johnnykoo84
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4 years ago 설명 잘 들었습니다. 특히 문의 수를 늘린 부분 설명이 재밌네요.
Open hyuntae-yun opened 4 years ago
johnnykoo84
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4 years ago 설명 잘 들었습니다. 특히 문의 수를 늘린 부분 설명이 재밌네요.
영화 21에서 보면, 수학 천재 주인공 벤에게 미키 교수가 벤에게 추가 점수를 주려고 문제를 낸다.
P-"벤에게 추가 점수를 얻을 기회를 줘보기로 하지. "게임진행자의 문제"라고 부르기로 하자." P-"게임쇼에 나왔다고 가정하고, 문 세 개가 있지." P-"문 세개 중 하나의 문에만 자동차가 있고, 나머지 두 문의 뒤에는 염소가 있지." P-"어떤 문을 열겠나?" B-"첫번 째 문을 열겠습니다." P-"그러나 게임진행자는, 문 뒤에 무엇이 있는 지를 알고 있지. 그래서 3번 문을 열었고, 거기에는 염소가 있다." P-"계속 1번 문을 열 건가? 아니면 바꿀 것인가?" B-"바꾸겠습니다."
그리고 벤은 변수가 바뀌었으니, 대답도 바뀌었다고 한다. 0-> 자동차 , x- 염소 0,x,x x,0,x x,x,0 내가 1번문을 골랐을 때, 사회자가 보여줄 수 있는 경우의 수. 0,x,염소 x,0,염소 x,염소,0 따라서 선택을 바꾸지 않고 1번문을 고집하면 슈퍼카를 받을 확률은 1/3 이 되고, 선택을 바꾸면 2/3의 확률을 얻는다.
여기서 중요한 건 '사회자의 개입'이다. 왜냐하면 사회자 역시 차가 어디있는지 모르고 그냥 고르라고 했다면, 벤과 똑같이 1/3의 확률로 골라버려서 어쩌면 자동차를 실수로 오픈해버렸을 수도 있다. 그러나 사회자는 정확하게 자동차가 어디 있는지 알고 있기 때문에, 사회자가 문을 열고, 선택 기회를 한 번더 줌으로서 확률이 변화하게 되는 것이다.
Frequentist은 여기서, 사회자의 개입에 상관 없이, 어쨌든 슈퍼카가 들어있는 문을 고를 확률은 1/3 아니냐? 라고 할 것이다. 왜냐하면 그들은 상대도수로서의 확률을 생각하기 때문이다. 아마 99,999,998개의 문을 열어준다면, Frequentist의 관점으로 보자면 50%의 확률이 맞다. 문이 두개고, 하나는 염소, 다른 하나는 자동차임이 자명하니까.
그러나 Bayesian은 다르다. 확률을 믿음의 정도로 해석하기 때문에, 그 확률은 얼마든지 상황이 변하면 변화할 수 있다. 여기서 중요한 건, 우리가 처음에 가지고 있는 확률이 얼마든지 상황에 따라 변할 수 있게 된 것이다. 그래서 저런 확률적인 해석이 가능한 것이다.
여기까지 읽어도 몬티홀 문제에 대해서 이해가 안된다면, 조금 더 숫자를 확장 시켜서 가정해 보자.
100,000,000 개의 문이 있다고 치고, 1개의 문에는 한 대의 슈퍼카 99,999,999마리의 염소가 있다. 이때, 우리가 문을 골랐다. 이때 우리가 포르쉐를 고를 확률은 1/100,000,000 이지만, 대부분은 99,999,999/100,000,000의 확률로 염소를 고를 것이다. 그러나 몬티홀 아저씨가 99,999,998개의 문을 열었고 그 모든 문이 염소라면, 열지 않은 문은 99,999,999/100,000,000 의 확률로 슈퍼카가 되는 것이다. 1/100,000,000 의 확률로 어메이징한 운을 가지고 있다면 바꾸는게 손해 겠지만, 필자는 응모 당첨같은 것과는 거리가 멀어서 1/100,000,000 확률 보다는 99,999,999/100,000,000의 확률로 다른 문을 고를 것 같다.
이제 대충 몬티홀 문제가 어떤 건지는 알 것 같다. 그럼 이제, 이걸 bayes theorem 으로 한 번 풀어보자.
Event A를 자동차가 1번 문 뒤에 있을 사건이라고 하고, Event B를 몬티 아저씨가 2번 문을 열어서 염소를 보여준 사건이라고 하자.
우리가 자동차를 골랐을 확률은 1/3 이 되고, 하나의 문이 열렸으니, 우리는 문 2개에 대해서 1/2의 확률로 문을 선택할 수 있다.[ Pr(B|A) ] 그리고 denominator은 조금 까다로워진다.
그래서 결국, 처음 문에 자동차가 있을 확률이 1/3 이라고 가정 했을 때, 몬티 아저씨가 2번 문을 열어도 확률은 그대로 1/3 이 된다. 그러나, 반대로 말하면 3번 문에 자동차가 있을 확률은 1-1/3이므로 2/3이 되어버린다!
여기까지 해봤으니, 숫자를 확장시켜서 계산해봐도 되지 않을까?
문이 n개 있다고 하고, 나는 1번째 문을 선택했다. 이때 2부터 n-2개의 문이 열렸고, 현재 남은 문은 내 문과 n번째 문이라고 하자. 그러나 이건 우리가 임의로 알기 쉽게 정한 숫자이고, 실제로 내가 고르는 문은 1/n의 확률로 얻어걸린 것이고, 내 문 말고 살아남는 문도 1/n-1의 확률로 얻어걸린 거라고 볼 수 있다.
그리고 denominator은 각각의 문에 슈퍼카가 존재할 확률이다.
내가 선택한 문에 슈퍼카가 있을 때의 확률: 몬티 아저씨가 n-2개의 문을 열고 나머지 하나의 문(안에 염소가 있겠지만)을 남겨둘 확률 :1/n *1/(n-1)
2~n-1의 열린 문에 대한 확률: 문이 어짜피 모두 열렸다고 가정했으므로 슈퍼카가 있을 확률은 0이 된다. 계산을 하지 않아도 된다.
그리고 최종적으로 남는 n번째 문에 진짜로 슈퍼카가 존재할 확률: n번째 문에 슈퍼카가 존재한다면, 몬티 아저씨는 어쩔 수 없이 2~n-1번째 문을 열 수 밖에 없으므로, 확률은 1이 된다.
따라서 식은,
이 되고, 내가 처음 뽑았던 문이 슈퍼카일 확률은 1/n 이지만, 바꾸고 난 뒤의 문이 슈퍼카일 확률은 무려 1-1/n 이 된다.
References https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/monty-hall-problem/ Agresti A. (1990) Categorical Data Analysis. John Wiley and Sons, New York. Gonick, L. (1993). The Cartoon Guide to Statistics. HarperPerennial. Kotz, S.; et al., eds. (2006), Encyclopedia of Statistical Sciences, Wiley. Wheelan, C. (2014). Naked Statistics. W. W. Norton & Company
수학적인 태클 환영합니다. 저도 해놓고 긴가민가 하네요ㅠㅠ