0662-0666

[github-actions[bot]]

Zadate stranice

[MarkoS202]

Assign me

[MarkoS202]

\documentclass{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[serbian]{babel} \usepackage{tikz} \usepackage{amsmath, amssymb, amsthm} \usepackage{float}

\newtheorem{zad}{Zadatak}

\renewcommand{\figurename}{Slika} \newcommand{\Placeholder}[2][(10, 10)] { \begin{tikzpicture} \draw[help lines] (0, 0) grid #1; \pgfgetlastxy{\x}{\y} \node[rotate=-25, align=center] at (\x / 2, \y / 2) {{\Huge Placeholder} \ #2}; \end{tikzpicture} } \begin{document} \begin{zad} Dati su parovi: $(8,11)$, $(9,7)$ i $(8,8)$. Odredi svedeni par odgovaraju\'ce klase. \end{zad} \begin{equation} (8,11) = (8-8, 11-8) = (0,3),\quad (9,7) = (9-7, 7-7)=(2,0),\quad (8,8)=(8-8, 8-8) = (0,0) \end{equation}

Primena prvog na\v cina za pravljenje parova iste klase

\begin{center}
    \begin{tabular}{cc}
        & Najkra\' ce ime klase \\
        $(0,0), (1,1), (2,2), (3, 3), \ldots$ & klasa $0\;\ $ \\
        $(1,0), (2,1), (3,2), (4, 3), \ldots$ & klasa $1^{+}$ \\
        $(0,1), (1,2), (2,3), (3,4), \ldots$ & klasa $1^{-}$ \\
        $(2,0), (3,1), (4,2), (5,3), \ldots$ & klasa $1^{-}$ \\
        $(0,2), (1,3), (2,4), (3,5), \ldots$ & klasa $1^{-}$
    \end{tabular}
\end{center}

Kad klasiramo sve ure\dj ene parove vr\v simo particiju NxN (sl. 595) (to je vrlo va\v zno da shvati\v s). Sve te klase \v cine skup celih brojeva:
\begin{equation*}
    Z = \{0, 1^{+}, 1^{-}, 2^{+}, 2^{-}, \ldots\}
\end{equation*}

\begin{figure}[h]
    \center
    \Placeholder[(4, 4)]{Skupovi}
    \caption{}
\end{figure}

\begin{tabular}{cc}
    Podskupovi skupa Z jesu: \\
    $Z^{+} = \{0, 1^{+}, 2^{+}, 3^{+}, \ldots\}$ & skup pozitivnih celih brojeva; \\

    $Z^{-} = \{0, 1^{+}, 2^{+}, 3^{+}, \ldots\}$ & skup negativnih celih brojeva;\\ \\
\end{tabular}

\makebox[7.6cm]{Ali se \v cesto posmatraju tri podskupa skupa Z;} \par
\makebox[3.5cm]{$\{0, 1^{+}, 2^{+}, 3^{+}, \ldots\}$}  skup pozitivnih celih brojeva; \par
\makebox[3.5cm]{$\{0, 1^{+}, 2^{+}, 3^{+}, \ldots\}$}  skup negativnih celih brojeva; \par
\makebox[6.85cm]{$0$ = neutralan skup, tj. singleton \{0\}.} \par 

\begin{zad}
    Date su jednake razlike, npr $3-8$, $84-89$, $704-709$, \ldots Koji simbol pi\v se\v s umesto razlike?
\end{zad}
To je simbol $5^{-}$. Taj simbol je najkra\' ce ime klase navedenih razlika.
\begin{zad}
    Napi\v si nekoliko pozitivnih celih brojeva:
\end{zad}
\begin{align*}
    &5^{+},\textrm{ ili } (8,3),\textrm{ ili } (8-3); \\
    &7^{+}, \textrm{ ili } (9,2), \textrm{ ili } (9-2); \ldots
\end{align*}
\begin{zad}
    Napi\v si nekoliko negativnih celih brojeva:
\end{zad}
\begin{align*}
    &5^{-}, \textrm{ ili } (3,5), \textrm{ ili } (3-8) \\
    &13^{-}, \textrm{ ili } (4,17), \textrm{ ili } (4-17)
\end{align*}
\begin{zad}
    Neka su dati celi brojevi: $7^{+}, 8^{-}, 9^{+}, 13^{-}, 17^{-}$. Izostavi znakove + i -, \v sta dobija\v s?
\end{zad}
Dobivam prirodne brojeve $7$, $5$, $9$, $13$, $17$.
Svaki tako dobijeni prirodni broj zove se apsolutna vrednost datog celog broja i ona se ozna\v cava ovako, na primer: \\
\begin{align*}
    |7^+| \textrm{ ili } |8-1|\textrm{, } |13^-| \textrm{ ili } |4-17|\textrm{, } |8^-|
\end{align*}

