Problemas com a solução analítica

[RaphaLevy]

Boa noite professor. Estamos trabalhando na parte de resultados do projeto, e enquanto a integração numérica de Runge-Kutta deu certo, a nossa solução analítica devolveu uma resposta que não conseguimos entender de onde veio:

Nosso código da integração numérica está da seguinte maneira:

Comparando com o seu código da Aula 1, não conseguimos identificar no nosso código algo que pudesse causar tal erro.

[fccoelho]

@RaphaLevy, nem todo system não linear tem solução analítica possível. Esta solução retornou como a transformada inversa de Laplace (L⁻¹) daquela expressão lá. g_4843 é a transformada de laplace de t` https://ask.sagemath.org/question/36656/how-to-find-inverse-laplace-transform/

[fccoelho]

Sugiro que apresentem somente a solução numérica neste caso.

[fccoelho]

Vocês tentaram outros solvers? tipo simplemente:

var("X Y S mu_max K_s D S_f")
solve([(mu_max*S/(K_s+S))*X-D*X, D*S_f-D*S-((mu_max*S/(K_s+S))*X/Y)], [X,S])

que entrega o seguinte resultado:

Com este resultado vc podem mudar aapresentação de vocês para gerar plots dos equilíbrios em função dos parâmetros e condições iniciais, e podem também calcular a estabilidade dos equilíbrio substituindo os valores de equilíbrio na matriz jacobiana.

Usem este resultado no artigo

[RaphaLevy]

Professor, não entendemos direito o que o senhor quis dizer. Como podemos usar a solução do equilíbrio para fazer plots dos equilíbrios?

[fccoelho]

Ora, o valor no Equilíbrio é função dos parâmetros, não? Então vcs podem fixar todos os parâmetros menos um e observar o efeito de cada um sobre os valores de Xe S no equilíbrio.

[RaphaLevy]

Mas não foi isso que fizemos na apresentação? No código que usamos nós calculamos S e X no equilíbrio baseado no terceiro colchete da sua solução, e variamos cada parâmetro para analisar seu efeito na estabilidade das equações

[fccoelho]

Vocês fizeram por simulação, não foi? e não usando as expressões analíticas do equilíbrio.

Mas tudo bem, não precisam mudar a apresentação, basta que no artigo vcs usem isso, e façam uma discussão a partir das fórmulas.

[Erickslb]

Fizemos seguindo o que foi feito em aula utilizando o código que você mandou antes, mas o equilíbrio não variou com o tempo, o estamos fazendo errado?

[fccoelho]

Tá tudo certo. O equilíbrio não varia com o tempo, porque no equilíbrio, por definição as derivadas são 0.

O interessante é observar a variação dos equilíbrios em função de cada parâmetro, e não do tempo

[Erickslb]

Certo, obrigado professor!

[RaphaLevy]

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