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2 years ago ABC予想（ABCよそう、英: abc conjecture, 別名：オステルレ–マッサー予想、英: Oesterlé–Masser conjecture）は、1985年にジョゼフ・オステルレとデイヴィッド・マッサーにより提起された数論の未解決予想である。これは多項式に関するメーソン・ストーサーズの定理の整数における類似であり、互いに素でありかつ a + b = c を満たすような3つの自然数（この予想に呼び方を合わせると）a, b, c の和と積の関係について述べている[1][2]。
ABC予想は、この予想から数々の興味深い結果が得られることから有名になった。数論における数多の有名な予想や定理が ABC予想から直ちに導かれる。
Goldfeld (1996) は、ABC予想を「ディオファントス解析で最も重要な未解決問題」であるとしている。
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2 years ago a + b = c を満たす、互いに素な自然数の組 (a, b, c) に対し、積 abc の互いに異なる素因数の積を d と表す。このとき、任意の ε > 0 に対して、
c > d1+ε を満たす組 (a, b, c) は高々有限個しか存在しないであろうか？
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2 years ago ABC予想を証明するためのさまざまな試みがあるが、現在完全なるコンセンサスは数学界で得られていない。
2012年8月30日、京都大学数理解析研究所教授の望月新一が ABC予想を証明したとする論文を京都大学数理解析研究所の編集する専門誌『Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences』 (以下『PRIMS』)に投稿し、初稿が同誌のプレプリントで公開された[3][4][5][6][7]。
イギリスの科学誌ネイチャーは、同教授は新たな数学的手法を開発し、それを駆使して証明を展開しているため「査読に時間がかかるだろう」と報じた[8][9]。望月は証明に用いた理論を宇宙際タイヒミュラー理論と呼んでおり、スピロ予想とヴォイタ予想の証明などを含む応用があり、整数論の問題を解く強力な道具になるとしている[10]。
それらの論文について、2012年10月にヴェッセリン・ディミトロフ[11]とアクシェイ・ヴェンカテシュによる指摘[12]があり、この修正により「弱いABC予想」の証明となった。なお「強いABC予想」の証明は、2020年11月、ヴォイチェフ・ポロウスキ、南出新、星裕一郎、イヴァン・フェセンコ、望月新一らによる宇宙際タイヒミュラー理論の追加となる論文[13]が提案されている。
2015年にはイヴァン・フェセンコによって[14]、2017年9月には京都大学数理解析研究所の山下剛によって[15]、宇宙際タイヒミュラー理論に対するサーベイ論文が発表された。
2018年5月、および2018年9月に、ペーター・ショルツェとジェイコブ・スティックスが、系3.12の証明の反例となるレポート[16]を提示し、「小さな修正が証明戦略を救うことができない、そして望月のプレプリントはABC予想の証明を主張することはできない」と主張した。望月は、反例においてIUT理論にいくつかの簡略化がおこなわれており、それらの簡略化が誤りであるとして有効とはみなしてない。望月は上記のレポートに、2018年9月、および2021年3月に、彼の理論のどの側面が誤解されていると考えるかのレポート[17]を公開して反論[18]した。
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2 years ago ABC予想を真だと仮定すると、多数の系が得られる。その中には既に知られている結果もあれば、予想の提出後に予想とは独立に証明されたものもあり、部分的証明となるものもある。ABC予想がもし早期に証明されていたなら、得られる系という意味での影響はもっと大きかったが、ABC予想が成立した場合に解決される予想はまだ残っており、また数論の深い問題と数多くの結び付きがあるので、ABC予想は依然として「重要な問題」であり続けている。「有限個に限定される」ことが結論である命題（予想）の証明に役に立つ。
