矩阵相似

[213cy]

A与B相似 ⇔ 存在可逆矩阵M,使得A=inv(M)*B*M

与Eλ相似(超级特殊)

纯特征值对角阵Eλ,仅与自己相似

与对角阵相似(对角化)(特殊情况)

对角化:与对角阵相似 ⇔ 有n个不相关的特征向量 ⇔ 存在特征值分解 对称阵可以对角化 因为对称阵总有n个不相关的特征向量 即总存在特征值分解A=V*D/V (相对于一般可对角化矩阵的特征值分解,V是正交阵) (A与对角阵同时 相似和合同)

可以对角化的矩阵 特征值各不相同的矩阵, 存在相同特征值但是对称阵 存在相同特征值的一些非对称阵 [1 0 0;0 3 0;0 0 3] 将第一列正加权乘后加的第三列 将第三行负加权乘后加到第一行 得到原矩阵的相似阵 [1 0 x;0 3 0;0 0 3] 即得到一个和对角阵相似的非对称阵

与约当阵相似(一般情况)

对角阵是特殊的约当阵 所有矩阵都和约当阵相似

1. 相似的矩阵的特征向量数目相同 不同的特征值对应不同的特征向量,相同的特征值对应的特征向量的个数由约当阵的分块决定 每个约当块只能提供一个特征向量,(可以有相同的n重特征值对应不出n个特征向量的情况出现)
2. 相似的矩阵特征值都相同,特征值相同的矩阵是否相似还要考虑是否有相同约当分块. 约当的分块不同,相同特征值对应的特征向量的数目不同,方向空间是包含关系
3. 任何矩阵都存在约当阵分解A=V*D/V,其中D是约当阵 A的所有特征值构成了D的主元 V包含(但并不限于)了A所有的特征向量

相似的矩阵特征值相同进一步说明 相似矩阵的 (对角线剩余)行列式相同 主元相同

[213cy]

通过矩阵的初等变换构造相似阵

通过初等变换得到两个互逆的矩阵为F,G 通过计算 F*A*G 可得到A的相似阵

构造相似阵通常是为了化简矩阵,提前得知矩阵性质

• 将单位阵E中的任意两行(列)调换 即得一个与自己互逆的矩阵 设E对调的行号为m,n 对调A的m行和n行 对调A的m列和n列 即得A的一个相似矩阵 这可以用来改变A中0的位置

• 将单位阵E中的任一零元素分别替换为一个实数和它的相反数(+-k) 即得一对互逆矩阵. 首先在A中确定相应的k的位置m1行n1列 再确定k关于对角线的镜像位置m2行n2列 将m2行乘以k加到m1行上去 将n2列乘以-k加到n1列上去 最后将镜像位置的元素乘以-k^2加到k的位置的元素上去 即得A的一个相似矩阵 这可以用来造0

• 将单位阵E中的任一为1的元素分别替换为一个实数和它的倒数(k 1/k) 即得一对互逆矩阵. 设特殊元素 k 位于对角线上时n行n列 将n行的元素乘以k 将n列的元素除以k (乘除相抵消,特殊元素位置上的元素大小不变) 也同样得到A的一个相似矩阵

反复这样做,可以使得特定位置出现指定的数值

[213cy]

Matlab 在通过 eig 函数对矩阵进行特征值分解时 由于进行的是双精度的浮点运算, 所以计算总是存在误差,eig 很难计算出两个完全相同的特征值 即便给出一个理论上存在相同特征值的矩阵 eig 算出的特征值通常也会有些许不同. 所以任何矩阵在 eig 看来都是和对角阵相似的(可以进行特征值分解).

如果要对矩阵进行 约当阵分解,则必须要用符号数学工具箱的 jordan 函数