Avec la minoration de la place de la compacité, on ne sait pas que les normes sont équivalentes en dimension finie, donc que qu'une fonction à valeurs matricielles est continue ssi ses composantes le sont ou R^{m \times n} est complet par exemple, parce qu'on ne peut pas ramener ça à R^{m n} avec la norme euclidienne.
On pourrait le faire désormais en utilisant uniquement le fait qu'une fonction cont admet ses bornes sur un fermé borné dans un espace euclidien de dim finie et en montrant que toute norme est cont (car lipschitz) / à la norme euclidienne ... mais que de choses en plus ...
Avec la minoration de la place de la compacité, on ne sait pas que les normes sont équivalentes en dimension finie, donc que qu'une fonction à valeurs matricielles est continue ssi ses composantes le sont ou R^{m \times n} est complet par exemple, parce qu'on ne peut pas ramener ça à R^{m n} avec la norme euclidienne.
On pourrait le faire désormais en utilisant uniquement le fait qu'une fonction cont admet ses bornes sur un fermé borné dans un espace euclidien de dim finie et en montrant que toute norme est cont (car lipschitz) / à la norme euclidienne ... mais que de choses en plus ...