Prema tome:
\begin{align*}
    |7^+| = 7\textrm{, } |8-1| = 7\textrm{, } |13^-| = 13\textrm{, } |4-17| = 13\textrm{, } |8^-| = 8
\end{align*}

Uop\v ste, ako $a$ ozna\v cava ma koji ceo broj, onda $|a|$ je njegova apsolutna vrednost ustvari prirodni broj \v cega ti, kao korisnik ove knjige, treba da bude\v s uvek svestan. Ali i biti svestan i da izme\dj u prirodnog kao i karakteristike klase ekvivalentnih skupova i prirodnog broja kao apsolutne vrednosti celog broja ima su\v stinske razlike. Ta\v cnije, formalne razlike nema, ali su\v stinska postoji. \\ \\

Na primer: $12-5$ $\neq$ $5-12$, tj. $7^+$ $\neq$ $7^-$, ali je $|7^+| = |7^-| = 7$ prirodni broj.\\

Dva simetri\v cna cela broja imaju jednake apsolutne vrednosti. \\

Zato je potrebno da razume\v s ovo:
\begin{align*}&|a| = a \textrm{, ako je pozitivan broj;} \\
    &|a| = -a \textrm{, ako je negativan broj;}
\end{align*}

Na primer:
\begin{align*}|5^+| = 5\textrm{, } |5^-| = -(5^-) = 5\end{align*}

Simetri\v cni brojevi su, dakle, brojevi koji imaju jednake apsolutne vrednosti. \\
Koristim pravu celih brojeva (na osnovu slike 589). 
\begin{figure}[H]
    \centering
    \Placeholder[(8,1)]{Crveni (negativni)smer, plavi (pozitivni) smer)}
    \caption{}
\end{figure}
Ceo broj $3^+$ zna\v ci da od ta\v cke $0$ (nula) treba ,,i\' ci'' u pozitivnom smeru kretanja 3 jedinice, \v sto se zapisuje ovako: $|3^+| = 3$.

Dok ceo broj $3^-$ zna\v ci da od $0$ (nule) treba ,,i\' ci'' u suprotnom (negativnom) smeru kretanja 3 jedinice, \v cesto se zapisuje ovako $|3^-| = 3$.

Dakle, ako je $|3^+| = 3$ i $3 = |3^-|$ onda je $|3^+| = |3^-|$ \v sto pokazuje da simetri\v cni brojevi $3^+$ i $3^-$ imaju jednake apsolutne vrednosti.

\begin{zad}
    Poka\v zi sabiranje i oduzimanje celih brojeva na pravi celih brojeva.
\end{zad}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \Placeholder[(8,1)]{prava}
    \caption{}
\end{figure}
Na primer: $2^+ + 4^+$ zna\v ci od ta\v cke $2^+$ ,,idem'' u pozitivnom smeru 4 jedinice i ,,sti\v zem'' u $6^+$, pa je zbir $2^+ + 4^+ = 6^+$. 

Zbir dva pozitivna cela broja je ceo pozitivan broj.

U slu\v caju $2^- + 4^-$ zna\v ci od ta\v cke $2^-$ ,,idem'' u suprotnom (negativnom) smeru 4 jedinice i ,,sti\v zem'' u $6^-$, pa je zbir $2^- + 4^- = 6^-$.

Zbir dva negativna cela broja je negativan ceo broj.

Kad je zbir pozitivnog celog broja i negativnog celog broja ,,kre\' ce se'' od prvog sabirka u smeru drugog sabirka. Ako je $2^+ + 5^-$ ,,polazim'' od $2^+$ u suprotnom (negativnom) smeru 5 jedinica i ,,sti\v zem'' do ta\v cke $3^-$. Dakle, nije bistno da li je prvi sabirak pozitivan ceo broj ili ceo negativan broj. \\

U slu\v caju $2^- + 5^+$ ,,kre\'ce se'' od ta\v cke $2^-$ u pozitivnom smeru 5 jedinica i sti\v zem u $3^+$. Zbir $2^- + 5 = 3^+$. \\

U slu\v caju $5^+ + 2^-$ ,,polazi se'' od ta\v cke $5^+$ u suprotnom (negativnom) smeru 2 jedinice i sti\v zemo u $3^+$.\\

Zbir pozitivnog celog broja i negativnog celog broja je pozitivan ceo broj, ako je apsolutna vrednost pozitivnog celog broja ve\' ca i izra\v cunava se tako \v sto se od ve\' ce apsolutne vrednosti oduzme manja apsolutna vrednost. \\
Na primer: $7^3 + 3^- = 4^+$, jer je $|7^+| = 7$ ve\' ca od $|3^-| = 3$, pa je $|7^+| > |3^-|$ i $7-3 = 4$. \\

U slu\v caju $7^- + 3^+ = 4^-$, jer je $|7^-| > |3^+|$ tj. $7>3$ i $7-3$. \\

Prema tome, zbir pozitivnog celog broja i negativnog celog broja je negativan ceo broj, ako je apsolutna vrednost negativnog celog broja ve\' ca i izra\v cunava se tako \v sto se od ve\' ce apsolutne vrednosti oduzme manja apsolutna vrednost. \\

Na pravi celih brojeva se vidi da je zbir simetr\v cnih celih brojeva 0 (nule).