トゥエ＝ジーゲル＝ロスの定理 代数的数のディオファントス近似に関する定理。 フェルマーの最終定理 ただし指数が十分大きい場合。どの程度大きければよいかは K(ε) に依存する。定理自体は、ABC予想とは独立にワイルズが証明した。ある K(ε) が具体的に求まれば、有限個の例外を直接計算することにより、原理的にはすべての指数 ≥ 4 に対して証明が可能である。ε = 1 のとき K(1) = 1 という予想もあり、この仮定の下で、指数が 6 以上の場合は直ちに証明される (Granville & Tucker 2002)[注 4]。望月らは、フェルマーの最終定理の別証明を与えたとプレプリントで公表し[29]、いくつかの誤りを認めた後2021年10月11日に別証明の達成を宣言[30]した。 モーデル予想（ファルティングスの定理） (Elkies 1991) エルデシュ＝ウッズ予想（英語版） ただし有限個の反例を除く (Langevin 1993)。 非ヴィーフェリッヒ素数（英語版）が無限個存在すること (Silverman 1988)。 弱い形のマーシャル・ホール予想（英語版） 平方数と立方数の間隔に関する予想 (Nitaj 1996)。 フェルマー＝カタラン予想 フェルマーの最終定理の拡張であり、冪の和である冪を扱う (Pomerance 2008)。 ルジャンドル記号を用いて記述したディリクレのL関数 L(s, (-d/.)) がジーゲル零点（英語版）を持たないこと 正確には、このためには上で紹介している有理整数を扱うABC予想に加えて、代数体上の一様なABC予想を用いる。(Granville & Stark 2000)。 Schinzel–Tijdeman theorem P を少なくとも3つ以上の単根を持つ多項式とすると、P(1)，P(2)，P(3), … の中には高々有限個しか累乗数が存在しない、という定理 (1976)[31]。 ティーデマンの定理（英語版）の一般化 ym = xn + k が持つ解の個数について。ティーデマンの定理は k = 1 の場合を述べている。また、Aym = Bxn + k が持つ解の個数に関するピライ予想 (1931)。 グランヴィル＝ランジュバン予想（英語版）と同値。 修正したスピロ予想。 これは境界として {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {rad} (abc)^{{\frac {6}{5}}+\varepsilon }}{\displaystyle \scriptstyle \operatorname {rad} (abc)^{{\frac {6}{5}}+\varepsilon }} を与える (Oesterlé 1988)。 任意の整数A について、n! + A = k2 が有限個の解しか持たないこと（一般化されたブロカールの問題） (Dąbrowski 1996)
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2 years ago daijapan
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2 years ago abc予想（Oesterlé–Masser予想としても知られている）は、Oesterlé（1988年）[1]とMasser（1985年）によって最初に提案された数論の予想です。[2]互いに素で、 a + b = cを満たす3つの正の整数a、b、c（したがって名前）で表されます。dがabcの明確な素因数の積を表す場合 、予想は本質的に、dは通常cよりもそれほど小さくないと述べています。言い換えると、 aとbが大きな素数冪で構成されている場合、 cは通常、大きな素数冪で割り切れません。数論における多くの有名な予想と定理は、abc予想またはそのバージョンからすぐに続くでしょう。アメリカの数学者ドリアン・ゴールドフェルドは、abc予想を「ディオファントス解析における最も重要な未解決の問題」と説明しました。[3]
abc予想は、OesterléとMasserが楕円曲線についてのSzpiro予想を理解しようとした結果として始まりました[4]。これは、 abc予想よりも多くの幾何学的構造をステートメントに含みます。abc予想は、修正されたスピロ予想と同等であることが示された。[1]
abc予想を証明するためのさまざまな試みがなされてきたが、現在主流の数学コミュニティによって受け入れられているものはなく、2020年の時点で、推測はまだ証明されていないと見なされている。[5] [6]
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2 years ago ジョゼフ・オステルレ(Joseph Oesterlé, 1954年 - )は、フランスの数学者。名はジョセフ、姓はエステルレとも表記される[2]。デイヴィッド・マッサーとともに「ディオファントス解析における最も重要な未解決問題」と呼ばれているABC予想を策定した[3][4]。
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2 years ago デイヴィッド・ウィリアム・マッサー(David William Masser、1948年11月8日 - )は、バーゼル大学の数学教授である。 ジョゼフ・オステルレと共に、マッサーは「ディオファントス解析における最も重要な未解決問題」と呼ばれているABC予想を策定した[1]。
