线性代数的逻辑

出发点：简化线性方程组的求解过程

求解要思考的三个问题

1、有没有解（b是否在值域中）

2、有解，几个解？

3、解集

矩阵的秩

由上面的三个问题出发引出矩阵的秩

定理：值域是以左乘矩阵列向量为基张成的空间 =====> 所以如果C3=kC1,那么它们在值域空间里其实是在一条线上，作为基向量的话有一个就多余了

定理二：左乘矩阵的行数为到达域的空间维度

1、根据值域和到达域的关系看解的个数

值域与到达域无交集：无解

值域为到达域子集：有解

值域等于到达域（满射）：有无数解

2、秩

定义：矩阵中非线性列向量的个数

定理三：当增广矩阵的秩与原矩阵的秩相等的时候，有解

3、单射与非单射

有解的情况下

单射：唯一解

非单射：多解

定理四：如果定义域的维度等于值域的维度，则单射

定义域的维度：几个列向量就几维

值域的维度：列秩

因此可以推出：列满秩的时候有唯一解

定理五：行秩等于列秩

4、解集的表示

齐次方程与非齐次方程

齐次方程：其方程左端是含未知数的项，右端等于零。Ax=0

根据齐次方程的零空间可以写出非其次方程的特解（这边有点抽象，笔记不知道怎么做）

行列式

出发点：快速求解单个解的方程组

记法与运算法则：det(A)=主对角线乘积的加和减去副对角线乘积的加和

wentgithub commented 5 years ago

讲的很棒啊，明哥

wentgithub commented 5 years ago

为什么矩阵行秩等于列秩？（有动图） http://www.matongxue.com/madocs/290.html

tongshiyuan commented 5 years ago

所谓的秩，其实就是线性无关向量的个数。矩阵的行秩等于列秩，实际上就是行线性无关向量的个数和列线性无关向量的个数相等。对于一个 m x n 矩阵A （A = (aij)mxn）假设矩阵的行秩为2，也就是有两行线性无关。这里假设为第1行和第2行。引起线性无关的元素为（a11 a12）和（a21 a22）。也就是说，不管如何做初等行变换，二者都不能把对方消为（0 0），用公式表示就是： a11a22≠a21a12 你会发现，这个不等式对行和列是等效的。导致的后果就是，如论怎么做列变换，（a11 a21）^T和（a12 a22）^T都不能把对方消为（0 0）^T，进而得出前两列是线性无关的。也就是说，导致行向量线性无关的元素，必将导致相应的列向量线性无关。因此，行秩也就和列秩相等了。