Il y a un léger mismatch entre les intégrales par exemple du théorème de Stokes (qui intègrent sur un compact) et les résultats du changement de variables (qui travaillent sur des ouverts). De façon plus "vague", on va sans doute vouloir appliquer le changement de variable comme dans le cas réel, sur des fermés, et il n'est pas 100% évident qu'on peut "négliger" la frontière. Deux pistes:
Montrer que des ensembles comme la frontière d'un compact à bord C^1 est négligeable
(localisation, passage par le graphe d'une fonction, puis Fubini).
Pour le changement de variable, si au lieu de mettre en correspondance des ensembles a priori non-ouverts on met en correspondance des voisinages ouverts les contenant (avec le changement de variable qui peut être prolongé en un C^1 difféo sur les nouveaux ensembles), alors tout se passe comme prévu.
Le second point ne demande que peu de technique a priori, mais le pb est qu'on aurait envie de déduire l'extension du chgt de variable en un difféo sur des voisinages à partir d'hypothèses plus élémentaires ... et du coup ça devient moins simple d'énoncé un résultat général (sur des cas particuliers par contre, ça doit souvent bien marcher)
Il y a un léger mismatch entre les intégrales par exemple du théorème de Stokes (qui intègrent sur un compact) et les résultats du changement de variables (qui travaillent sur des ouverts). De façon plus "vague", on va sans doute vouloir appliquer le changement de variable comme dans le cas réel, sur des fermés, et il n'est pas 100% évident qu'on peut "négliger" la frontière. Deux pistes:
Montrer que des ensembles comme la frontière d'un compact à bord C^1 est négligeable (localisation, passage par le graphe d'une fonction, puis Fubini).
Pour le changement de variable, si au lieu de mettre en correspondance des ensembles a priori non-ouverts on met en correspondance des voisinages ouverts les contenant (avec le changement de variable qui peut être prolongé en un C^1 difféo sur les nouveaux ensembles), alors tout se passe comme prévu.
Le second point ne demande que peu de technique a priori, mais le pb est qu'on aurait envie de déduire l'extension du chgt de variable en un difféo sur des voisinages à partir d'hypothèses plus élémentaires ... et du coup ça devient moins simple d'énoncé un résultat général (sur des cas particuliers par contre, ça doit souvent bien marcher)