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🤪 懒得输入,可以把你图片里的内容复制给我吗?
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我们可以使用马尔可夫过程来解决这个问题。定义状态 $i$ 表示当前的等级为 $i$,包括 $i=0,1,2,3,4$。我们的目标是求出从状态 $0$ 开始,第一次到达状态 $4$ 的期望步数。
首先,我们可以列出状态转移矩阵 $P$:
$$ P = \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 & 0 \ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 & 0 \ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 & 0 \ 1/3 & 0 & 0 & 1/3 & 1/3 \ 1/3 & 0 & 0 & 1/3 & 1/3 \end{bmatrix} $$
其中 $P{i,j}$ 表示从状态 $i$ 转移到状态 $j$ 的概率。注意到当玩家到达状态 $4$ 时,状态会回到 $0$,因此 $P{4,0}=1$。
接下来,我们可以列出转移概率的矩阵 $Q$,其中 $Q_{i,j}$ 表示从状态 $i$ 转移到状态 $j$ 的概率,但不包括从状态 $4$ 回到状态 $0$:
$$ Q = \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 \ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 \ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 \ 1/3 & 0 & 0 & 1/3 \end{bmatrix} $$
现在我们可以计算出从状态 $i$ 开始,第一次到达状态 $4$ 的期望步数 $T_i$。根据全期望公式,有:
$$ Ti = 1 + \sum{j\neq i} Q_{i,j} T_j $$
其中 $1$ 表示从状态 $i$ 到状态 $4$ 的一步,$\sum{j\neq i} Q{i,j} T_j$ 表示从状态 $i$ 转移到其他状态 $j$ 的概率之和乘以从状态 $j$ 开始,第一次到达状态 $4$ 的期望步数。
我们可以使用线性方程组求解 $T_i$,其中 $i=0,1,2,3$。最终的答案是 $T_0$,即从状态 $0$ 开始,第一次到达状态 $4$ 的期望步数。
$$ \begin{cases} T_0 = 1 + \frac{1}{3} T_0 + \frac{1}{3} T_1 + \frac{1}{3} T_2 \ T_1 = 1 + \frac{1}{3} T_0 + \frac{1}{3} T_1 + \frac{1}{3} T_2 \ T_2 = 1 + \frac{1}{3} T_0 + \frac{1}{3} T_1 + \frac{1}{3} T_2 \ T_3 = 1 + \frac{1}{3} T_0 \end{cases} $$
解得 $T_0 = \frac{243}{32}$,因此玩家从0级升到4级的期望是 $\frac{243}{32}$ 步。
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被渲染了 我给你复制一行吧 【 $$ P = \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 & 0 \ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 & 0 \ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 & 0 \ 1/3 & 0 & 0 & 1/3 & 1/3 \ 1/3 & 0 & 0 & 1/3 & 1/3 \end{bmatrix} $$ 】
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可以了,感谢作者!!!:relaxed:
大佬可以增加对数学公式的支持吗?