boisgera
commented
3 years ago Problématique analogue dans Calcul Intégral IV, encore plus évidente peut-être. L'énoncé utilise [-inf, inf]^n systématiquement comme domaine de définition de la fonction continue, c'est trop contraignant (même la présence de l'infini peut poser probleme pour avoir une opération définie de façon continue, comme le produit).
La mesurabilité de la composition devrait être énoncé dans un cadre plus général, avec au moins le domaine de définition de g ouvert de R^m (et image de f incluse dans cet ouvert) ; c'est nécessaire dans des cas pratiques très simples (penser 1/f(x) par exemple ou log f(x) !). Le domaine de definition global de f est aussi un pb potentiel pour le coup : l'astuce qui consiste à prolonger f par zero n'est pas neutre par rapport à la composition (pour commencer, 0 peut etre en dehors du domaine de g ; s'il est dans le domaine, son image par g n'est pas nécessairement 0, etc).
Bref, on ne peut pas faire l'économie du concept "fct A -> IR^p mesurable", sauf à avoir des limitations importantes en pratique ? Reconsidérer tout ça de façon plus précise ... Nota pour définir cette notion, on prendrait la tribu trace sur A (de IR^m) (?) ; on aurait alors : f mesurable ssi son extension par zero à IR^m est mesurable SI A EST MESURABLE (sauf erreur). Donc tout va bien, mais tout ça est plus facile en le disant.