0076-0080 - Githubissues

\documentclass{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[serbian]{babel} \usepackage{tikz} \usepackage{amsmath, amssymb, amsthm} \usepackage[inline]{enumitem} \newtheorem{zad}{Zadatak}
\renewcommand{\figurename}{Slika} \newcommand{\Placeholder}[2][(10, 10)] { \begin{tikzpicture} \draw[help lines] (0, 0) grid #1; \pgfgetlastxy{\x}{\y} \node[rotate=-25, align=center] at (\x / 2, \y / 2) {{\Huge Placeholder} \ #2}; \end{tikzpicture} }
\begin{document} \begin{zad} Uo\v ci slede\'ce da se iz: \
\begin{tabular}{l c r}
    1 vi\v se 1 je 2  & sledi & 2 manje 1 je 1 \\
    2 vi\v se 2 je 4  & sledi & 4 manje 2 je 2 \\
    3 vi\v se 3 je 6 & sledi & 6 manje 3 je 3 \\
    4 vi\v se 4 je 8 & sledi & 8 manje 4 je 4 \\
    5 vi\v se 5 je 10 & sledi & 10 manje 5 je 5 \\
    6 vi\v se 6 je 12 & sledi & 12 manje 6 je 6 \\ \\
\end{tabular} \\
Zaklju\v cuje: \\

\begin{tabular}{l c r}
    1 je 2 manje 1 & tj. & jedan je isto \v sto i: 2 manje 1; \\
    2 je 4 manje 2 & tj. & dva je isto \v sto i: 4 manje 2; \\
    3 je 6 manje 3 & tj. & tri je isto \v sto i: 6 manje 3; \\ 
    4 je 8 manje 4 & tj. & \v cetri je isto \v sto i: 8 manje 4; \\ 
    5 je 10 manje 5 & tj. & pet je isto \v sto i: 10 manje 5; \\ 
    6 je 12 manje 6 & tj. & \v se\v st je isto \v sto i: 12 manje 6; \\ \\
\end{tabular} \\ 
Na osnovu prethodnog se izvodi: 

    Na primer za: \\
\begin{tabular}{r r}
     4 je \v cesto \v sto i: & 8 manje 4 \\
     To jest & 7 manje 3 \\
     To jest & 6 manje 2 \\
     To jest & 5 manje 1 \\ \\
\end{tabular} \\

    i natrag, \\ 
\begin{tabular}{r r}
     4 je \v cesto \v sto i: & 5 manje 1 \\
     To jest & 6 manje 2 \\
     To jest & 7 manje 3 \\
     To jest & 8 manje 4 \\
     To jest & 9 manje 5 \\
     & itd \\ \\
\end{tabular} \\
Poku\v saj da prona\dj e\v s (odredi\v s) \v cinjenicu koja je ovde primenjena. 

\begin{tabular}{r}
   Koristim: \quad 7 je isto \v sto i 8 manje 1 \\
    i 3 je isto \v sto i 4 manje 1 \\ \\
\end{tabular} \\ 

\newpage
Zato pi\v sem i govorim: \\

\begin{tabular}{l c r}
    \v sto i  & \ldots & 8 manje 4\\
    to jest (8 manje 1) manje (4 manje 1)& \ldots & 9 manje 3 \\
    to jest (7 manje 1) manje (3 manje 1)& \ldots & 6 manje 2\\ 
    to jest (6 manje 1) manje (2 manje 1)& \ldots & 5 manje 1 \\ \\
\end{tabular} \\ 

\begin{tabular}{r}
   Za natrag koristim: \quad 6 je isto \v sto i 5 vi\v se 1 \\
    i 2 je isto \v sto i 1 vi\v se 1 \\ \\
\end{tabular} \\ 
Zato pi\v sem i govorim: \\

\begin{tabular}{l c r}
    4 natrag, 4 je i  & \ldots & 5 manje 1\\
    to jest (5 vi\v se 1) manje (1 vi\v se 1)& \ldots & 6 manje 2 \\
    to jest (6 vi\v se 1) manje (2 vi\v se 1)& \ldots & 7 manje 3\\ 
    to jest (7 vi\v se 1) manje (3 vi\v se 1)& \ldots & 8 manje 4 \\ 
    to jest (8 vi\v se 1) manje (4 vi\v se 1)& \ldots & 9 manje 5 \\ 
    \quad & \quad &itd. \\ \\ 
\end{tabular} \\ 
Dakle, primenjene su \v cinjenice: 

