代码随想录算法训练营 Day42 动态规划V

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1049.最后一块石头的重量II

题目链接：

​ [1049. 最后一块石头的重量 II - 力扣（LeetCode）](https://leetcode.cn/problems/last-stone-weight-ii/description/)

题目描述：

​ 有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

• 如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
• 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

思路

这个题目与上一个划分子集差不多，首先要想明白怎么让他变成01背包

就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。

本题物品的重量为stones[i]，物品的价值也为stones[i]。

对应着01背包里的物品重量weight[i]和 物品价值value[i]。

之后就可以动规5步曲了

1. 确定dp数组与下标的含义

   这里dp数组表示当背包容量为i时，其能够装载的最大重量。

2. 确定递推公式

   01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

   本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);

3. dp数组如何初始化

   这里因为石头要分成两部分，只要初始化dp数组长度为length/2+1即可。然后因为重量都不会是负数，所以dp[j]都初始化为0就可以了.

4. 确定遍历顺序

   与上一个题目一样 ，首先遍历物品i，然后从后向前遍历背包j

最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量。

那么分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]。

在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。

class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        int nums = stones.length;
        int sum = 0 ;
        for(int i = 0; i < nums; i++){
            sum += stones[i];
        }
        int target = sum >> 1;
        int dp[] = new int[target+1];
        for(int i = 0; i < nums; i++){
            for(int j = target; j >= stones[i]; j--){
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-stones[i]]+stones[i]);
            }
        }
        return sum - dp[target] - dp[target];
    }
}

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494.目标和

题目链接：

​ [494. 目标和 - 力扣（LeetCode）](https://leetcode.cn/problems/target-sum/description/)

题目描述：

​ 给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

• 例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。

返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

思路

​ 这里首先是怎么将他转化为01背包问题

​ 首先 可以整个nums数组分为两部分，left 和right ，所有的加法放在一边并求和，所有减法放在一边并求和。这样target = left-right 同时 sum = left + right 由这两个可以推出 left = (target+sum)/2。这样就可以看作是在集合nums中找出和为left的组合。

但是本题有两个注意点1. 例如sum 是5，S是2的话其实就是无解的。 2. S的绝对值已经大于sum，那么也是没有方案的。

之后就可以5部曲了

1. 确定dp数组以及下标的含义

   本题dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法。

2. 确定递推公式

   dp[j]等于没放物品i时有几种方法，加上放入物品i时有几种方法。

   没放入物品i时有dp[j]种方法，也就是没更新之前的。

   放入物品i时有dp[j - nums[i]]种方法。即找到放上一个物品时，背包剩余空间等于现在要放的物品i占用的空间时，有多少种放法。

   这里为什么不+1? 因为放入当前这个物品i，方法数并没有改变。

3. dp数组如何初始化

   在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0。

4. 确定遍历顺序

   01背包问题一维dp的遍历，nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序。

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        int sum = 0;
        int size = 0;
        for(int i = 0; i < nums.length; i++){
            sum += nums[i];
        }

        if (Math.abs(target) > sum) return 0;
        if((target+sum) % 2 != 0) return 0;

        size = Math.abs((target+sum) >> 1);
        int[] dp = new int [size+1];
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0; i < nums.length; i++){
            for(int j = size; j >= nums[i]; j--){
                dp[j] += dp[j-nums[i]];
            }
        }
        return dp[size];
    }
}

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474.一和零

题目链接：

[474. 一和零 - 力扣（LeetCode）](https://leetcode.cn/problems/ones-and-zeroes/description/)

题目描述：

​ 给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。

请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

思路

​ 这个题目也可以看作为01背包问题，只不过这里相当于既要求重量，也要求体积，有两个限制条件，在本题中就是m与n。其他的没什么区别。

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

   dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。

2. 确定递推公式

   dp[i][j]可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。

   dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。

   然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。

   所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

3. dp数组如何初始化

   01背包的dp数组初始化为0就可以。因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。

4. 确定遍历顺序

​ 外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！

​ 物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。

class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];
        for(String str : strs){
            int zeroNum = 0;
            int oneNum = 0;
            for(char ch : str.toCharArray()){
                if(ch == '0') zeroNum++;
                else oneNum++;
            }

            for(int i = m; i >= zeroNum; i--){
                for(int j = n; j >= oneNum; j--){
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum]+1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}