Open bGZo opened 2 years ago
我们可以通过减少复利的时间间隔, 来达到利息的最大化. (PS: 有上限)
假设有这样一个式子 $\begin{align} (1 + \frac{1}{n} )^n = x \tag{1} \end{align}$
当 $n=1$ 时, $x=2$
当 $n \rightarrow \infty$ 时, 得到 $x = e = 2.7 1828 1828 45 90 45 ...$ 即 $e = \lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^n$
泰勒展开: $e = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ...$
单利即一年到头结算利息. 而多利则将一年分为多次结算利息. 即我们可以得到一个公式:
$\begin{align} PV \times ( 1 + \frac{r}{n} ) ^ n = FV \tag{2} \end{align}$
$PV(Present Value)$ 为初值
$r$ 为名义利率
$n$ 为期数
$FV(Future Value)$ 为终值
则我们假设有 100 的本金, 银行说明具有 $10\%$ 的利率
月复利$(n=12)$: $100 \times ( 1 + \frac{0.1}{12} )^{12} = 110.47$
日复利$(n=365)$: $100 \times ( 1 + \frac{0.1}{365} )^{356} = 110.51$
连续复利 ($n \rightarrow \infty$), 此时 $(2)$ 后半部分 $(1 + \frac{r}{n} )^n = e ^ r$, 存在上限.
后记: 我们可以将 周期内的固定 利率/回报率 定义为 $i(interest)$, 则 $(2)$ 将简化为:
$\begin{align} PV \times ( 1 + i ) ^ n = FV \tag{3} \end{align}$
从而得到回报率公式
$\begin{align} \sqrt[n]{ ( \frac{FV}{PV} ) } - 1 \tag{4} \end{align}$
代理人只会考虑如何尽可能地延长游戏的时间，以便自己能够获得更多的业绩提成，而不会考虑委托人的总体回报水平。--塔勒布《非对称风险》
由于存在非线性关系，市场参与者的概率预测误差和最终赔付误差完全是两类分布，概率预测误差是统计量，在0到1之间，因此误差分布是薄尾的，而赔付的误差分布是肥尾的。 塔勒布
Correct time: 220122
bGZo
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2 years ago bGZo
commented
2 years ago
Compound / 复利 / 利滚利 / 驴打滚
我们可以通过减少复利的时间间隔, 来达到利息的最大化. (PS: 有上限)
复利和自然对数 e 的关系
自然对数的底 / 欧拉数 e
假设有这样一个式子 $\begin{align} (1 + \frac{1}{n} )^n = x \tag{1} \end{align}$
当 $n=1$ 时, $x=2$
当 $n \rightarrow \infty$ 时, 得到 $x = e = 2.7 1828 1828 45 90 45 ...$ 即 $e = \lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^n$
泰勒展开: $e = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ...$
复利
单利即一年到头结算利息. 而多利则将一年分为多次结算利息. 即我们可以得到一个公式:
$\begin{align} PV \times ( 1 + \frac{r}{n} ) ^ n = FV \tag{2} \end{align}$
$PV(Present Value)$ 为初值
$r$ 为名义利率
$n$ 为期数
$FV(Future Value)$ 为终值
则我们假设有 100 的本金, 银行说明具有 $10\%$ 的利率
月复利$(n=12)$: $100 \times ( 1 + \frac{0.1}{12} )^{12} = 110.47$
日复利$(n=365)$: $100 \times ( 1 + \frac{0.1}{365} )^{356} = 110.51$
连续复利 ($n \rightarrow \infty$), 此时 $(2)$ 后半部分 $(1 + \frac{r}{n} )^n = e ^ r$, 存在上限.
后记: 我们可以将 周期内的固定 利率/回报率 定义为 $i(interest)$, 则 $(2)$ 将简化为:
$\begin{align} PV \times ( 1 + i ) ^ n = FV \tag{3} \end{align}$
从而得到回报率公式
$\begin{align} \sqrt[n]{ ( \frac{FV}{PV} ) } - 1 \tag{4} \end{align}$
复利的谎言
Refs