Ako je $a-b=d$, onda je $(a+p) - (b+p) = d$ 

Ako je $a-b=d$, onda je $(a-p) - (b-p) = d$ \\ 

\end{zad}

\begin{zad}
    Primeni prethodno utvr\dj ene \v cinjenice: \\ 

    \begin{enumerate}
        \item 8 je isto \v sto i : 3 vi\v se 5
        \item 9 je isto \v sto i : 2 vi\v se 7
        \item 3 je isto \v sto i : 8 manje 5
    \end{enumerate}
    \begin{enumerate}
        \item 8 je isto \v sto i : 3 vi\v se 5 \\
        \begin{tabular}{l r c}
            To jest &  4 vi\v se 4 & (3 vi\v se 1, a 5 manje 1)\\
            To jest &  5 vi\v se 3 & (4 vi\v se 1, a 4 manje 1)\\
            To jest &  6 vi\v se 2 & (5 vi\v se 1, a 3 manje 1)\\
            To jest &  7 vi\v se 1 & (6 vi\v se 1, a 2 manje 1)\\
            i obrnuto: & & \\ 
            To jest &  6 vi\v se 2 & (7 manje 1, a 1 vi\v se 1)\\
            To jest &  5 vi\v se 3 & (6 manje 1, a 2 vi\v se 1)\\
            To jest &  4 vi\v se 4 & (5 manje 1, a 3 vi\v se 1)\\
            To jest &  3 vi\v se 5 & (analogno)\\
            To jest &  2 vi\v se 6 & (analogno)\\ \\ 
        \end{tabular}

        Poka\v zi i objasni \v cinjenicu koje je primenjena \\ 
        \begin{tabular}{l r c}
            8 je isto \v sto i &  \ldots  & 3 vi\v se 5\\
            ili (3 vi\v se 1) vi\v se (5 manje 1) &   \ldots & 4 vi\v se 4\\
            ili (3 vi\v se 2) vi\v se (5 manje 2) &   \ldots & 5 vi\v se 3\\
            ili (3 vi\v se 3) vi\v se (5 manje 3) &   \ldots & 6 vi\v se 2\\
            ili (3 vi\v se 4) vi\v se (5 manje 4) &   \ldots & 7 vi\v se 1\\
            Primenjena je \v cinjenjica $(a+p) + (b-p)$ & \ldots & $a+b$ i natrag \\
            (3 manje 1) vi\v se (5 vi\v se 1) & \ldots & 2 + 6 \\
            (3 manje 1) vi\v se (5 vi\v se 2) & \ldots & 1 + 7 \\
            Primenjena je \v cinjenjica $(a-p) + (b+p)$ & \ldots & $a+b$ \\
        \end{tabular}
        \item Uradi sam.
        \item 3 je isto \v sto i : 8 manje 5 \\ 
        \begin{tabular}{l r c}
            ili ( 8 manje 1) manje (5 manje 1) &  \ldots & 7 manje 4\\
            ili ( 8 manje 2) manje (5 manje 2) &  \ldots & 6 manje 3\\
            ili ( 8 manje 3) manje (5 manje 3) &  \ldots & 5 manje 2\\
            ili ( 8 manje 4) manje (5 manje 4) &  \ldots & 4 manje 1\\
            Primenjena \v cinjenjica $(a-p) -(b-p)$: & \ldots & $a-b$ i\\ 
            ili ( 8 vi\v se 1) manje (5 vi\v se 1) &  \ldots & 9 manje 6\\
            ili ( 8 vi\v se 2) manje (5 vi\v se 2) &  \ldots & 10 manje 7\\
            ili ( 8 vi\v se 3) manje (5 vi\v se 3) &  \ldots & 11 manje 8\\
            Primenjena \v cinjenjica $(a+p) -(b+p)$: & \ldots & $a-b$ \\ 
        \end{tabular}
    \end{enumerate}
\end{zad}
\begin{zad}
Na osnovu upoznatih \v cinjenjica ra\v cunaj: \\
\begin{enumerate*}[label={\arabic*)}]
    \item 3 vi\v se 5 \item 2 vi\v se 7 \item 8 manje 5 \item 6 manje 2 \\
    Objasni kako primenjuje\v s \v cinjenjice % to do 164. 165 zadatku
\end{enumerate*}
    \begin{enumerate}
        \item 3 vi\v se 5 je:

