结构定义，其中 zskiplistNode 结构用于表示跳跃表节点，而 zskiplist 结构则用于保存跳跃表节点的相关信息，比如节点的数量，以及指向表头节点和表尾节点的指针，等等。图 5-1 展示了一个跳跃表示例，位于图片最左边的是 zskiplist 结构，该结构包含以下属性：

header ：指向跳跃表的表头节点。
tail ：指向跳跃表的表尾节点。
level ：记录目前跳跃表内，层数最大的那个节点的层数（表头节点的层数不计算在内）。
length ：记录跳跃表的长度，也即是，跳跃表目前包含节点的数量（表头节点不计算在内）。

位于 zskiplist 结构右方的是四个 zskiplistNode 结构，该结构包含以下属性：

层（level）：节点中用 L1 、 L2 、 L3 等字样标记节点的各个层， L1 代表第一层， L2 代表第二层，以此类推。每个层都带有两个属性：前进指针和跨度。前进指针用于访问位于表尾方向的其他节点，而跨度则记录了前进指针所指向节点和当前节点的距离。在上面的图片中，连线上带有数字的箭头就代表前进指针，而那个数字就是跨度。当程序从表头向表尾进行遍历时，访问会沿着层的前进指针进行。
后退（backward）指针：节点中用 BW 字样标记节点的后退指针，它指向位于当前节点的前一个节点。后退指针在程序从表尾向表头遍历时使用。
分值（score）：各个节点中的 1.0 、 2.0 和 3.0 是节点所保存的分值。在跳跃表中，节点按各自所保存的分值从小到大排列。
成员对象（obj）：各个节点中的 o1 、 o2 和 o3 是节点所保存的成员对象。

注意表头节点和其他节点的构造是一样的：表头节点也有后退指针、分值和成员对象，不过表头节点的这些属性都不会被用到，所以图中省略了这些部分，只显示了表头节点的各个层。

本节接下来的内容将对 zskiplistNode 和 zskiplist 两个结构进行更详细的介绍。

跳跃表节点跳跃表节点的实现由 redis.h/zskiplistNode 结构定义：

typedef struct zskiplistNode {

    // 后退指针
    struct zskiplistNode *backward;

    // 分值
    double score;

    // 成员对象
    robj *obj;

    // 层
    struct zskiplistLevel {

        // 前进指针
        struct zskiplistNode *forward;

        // 跨度
        unsigned int span;

    } level[];

} zskiplistNode;

层

跳跃表节点的 level 数组可以包含多个元素，每个元素都包含一个指向其他节点的指针，程序可以通过这些层来加快访问其他节点的速度，一般来说，层的数量越多，访问其他节点的速度就越快。

每次创建一个新跳跃表节点的时候，程序都根据幂次定律（power law，越大的数出现的概率越小）随机生成一个介于 1 和 32 之间的值作为 level 数组的大小，这个大小就是层的“高度”。

图 5-2 分别展示了三个高度为 1 层、 3 层和 5 层的节点，因为 C 语言的数组索引总是从 0 开始的，所以节点的第一层是 level[0] ，而第二层是 level[1] ，以此类推。

前进指针

每个层都有一个指向表尾方向的前进指针（level[i].forward 属性），用于从表头向表尾方向访问节点。

图 5-3 用虚线表示出了程序从表头向表尾方向，遍历跳跃表中所有节点的路径：

迭代程序首先访问跳跃表的第一个节点（表头），然后从第四层的前进指针移动到表中的第二个节点。
在第二个节点时，程序沿着第二层的前进指针移动到表中的第三个节点。
在第三个节点时，程序同样沿着第二层的前进指针移动到表中的第四个节点。
当程序再次沿着第四个节点的前进指针移动时，它碰到一个 NULL ，程序知道这时已经到达了跳跃表的表尾，于是结束这次遍历。
跨度

层的跨度（level[i].span 属性）用于记录两个节点之间的距离：

两个节点之间的跨度越大，它们相距得就越远。
指向 NULL 的所有前进指针的跨度都为 0 ，因为它们没有连向任何节点。

初看上去，很容易以为跨度和遍历操作有关，但实际上并不是这样 —— 遍历操作只使用前进指针就可以完成了，跨度实际上是用来计算排位（rank）的：在查找某个节点的过程中，将沿途访问过的所有层的跨度累计起来，得到的结果就是目标节点在跳跃表中的排位。

举个例子，图 5-4 用虚线标记了在跳跃表中查找分值为 3.0 、成员对象为 o3 的节点时，沿途经历的层：查找的过程只经过了一个层，并且层的跨度为 3 ，所以目标节点在跳跃表中的排位为 3 。再举个例子，图 5-5 用虚线标记了在跳跃表中查找分值为 2.0 、成员对象为 o2 的节点时，沿途经历的层：在查找节点的过程中，程序经过了两个跨度为 1 的节点，因此可以计算出，目标节点在跳跃表中的排位为 2 。

后退指针

节点的后退指针（backward 属性）用于从表尾向表头方向访问节点：跟可以一次跳过多个节点的前进指针不同，因为每个节点只有一个后退指针，所以每次只能后退至前一个节点。