Na primer: $3^+ + 3^- = 0$, zna\v ci ,,nalaze se'' od $3^+$ za 3 jedinice u negativnom smeru i sti\v ze u ta\v cku 0 (nula).

A u slu\v caju $3^- + 3^+$ ,,nalaze se'' u $3^-$ u pozitivnom smeru i sti\v ze u ta\v cku 0. Prema tome $3^+ + 3^- = 0$ i $3^- + 3^+ = 0$.

To je ve\' c otkriveno u zadatku 966. Vidi zadatak 967 \\

U slu\v caju oduzimanja celih brojeva treba primeniti pravilo: Oduzeti ceo broj zna\v ci dodati (sabrati) simetri\v cni (suprtni) broj (zad. 978).

Na primer: $2^+ - 5^+ = 2^+ + 5^-$ gde je oduzimanje celih pozitivnih brojeva isto \v sto i sabiranje pozitivnog celog broja i negativnog celog broja (\v sto je napred ve\' c pokazano). \\

U slu\v caju $2^- - 5^- = 2^- + 5^+$ je oduzimanje negativnih celih brojeva isto \v sto i sabiranje negativnog celog broja i pozitivnog celog broja.

A $2^- - 5^+ = 2^- + 5^-$ svodi se na sabiranje negativnih brojeva, a $2^+ - 5^- = 2^+ + 5^+$ svodi se na sabiranje pozitivnih celih brojeva.
\begin{zad}
    Izra\v cunaj ,,algebarske zbirove'':
\end{zad}
\begin{enumerate}
    \item[1)] $8+5^- = 14^- + 6^- + 20^+$;
    \item[2)] $(6^+ + 9^-) - (5^- + 8^ - 10^+)$
\end{enumerate}
\begin{align*}
\text{1) } 8^+ +5^- -14^- + 6^- - 20^+ &= 8^+ +5^- + 14^+ + 20^- \\
&= (8^+ + 14^+) + (5^- + 20^-) \\
&= 22^+ + 25^- \\
&= -3
\end{align*}\\
\begin{zad}
    Izra\v cunaj:
\end{zad}
$7^+ \cdot 8^+$;\quad $7^- \cdot 8^-$;\quad $7^- \cdot 8^+$;\quad $7^+ \cdot 8^-$;\quad \\
$7^+ \cdot 8^+ = 56^+$;\quad $7^- \cdot 8^- = 56^+$;\quad $7^- \cdot 8^+ = 56^-$;\quad $7^+ \cdot 8^- = 56^-$;\quad
\begin{zad}
    Poka\v zi da je mno\v zenje celih brojeva asocijativno i distributivno.
\end{zad}
Na primer:
\begin{align*}
    9^+ \cdot 3^- \cdot 5^- &= (9^+ \cdot 3^-) \cdot 5^- = 27^- \cdot 5^- = 135^+ \\
    9^+ \cdot 3^- \cdot 5^- &= 9^+( 3^- \cdot 5^-) = 9^+ \cdot 15^+ = 135^+ \\
    \textrm{Dakle, } 9^+ \cdot 3^- \cdot 5^- &= (9^+ \cdot 3^-) \cdot 5^- = 9^+( 3^- \cdot 5^-) \textrm{ mno\v zenje je asocijativno.}
\end{align*}

Na primer:
\begin{align*}
    (7^+ + 9^-) \cdot 8^- &= 2^- \cdot 8^- = 16^+ \\
    (7^+ + 9^-) \cdot 8^- &= 7^+ \cdot 8^- + 9^- \cdot 8^- = 56^- + 72^+ = 16^+ \\
    \textrm{Pa je } (7^+ + 9^-) \cdot 8^- &= 7^+ \cdot 8^- + 9^- \cdot 8^- \textrm{mno\v zenje distributivno.}
\end{align*}

\end{document}

[github-actions[bot]]

There was an error in submited code

note: Running TeX ... error: 0662-0666.tex:37: LaTeX Error: Command \end{zad} invalid in math mode.

See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. Type H for immediate help error: halted on potentially-recoverable error as specified