    \begin{tabular}{l c r}
        3 vi\v se 3 \ldots 6, & 6 vi\v se 2 \ldots 8, & (prelaz preko 6) \\
        ili 3 vi\v se 1 \ldots 4, & 4 vi\v se 4 \ldots 8, & (prelaz preko 4) \\
        ili 3 vi\v se 6,& 9 manje 1 \ldots 8 & \\ 
    \end{tabular}

    Obja\v snjenje :\\ 
    \begin{tabular}{l l}
        3 vi\v se 5 je: & (3 vi\v se 3) vi\v se (5 manje 3) \ldots 6 vi\v se 2 \ldots 8 \\ 
        ili & (3 vi\v se 1) vi\v se (5 manje 1) \ldots 4 vi\v se 4 \ldots 8 \\
        ili & (3 vi\v se 3) vi\v se (3 manje 1) \ldots 9 vi\v se 1 \ldots 8 \\

    \end{tabular}
    \item 2 vi\v se 7 uradi samostalno.
    \item 8 manje 5 je:\\
    \begin{tabular}{l l l}
        8 manje 4, manje 1 &\ldots & 3(prelaz preko 4) \\
        ili 8 vi\v se 2 \ldots 6,  6 manje 3 &\ldots & 3(prelaz preko 6) \\
        ili 8 manje 3 manje 2, &\ldots  & 3(prelaz preko 6) \\
        ili 8 manje 6 vi\v se 1 &\ldots & 3 \\
        ili 10 manje 7 &\ldots  & 3 \\
    \end{tabular}

    Obja\v snjenje: \\ 
    \begin{tabular}{l l}
        8 manje 5 je: &, (8 manje 4) manje (5 manje 4) \ldots 4 manje 1 \ldots 3 \\
        ili &(8 manje 2) manje (5 manje 4) \ldots 6 manje 3 \ldots 3 \\
        ili &(8 manje 3) manje (5 manje 3) \ldots 5 manje 2 \ldots 3 \\
        ili &(8 manje 6) vi\v se 1 \ldots 2 vi\v se 1 \ldots 3 \\
        ili &(8 vi\v se 2) manje (5 manje 4) \ldots 10 vi\v se 7 \ldots 3 \\
    \end{tabular}
    \item Uradi samostalno.

\end{enumerate}
Vidi\v s da se ovde vr\v si ``prelaz`` preko svakog broja, a ne samo preko 10. Prelaz samo preko 10 pravi velike pote\v sko\'ce pri savl\dj ivanju tehnike ra\v cunjanja.\\
Za\v sto bi ra\v cunao 7 vi\v se 4 `` sa prelaskom preko 10`` kada mo\v ze\v s 7 i 2 i 9, tj. misli\v s 9, 11. Prelazak preko 10 koristi\v s kada je najbolji na\v cin, na primer : 7 vi\v se 6 je isto \v sto i 7 i 3 i 3. Koju \v cinenjicu koristi\v s u navedenim primerima?
\end{zad}

\begin{zad}
Zna\v s da je : \\

\begin{tabular}{c}
    1 vi\v se 1 je 2 \\ 
    2 vi\v se 2 je 4 \\ 
    \ldots \\ 
    5 vi\v se 5 je 10 \\ 
    6 vi\v se 6 je 12 \\
    itd. \\
\end{tabular}

Iz 6 vi\v se 6 \ldots 12 izra\v cunavas da je 7 vi\v se 5 \ldots 12.\\
Objasni 

    6 vi\v se 6 je: (6 vi\v se 1) vi\v se (6 vi\v se 1) \ldots 7 vi\v se 5 

    Na isti na\v cin iz 6 vi\v se 6 \ldots 12, sledi  

    6 vi\v se 7 je isto \v sto i 6 i 6 i 1 

    6 vi\v se 8 je isto \v sto i 6 i 6 i 2 

    6 vi\v se 9 je isto \v sto i 6 i 6 i 3 \\
Onda iz 

    6 vi\v se 6 \ldots 12, sledi 12 manje 6 je 6 

    7 vi\v se 7 \ldots 14, sledi 14 manje 7 je 7 

    8 vi\v se 8 \ldots 16, sledi 16 manje 8 je 8 \\
A na osnovu toga ra\v cuna\v s: 

