关于您今年发表在Radiology的这篇文章，我有些疑问想向您请求解答

[Mo-Junyang]

我是一名刚入手医学图像生成的研究生，刚拜读了您的这篇文章Quantitative Cerebral Blood Volume Image Synthesis from Standard MRI Using Image-to-Image Translation for Brain Tumors，这项工作令人印象深刻。

阅读后，我对您这篇文章的一个小细节有些困惑。 在文中的SSIM指标解释那里提到” The range of the SSIM is 0–1,“。

我查阅了资料，维基百科中提到”The resultant SSIM index is a decimal value between -1 and 1“； 一个做视频质量分析的公司，在他们的网站https://vicuesoft.com/glossary/term/ssim-ms-ssim/ 中，提到 The resulting SSIM index ranges from −1 to +1. SSIM原文提到公式的其中一个项可以为负值”Note also that s(x, y) can take on negative values“

因此我对SSIM的取值范围产生了一些疑惑，希望您能告诉我您的看法，解答我的疑惑，感谢！

[YongshengPan]

我是一名刚入手医学图像生成的研究生，刚拜读了您的这篇文章Quantitative Cerebral Blood Volume Image Synthesis from Standard MRI Using Image-to-Image Translation for Brain Tumors，这项工作令人印象深刻。

阅读后，我对您这篇文章的一个小细节有些困惑。 在文中的SSIM指标解释那里提到” The range of the SSIM is 0–1,“。

我查阅了资料，维基百科中提到”The resultant SSIM index is a decimal value between -1 and 1“； 一个做视频质量分析的公司，在他们的网站https://vicuesoft.com/glossary/term/ssim-ms-ssim/ 中，提到 The resulting SSIM index ranges from −1 to +1. SSIM原文提到公式的其中一个项可以为负值”Note also that s(x, y) can take on negative values“

因此我对SSIM的取值范围产生了一些疑惑，希望您能告诉我您的看法，解答我的疑惑，感谢！

感谢关注，磁共振图像的intensity是非负的，通常归一化后的范围取[0, *], 所以计算的SSIM取不到负数的部分。有些研究将图像的范围映射到[-1, 1]，这仅仅作为网络的输出，不建议在计算SSIM时使用。

[Mo-Junyang]

非常感谢您的解答！请问归一化与否是不是不会影响到ssim的取值？ 一个极端的例子是：将[0,1,2,3,4,5,6]和[6,5,4,3,2,1,0]分别扩张成7*7大小的图像，并归一化到[0,1]

from skimage.metrics import structural_similarity as struct_sim
>>>a
array([[0.        , 0.16666667, 0.33333333, 0.5       , 0.66666667,
        0.83333333, 1.        ],
       [0.        , 0.16666667, 0.33333333, 0.5       , 0.66666667,
        0.83333333, 1.        ],
       [0.        , 0.16666667, 0.33333333, 0.5       , 0.66666667,
        0.83333333, 1.        ],
       [0.        , 0.16666667, 0.33333333, 0.5       , 0.66666667,
        0.83333333, 1.        ],
       [0.        , 0.16666667, 0.33333333, 0.5       , 0.66666667,
        0.83333333, 1.        ],
       [0.        , 0.16666667, 0.33333333, 0.5       , 0.66666667,
        0.83333333, 1.        ],
       [0.        , 0.16666667, 0.33333333, 0.5       , 0.66666667,
        0.83333333, 1.        ]])
>>>b
array([[1.        , 0.83333333, 0.66666667, 0.5       , 0.33333333,
        0.16666667, 0.        ],
       [1.        , 0.83333333, 0.66666667, 0.5       , 0.33333333,
        0.16666667, 0.        ],
       [1.        , 0.83333333, 0.66666667, 0.5       , 0.33333333,
        0.16666667, 0.        ],
       [1.        , 0.83333333, 0.66666667, 0.5       , 0.33333333,
        0.16666667, 0.        ],
       [1.        , 0.83333333, 0.66666667, 0.5       , 0.33333333,
        0.16666667, 0.        ],
       [1.        , 0.83333333, 0.66666667, 0.5       , 0.33333333,
        0.16666667, 0.        ],
       [1.        , 0.83333333, 0.66666667, 0.5       , 0.33333333,
        0.16666667, 0.        ]])
>>>c = struct_sim(a,b,data_range = 1)
>>>c
-0.9920966614086147