图 5-6 用虚线展示了如果从表尾向表头遍历跳跃表中的所有节点：程序首先通过跳跃表的 tail 指针访问表尾节点，然后通过后退指针访问倒数第二个节点，之后再沿着后退指针访问倒数第三个节点，再之后遇到指向 NULL 的后退指针，于是访问结束。

分值和成员

节点的分值（score 属性）是一个 double 类型的浮点数，跳跃表中的所有节点都按分值从小到大来排序。

节点的成员对象（obj 属性）是一个指针，它指向一个字符串对象，而字符串对象则保存着一个 SDS 值。

在同一个跳跃表中，各个节点保存的成员对象必须是唯一的，但是多个节点保存的分值却可以是相同的：分值相同的节点将按照成员对象在字典序中的大小来进行排序，成员对象较小的节点会排在前面（靠近表头的方向），而成员对象较大的节点则会排在后面（靠近表尾的方向）。

举个例子，在图 5-7 所示的跳跃表中，三个跳跃表节点都保存了相同的分值 10086.0 ，但保存成员对象 o1 的节点却排在保存成员对象 o2和 o3 的节点之前，而保存成员对象 o2 的节点又排在保存成员对象 o3 的节点之前，由此可见， o1 、 o2 、 o3 三个成员对象在字典中的排序为 o1 <= o2 <= o3 。虽然仅靠多个跳跃表节点就可以组成一个跳跃表，如图 5-8 所示。但通过使用一个 zskiplist 结构来持有这些节点，程序可以更方便地对整个跳跃表进行处理，比如快速访问跳跃表的表头节点和表尾节点，又或者快速地获取跳跃表节点的数量（也即是跳跃表的长度）等信息，如图 5-9 所示。 zskiplist 结构的定义如下：

typedef struct zskiplist {

    // 表头节点和表尾节点
    struct zskiplistNode *header, *tail;

    // 表中节点的数量
    unsigned long length;

    // 表中层数最大的节点的层数
    int level;

} zskiplist;

header 和 tail 指针分别指向跳跃表的表头和表尾节点，通过这两个指针，程序定位表头节点和表尾节点的复杂度为 O(1) 。

通过使用 length 属性来记录节点的数量，程序可以在 O(1) 复杂度内返回跳跃表的长度。

level 属性则用于在 O(1) 复杂度内获取跳跃表中层高最大的那个节点的层数量，注意表头节点的层高并不计算在内。

跳跃表 API

表 5-1 列出了跳跃表的所有操作 API 。

表 5-1 跳跃表 API

函数	作用	时间复杂度
zslCreate	创建一个新的跳跃表。	O(1)
zslFree	释放给定跳跃表，以及表中包含的所有节点。	O(N) ， N 为跳跃表的长度。
zslInsert	将包含给定成员和分值的新节点添加到跳跃表中。	平均 O(log N) ，最坏 O(N) ， N 为跳跃表长度。
zslDelete	删除跳跃表中包含给定成员和分值的节点。	平均 O(\log N) ，最坏 O(N) ， N 为跳跃表长度。
zslGetRank	返回包含给定成员和分值的节点在跳跃表中的排位。	平均 O(\log N) ，最坏 O(N) ， N 为跳跃表长度。
zslGetElementByRank	返回跳跃表在给定排位上的节点。	平均 O(\log N) ，最坏 O(N) ， N 为跳跃表长度。
zslIsInRange	给定一个分值范围（range），比如 0 到 15 ， 20 到 28 ，诸如此类，如果给定的分值范围包含在跳跃表的分值范围之内，那么返回 1 ，否则返回 0 。	通过跳跃表的表头节点和表尾节点，这个检测可以用 O(1) 复杂度完成。
zslFirstInRange	给定一个分值范围，返回跳跃表中第一个符合这个范围的节点。	平均 O(\log N) ，最坏 O(N) 。 N 为跳跃表长度。
zslLastInRange	给定一个分值范围，返回跳跃表中最后一个符合这个范围的节点。	平均 O(\log N) ，最坏 O(N) 。 N 为跳跃表长度。
zslDeleteRangeByScore	给定一个分值范围，删除跳跃表中所有在这个范围之内的节点。	O(N) ， N 为被删除节点数量。
zslDeleteRangeByRank	给定一个排位范围，删除跳跃表中所有在这个范围之内的节点。	O(N) ， N 为被删除节点数量。

重点回顾

跳跃表是有序集合的底层实现之一，除此之外它在 Redis 中没有其他应用。
Redis 的跳跃表实现由 zskiplist 和 zskiplistNode 两个结构组成，其中 zskiplist 用于保存跳跃表信息（比如表头节点、表尾节点、长度），而 zskiplistNode 则用于表示跳跃表节点。
每个跳跃表节点的层高都是 1 至 32 之间的随机数。
在同一个跳跃表中，多个节点可以包含相同的分值，但每个节点的成员对象必须是唯一的。
跳跃表中的节点按照分值大小进行排序，当分值相同时，节点按照成员对象的大小进行排序。

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redis skiplist #9