Calcul Intégral 0

[boisgera]

• externaliser le volet existant de l'intégrale de Newton de calcul différentiel, (n'y garder qu'un rappel de la définition et une référence à ce volet 0),

  • expliquer intérêt de cette intégrale : adéquation pour le calcul différentiel et très grande simplicité de l'essentiel des preuves (sauf calcul effectif / constructif de l'intégrale) ... et les limitations (intervalle compact, cas mono-dimensionnel, ne sait pas intégrer qq fonction discontinues très simples).

  • rajouter positivité de l'intégrale, (majoration est un corollaire)

  • rajouter additivité par rapport aux domaine (extension) et restriction

  • rajouter changement de variable (cas croissant suffit)

  • rajouter intégrabilité de toute fonction continue, par la technique des sommes de Riemann pour construire la primitive.

[boisgera]

Notes supplémentaires:

• l'idée de l'intégrabilité de fonctions continues peut être exposée en les approximant par des fonctions affines par morceaux et en intégrant celles-ci. Puis en passant à la limite. La preuve "naturelle" consiste à prouver que ce procédé se réinterprête comme la limite d'une somme de Riemann, puis a utiliser les pptés que l'intégrale de Riemann d'une fonction continue en fournit une priimitive.

• l'incapacité d'intégrer certaines fonctions discontinues peut être précisée : aucune fonction avec des sauts n'est intégrable, car les dérivées respectent le théorème des fonctions intermédiaires. On peut aussi exhiber certaines fonctions discontinues qui sont intégrable, mais aux points de discontinuité il n'y a pas de limite à gauche ou à droite. Cette limitation doit être mise en avant comme importante et justifie largement l'investissement sur l'intégrale Riemman (en plus de son caractère sans doute plus "algorithmique").