如上，数据分布在[0,1]之间，但在极端不相似的情况下，由于其负相关性，ssim公式中的协方差将会出现负值，则取值仍会出现负值。 图像的value范围会影响到SSIM中的常数C的取值，但归一化与否好像不会使得SSIM取不到负值？因此我的疑惑仍旧是SSIM的取值范围是否应该是[-1,1]，或者说是否应该说，该取值 通常 为[0,1]，当不相似到出现负相关的情况时，负值就会出现。再次感谢您的回复！

[YongshengPan]

非常感谢您的解答！请问归一化与否是不是不会影响到ssim的取值？ 一个极端的例子是：将[0,1,2,3,4,5,6]和[6,5,4,3,2,1,0]分别扩张成7*7大小的图像，并归一化到[0,1]

from skimage.metrics import structural_similarity as struct_sim
>>>a
array([[0.        , 0.16666667, 0.33333333, 0.5       , 0.66666667,
        0.83333333, 1.        ],
       [0.        , 0.16666667, 0.33333333, 0.5       , 0.66666667,
        0.83333333, 1.        ],
       [0.        , 0.16666667, 0.33333333, 0.5       , 0.66666667,
        0.83333333, 1.        ],
       [0.        , 0.16666667, 0.33333333, 0.5       , 0.66666667,
        0.83333333, 1.        ],
       [0.        , 0.16666667, 0.33333333, 0.5       , 0.66666667,
        0.83333333, 1.        ],
       [0.        , 0.16666667, 0.33333333, 0.5       , 0.66666667,
        0.83333333, 1.        ],
       [0.        , 0.16666667, 0.33333333, 0.5       , 0.66666667,
        0.83333333, 1.        ]])
>>>b
array([[1.        , 0.83333333, 0.66666667, 0.5       , 0.33333333,
        0.16666667, 0.        ],
       [1.        , 0.83333333, 0.66666667, 0.5       , 0.33333333,
        0.16666667, 0.        ],
       [1.        , 0.83333333, 0.66666667, 0.5       , 0.33333333,
        0.16666667, 0.        ],
       [1.        , 0.83333333, 0.66666667, 0.5       , 0.33333333,
        0.16666667, 0.        ],
       [1.        , 0.83333333, 0.66666667, 0.5       , 0.33333333,
        0.16666667, 0.        ],
       [1.        , 0.83333333, 0.66666667, 0.5       , 0.33333333,
        0.16666667, 0.        ],
       [1.        , 0.83333333, 0.66666667, 0.5       , 0.33333333,
        0.16666667, 0.        ]])
>>>c = struct_sim(a,b,data_range = 1)
>>>c
-0.9920966614086147

如上，数据分布在[0,1]之间，但在极端不相似的情况下，由于其负相关性，ssim公式中的协方差将会出现负值，则取值仍会出现负值。 图像的value范围会影响到SSIM中的常数C的取值，但归一化与否好像不会使得SSIM取不到负值？因此我的疑惑仍旧是SSIM的取值范围是否应该是[-1,1]，或者说是否应该说，该取值 通常 为[0,1]，当不相似到出现负相关的情况时，负值就会出现。再次感谢您的回复！

我大概理解了你的困惑，你可以这么认为，但这仅限于你使用的这个函数。这个函数只是SSIM当\alpha=1 \beta=1 \gamma=1 的特例，SSIM的定义中，\gamma可以是任意值，这要求关于协方差计算的结构项必须取正值，当这一项为负值时不符合SSIM的定义。

[Mo-Junyang]

感谢您的回复！很抱歉我还有一些困惑。

SSIM的定义中，\gamma可以是任意值，这要求关于协方差计算的结构项必须取正值，当这一项为负值时不符合SSIM的定义。

关于这一个要求必须取正值的定义可以麻烦给一个出处吗，我查阅了SSIM的原文，其中在简化α=β=γ=1之前，描述结构项时特别谈到结构项s(x,y)可以取到负值。γ取任意值时会对这一项有限制吗？感谢！

[YongshengPan]

感谢您的回复！很抱歉我还有一些困惑。

SSIM的定义中，\gamma可以是任意值，这要求关于协方差计算的结构项必须取正值，当这一项为负值时不符合SSIM的定义。

关于这一个要求必须取正值的定义可以麻烦给一个出处吗，我查阅了SSIM的原文，其中在简化α=β=γ=1之前，描述结构项时特别谈到结构项s(x,y)可以取到负值。γ取任意值时会对这一项有限制吗？感谢！

这是一个计算问题，如果你愿意可以计算一下γ=1.1时的SSIM值。

[Mo-Junyang]

我明白了！当γ为分数时，协方差若是负数就会出现负数单位，超出实数范围，若是当αβγ都取1这个特例时，则可以认为SSIM存在负数。非常感谢您的耐心解答！