    12 manje 7 je isto \v sto i 12 manje 6 manje 1 \ldots 5 

    12 manje 8 je isto \v sto i 12 manje 6 manje 2 \ldots 4 \\
a tada je  

    13 manje 7 je isto \v sto i 5 vi\v se 1 

    13 manje 8 je isto \v sto i 4 vi\v se 1 \\
i na kraju 

    iz 17 i 7 isto je \v sto i 10 vi\v se 14 \ldots 24\\  
i obrnuto: 

    24 manje 7 je 17\\
odatle: 

    25 manje 8 je 17 

    26 manje 9 je 17 

    21 manje 4 je 17 \\
A opet na osnovu toga ra\v cunas 

    25 manje 7 je 17 vi\v se 1 \ldots 18 

    26 manje 8 je 17 vi\v se 1 \ldots 18 

    21 manje 3 je 17 vi\v se 1 \ldots 18 \\
Vrlo je va\v zno da uvidi\v s da svaki prelaz je ustvari primena napred navedenih \v cienjnica.\\ 
Na primer: 

8 vi\v se 9 je (8 vi\v se 2) vi\v se (9 manje 2), tj 10 vi\v se 7 \ldots 17 

13 vi\v se 5 je (13 manje 3) manje (5 manje 3), tj 10 manje 2 \ldots 8 

14 vi\v se 6 je (14 vi\v se 2) manje (6 vi\v se 2), tj 16 manje 8 \ldots 8 \\
Prime\' cujes da na jedan na\v cin misli\v s kad ``prelazi``, a na drugi na\v cin kad primenjuje\v s navedene \v cinjenjice. Posebno je va\v zan ovaj drugi na\v cin. On osposobljava matemati\v cki, to zna\v ci nikako proveravanjem ( empirijski) da je `` 3 vi\v se 5 isto \v sto i 5 vi\v se 3 ``. Nego, primenjuje\v s napred navedene \v cinjenjice:

3 vi\v se 5 isto je \v sto i (3 vi\v se 2) vi\v se (5 manje 2), tj 5 vi\v se 3.

\end{zad}
\begin{zad}
Posebnu pa\v znju mora\v s obratiti oduzimanju kao obrtnutoj (inverznoj) operaciji sabiranja

5 manje 3 je 2, jer je 3 vi\v se 2 \ldots 5 

8 manje 6 je 2, jer je 6 vi\v se 2 \ldots 8\\
Oduzimanje kao obrnutu (inverznu) operaciju sabiranja naro\v cito u slu\v cajima, kao 
\v sto su 18 manje 13; 11 manje 7 itd.

Na primer:\\ 
22 manje 17 je isto \v sto i 17 vi\v se 5 je 22.\\ 
Naime: 17 vi\v se 3 \ldots 20 i 2 \ldots 22.

Zaista: \\ 
22 manje 17 je (22 vi\v se 3) manje (17 vi\v se 3) \ldots 25 manje 20 \\
Vidi da je i u ovim slu\v cajima primenjeni \v cinjenjica 

$a-b = (a+p) - (b+p) = (a-p) - (b-p)$ 
Ako radi\v s na opisani na\v cin, time se osposobljavaju:
\begin{enumerate}
    \item Da svaki broj do 10 ( a i ve\' ci od 10) izra\v cuna\v s na razne na\v cine kao zbir ili razliku druga dva broja
    \item Da izvodi\v s jedan slu\v caj ili \v citav niz slu\v cajeva iz jedanog slu\v caja, odnosno da primenjuje\v s navedene va\v zne \v cinjenjice. \\
\end{enumerate}
Ovo ti je ogroman dobitak u matemati\v ckom obrazovanju, koje sti\v ces ba\v s savla\dj ivanjem tehnike mentalnog sabirnaja i oduzimanja.
\end{zad}
\end{document}
dimchee / ZDSSMO

0076-0080 #14

There was an error in submited code
