boisgera
commented
3 years ago Nota : tout ça devient plus simple si on considère les Vi et V0 comme le complémentaire de K. On a alors une collection d'ouverts -- dont l'un est coborné -- qui recouvre l'espace, donc le complémentaire de l'un qqconque qiu est disjoint de l'intersection du complémentaire des autres. L'un des deux est compact (fermé borné), l'autre borné, donc leur distance est > 0 et c'est ce qui montre qu'on dilater un poil les complémentaires en conservant un recouvrement (ça vaut pour K qui peut donc être dilaté, ce dont on a besoin pour les rho dont la somme doit valoir 1 un peu plus largement que K pour que la mollification marche comme prévu.). Y'a plus qu'à faire le liens avec les érosions des Vi (qui est direct) pour gagner la marge dont on a besoin.
Améliorations à apporter à la preuve :
Avec le numérateur qui s'annule quand on soit du recouvrement, il faut justifier un peu mieux que ça la définition et la continuité des rho_i
Concernant l'érosion d'un eps dont on a besoin pour les V_i avant mollification ; pas besoin du lemme de recouvrement de Lebesgue : on peut déjà procéder en érodant chaque V_i (un peu) l'un après l'autre, il suffit juste de montrer qu'à chaque étape on garde un recouvrement ; or on peut se convaincre qu'avoir un recouvrement de K par les V_i c'est équivalent a dire que le complementaire de Vi est disjoint de l'intersection de K et de l'intersection des complementaires des autres Vj (faire un dessin !). Donc comme les deux ensembles sont fermé et compact, c'est equivalent a avoir une distance >0 ; en érodant un peu Vi on peut conserver une distance > 0.
Vérifier aussi le détail de la fin (mollification) : hyp de la derivation sous le signe somme, check epsilon et supports, etc. Il faut aussi que la somme de rho_i de l'étape précédente soit de somme un sur un voisinage approprié de K, pas seulement de K n'est-ce pas (pas un pb sur le fond car le complémentaire de K peut être érodé de la même façon que le reste, mais si c'est nécessaire ça n'est pas assez explicite).