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2 years ago ブルバキの主な業績は、7000ページ以上に及ぶ『数学原論』(Éléments de mathématique) の執筆である。元は微分積分学の現代的な教科書を書くのが彼らの目的だったが、作業が中途で肥大化し、その目的は捨て去られた。最終的には集合論の上に現代数学を厳密かつ公理的に打ち立てることにその目標は向けられる。彼らはそこで、代数構造・順序構造・位相構造という三つの構造概念、フィルターなどいくつかの新しい概念や術語を導入し、現代数学に大きな影響を与えた。その完璧な厳密性と一般性を求める叙述はブルバキスタイルと呼ばれるようになる。ただしブルバキの狙いは、決して最大限の一般性ではなく、最大限の有効性を備えた一般性、最小限の一般化である[3]。
ブルバキの影響は年と共に次第に低下していった。その理由の一つは、ブルバキの影響を受けた本が他にも出版されるようになり、ブルバキの本の独自色が失われたためである。またひとつには、重要と考えられるようになった別の抽象化、例えば圏論などをカバーしていないためでもある。ブルバキのメンバーの一人アイレンベルグは圏論の創始者であり、グロタンディークも圏論を積極的に論じた。だが圏論を導入するには、それまでに発表されてきたブルバキの著作に根本的な修正を与えなければならなかった。そのため圏論についてのブルバキの著作は準備されていたものの、結局は書かれなかった。
若干の続刊も出されてはいるものの、38冊をかけた日本語版は全部絶版である。ただし、数学史だけが文庫で手に入る。
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2 years ago 創立メンバーは次の5人で、高等師範学校 (ENS) の出身者だった。
アンドレ・ヴェイユ アンリ・カルタン クロード・シュヴァレー ジャン・デュドネ ジャン・デルサルト 他に創立時の公式メンバーとして、次の4人がいた。
ジャン・クーロン シャルル・エーレスマン ルネ・ド・ポッセル シュレーム・マンデルブロ（フラクタル幾何のブノワ・マンデルブロの伯父） マンデルブロを除いて、すべてのメンバーがENSの卒業生である。ブルバキは50歳を定年としていて、その後、次の10人が新たに加わった。
ローラン・シュヴァルツ ジャン＝ピエール・セール サミュエル・アイレンベルグ ロジェ・ゴドマン アルマン・ボレル ピエール・カルティエ ジャン・ルイ・ヴェルディエ サージ・ラング ジョン・テイト ジャン・ルイ・コシュル アレクサンドル・グロタンディークも、一時期メンバーだった。
『数学原論』の執筆は1998年から止まっていた[4]が、2010年代に続刊を二冊出した[5]。ブルバキはセミネール・ブルバキの形で今でもその活動を続けている。
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2 years ago 望月 新一（もちづき しんいち、1969年〈昭和44年〉3月29日 - ）は、日本の数学者。自らのホームページでは「宇宙際幾何学者」を名乗っている[1]。学位は、Ph.D.（プリンストン大学・1992年）。京都大学数理解析研究所教授。研究分野は数論幾何学、遠アーベル幾何学。
東京都出身、本籍は世田谷区[2]。数論における重要な未解決問題として知られるABC予想を、自身の構築した宇宙際タイヒミュラー理論を用いて証明したとする論文を発表した。
国際関係論の学者であり経済人であった父 Kiichi Mochizuki[3]とユダヤ系アメリカ人 Anne Rauch[4]の長男。父の仕事の関係で5歳で日本を離れ、中学生時代に1年間日本へ戻った[5]以外は、アメリカで育つ。妹に北欧美術史学者の Mia Mochizuki (Ph.D. 2001 Yale University)[6]がいる。
フィリップス・エクセター・アカデミーに2年間在学し、16歳でプリンストン大学へ進学、19歳で学士課程を卒業（次席）[7]。23歳で博士課程を修了しPh.D.を取得[2]。
日本へ帰国後は京都大学に採用され、助手（23歳）、同助教授（27歳）を経て、同教授（32歳）に昇任[2]。
メディアの取材に応じない意向を示しており、ABC予想に関する論文の学術誌掲載決定に際する京都大学の会見にも出席しなかった。
また日本放送協会の制作によるドラマ番組NHKスペシャルで「数学者は宇宙をつなげるか？ａｂｃ予想証明をめぐる数奇な物語」が放送された際も取材に応じていない。同放送で、イギリス数理科学国際センター所長でウォーリック大学教授のミンヒョン・キムは「望月博士が人前に姿を現さないのは、数学に対する集中力と忍耐力を保ち続けたいと考えているからだろう」「彼は高い集中力で、高度に抽象的な数学の問題に立ち向かってきました。非常に難解な事柄に焦点を当て、考え続ける彼の忍耐力。それを尊重するべき」と述べている。また博士課程の同僚の会話で「シンは、問題自身はシンプルでも、その解決には非常な深さと構造が必要であるような根源的な難問を証明したい。そう話していました」とコメント[8]した。
京都大学数理解析研究所教授の玉川安騎男は「とにかく徹底的に何かをする。ゼロから理論を構築していくのが彼のスタイル」とコメントした。
代数曲線におけるグロタンディーク予想（遠アーベル幾何予想）を予想を超えた形で証明。p 進タイヒミュラー理論[注 1]の構築、楕円曲線のホッジ・アラケロフ理論の構築、曲線のモジュライ空間の既約性の別証明、数論的小平・スペンサーの変形理論（英語版）、Hurwitz スキームのコンパクト化、crys-stable bundle の構成、数論的 log Scheme 圏論的表示の構成、宇宙際幾何 (うちゅうさいきか、inter-universal geometry) の構築。1998年の ICM では招待講演をしている。著作に Foundations of p-adic Teichmüller Theory がある。
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2 years ago 1985年 - フィリップス・エクセター・アカデミーを2年で卒業[37]。同年9月、プリンストン大学入学。 1988年 - プリンストン大学卒業 1992年6月 - プリンストン大学で Ph.D. を取得（23歳）、指導教授はゲルト・ファルティングス 1992年6月 - 京都大学数理解析研究所助手に就任 1996年8月 - 京都大学数理解析研究所助教授に就任（27歳） 1998年 - 国際数学者会議 (ICM) 招待講演 2002年2月- 京都大学数理解析研究所教授に就任（32歳） 2013年5月 - ビットコインの提唱者サトシ・ナカモトの正体が望月新一であるとアメリカの社会学者テッド・ネルソンに指摘されたが[38][39]、後にジ・エイジ紙に望月がこれを否定したという記事が掲載された[40]。 2017年12月 - ABC予想を証明したとする論文が数学の専門誌に掲載される見通しになったという報道もあった[41]が、実際には掲載されずに望月の論文は2020年4月まで査読中という状況であった[注 3][42][43]。 2020年4月3日 - ABC予想を証明したとする論文が、京大数理解析研究所の専門学術誌「Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences」の特別号へ掲載されることが明らかになった。査読には7年半を要していた[44][45][46][47][48][49]。 2021年11月、望月ら数名の数学者により拡張されたIUT理論により、フェルマーの最終定理の別証明が与えられたとする論文が、東京工業大学から発行される数学誌「Kodai Mathematical Journal」に受理されたことが明らかとなった[50]。
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2 years ago daijapan
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2 years ago スピロ予想より強い以下の主張がABC予想と同値である[2]。
任意の ε > 0 に対し、定数 C (ε) が存在して、有理数体 Q 上定義された全ての楕円曲線 E に対して、 {\displaystyle \max{\vert c{4}\vert ^{3},\vert c{6}\vert ^{2}}\leq C(\varepsilon )\cdot f^{6+\varepsilon }}{\displaystyle \max{\vert c{4}\vert ^{3},\vert c{6}\vert ^{2}}\leq C(\varepsilon )\cdot f^{6+\varepsilon }} が成り立つ。ここに、c4, c6 は楕円曲線 E のよく知られた不変量である。 一般に 1728Δ = c43 - c62 であるから、上記の主張から通常のスピロ予想は簡単に導かれる。
通常のスピロ予想は、少し弱いVer.のABC予想と同値である[3]。
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2 years ago
望月先生のABC予想解決をワイガヤする前に、 そもそも自分の力で解こうとする方が望月さんの気持ちもわかると思うので、 ざっくり問題と解決法の構造から研究していきます。 NHKスペシャルの影響じゃありませんが、 流行っているからやってみようかという軽い気持ちではあります。 (私の本当に好きなのはリーマンゼータ予想なので。本音ではABCが流行るのってABCが覚えやすいからでは？と思っています)