1111-1115

[github-actions[bot]]

Zadate stranice

[BlackestCat]

Assign me

[BlackestCat]

\documentclass{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[serbian]{babel} \usepackage{tikz, xcolor, float} \usepackage{amsmath, amssymb, amsthm} \usepackage{caption, subcaption} \usepackage{multicol} \usepackage[inline]{enumitem}

\newtheorem{zad}{Zadatak}

\renewcommand{\figurename}{Slika} \newcommand{\Placeholder}[2][(10, 10)] { \begin{tikzpicture} \draw[help lines] (0, 0) grid #1; \pgfgetlastxy{\x}{\y} \node[rotate=-25, align=center] at (\x / 2, \y / 2) {{\Huge Placeholder} \ #2}; \end{tikzpicture} }

\newcommand{\placeholder}[2][(10, 10)] { \begin{tikzpicture} \draw[help lines] (0, 0) grid #1; \pgfgetlastxy{\x}{\y} \node[rotate=-25, align=center] at (\x / 2, \y / 2) {{\Huge Placeholder} \ #2}; \end{tikzpicture} }

\begin{document} \begin{zad} slika 683. 2)

    2) $x = \pm 1, y = ax^{2} = a(\pm1)^{2} = a$ 

    Kako je ta\v cka $t(1,\dfrac{1}{2} i t_{1}(-1,\dfrac{1}{2}$,  to je $a = y = \dfrac{1}{2}$, pa je jedna\v cina parabole $y = \dfrac{1}{2}x^{2}$. 

    Za $x = 2, y = \dfrac{1}{2}x^{2} = \dfrac{1}{2}(2)^{2} = \dfrac{1}{2}4 = 2, t(2,2), za x = -2, t_{1}(-2,9)$ 

    Za $x = 4, y = \dfrac{1}{2}4^{2} = \dfrac{1}{2}16 = 8 i time (4,8)$

    za $x = -2, (-4,8)$
\end{zad}

\begin{zad}
    slika 683. 2) 

    2) $x = \pm 1, y = ax^{2} = a(\pm1)^{2} = a$ 

    Kako je ta\v cka $t(1,\dfrac{1}{2} i t_{1}(-1,\dfrac{1}{2}$,  to je $a = y = \dfrac{1}{2}$, pa je jedna\v cina parabole $y = \dfrac{1}{2}x^{2}$. 

    Za $x = 2, y = \dfrac{1}{2}x^{2} = \dfrac{1}{2}(2)^{2} = \dfrac{1}{2}4 = 2, t(2,2), za x = -2, t_{1}(-2,9)$ 

    Za $x = 4, y = \dfrac{1}{2}4^{2} = \dfrac{1}{2}16 = 8 i time (4,8)$

    za $x = -2, (-4,8)$

\end{zad}

\begin{zad}
    \centering
    $
         \begin{cases}
          2x - y - 0 &= 0\\
          x - 3y - 9 &= 1
          \end{cases}
    $
\end{zad}

Jedna\v cine datih pravih svodim na oblik $y=ax+b$ i konstrui\v semo pravu $y=ax+b$.

\begin{center}

     $2x-y-8=0 \Leftrightarrow 2x-8=y ; y = 2x - 8$

     $x-3y-9=0 \Leftrightarrow x-9=3y \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}x - 3 = y; y = \dfrac{1}{3}x - 3$
\end{center}

\begin{center}
    \begin{tabular}{c c}
     $ y = 2x - 8$ & \\
     $ za x=2, y=2*2-4=-4 $ &  $(x,y) = (2,4) $\\
     $ za x=4, y=2*4-8=0 $&  $(x,y) = (4,0) $
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
    \begin{tabular}{c c}
    $ y = \dfrac{1}{3}x - 3 $& \\
    $ za x=6, y=\dfrac{1}{3}6 - 3 = 2 - 3 = - 1 $ &  $(x,y) = (6,-1) $\\
    $ za x=0, y=\dfrac{1}{3}0 - 3 = 0 - 3 = - 3 $ &  $(x,y) = (0,-3) $\\
\end{tabular}
\end{center}

\begin{figure}[H]
    \center
    \Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
    \caption{Ovo je figura}
\end{figure}

\begin{center}
    Prave se seku ta\v cka proseka je $(3,-2)$

    $
         \begin{cases}
          x - 3y + 5 &= 0\\
          2x - 6y - 7 &= 0
          \end{cases}
    $

    $
         \begin{cases}
          y &= \dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3} \\
          y &= \dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{6} \\
          \end{cases}
    $

    \begin{center}
    \begin{tabular}{c c}
    $ y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{5}{3} $& \\
    $ za x=0, y=\dfrac{5}{3}; $ &  $(x,y) = (0,\dfrac{5}{3}) $\\
    $ za x=1, y=2; $ &  $(x,y) = (1,2) $\\
    \end{tabular}
    \end{center}

    \begin{center}
    \begin{tabular}{c c}
    $ y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{7}{6} $& \\
    $ za x=0, y=\dfrac{7}{6}; $ &  $(x,y) = (0,\dfrac{7}{6}) $\\
    $ za x=1, y=\dfrac{3}{2}; $ &  $(x,y) = (1,\dfrac{3}{2}) $\\
    \end{tabular}
    \end{center}

    \begin{figure}[H]
        \center
        \Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
        \caption{Ovo je figura}
    \end{figure}

    Prave se ne seku. Nema ta\v cke preseka. Prave su paralelne.
\end{center}

\begin{zad}
    $y = 2x, y = 2x^{2} ; y = -2x, y=-2x^{2}$ 

    \begin{enumerate}
        \item Iz $y = 2x i y= 2x^{2}$ sledi $2x = 2x^{2}$ odakle je $x=1$

        Za $x = 1, y  = 2x = 2 * 1 = 2 (x,y ) = (1,2)$

        Za $x = 1, y  = 2x^{2} = 2 * 1^{2} = 2 (x,y ) = (1,2)$

        Zajedni\v cka ta\v cka $y = 2x  i y = 2x^{2} je (x,y) = (1,2)$

        Zajedni\v cka ta\v cka prave i parabole je (0,0) - kordinatni po\v cetak.

        \begin{figure}[H]
            \center
            \Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
            \caption{Ovo je figura}
        \end{figure}

        $y = ax, y = ax^{2}, za a > 0$ zajedni\v cke ta\v cke su $(1,a) i (0,0)$.

        Prava se\v ce parabolu u ta\v ckama (0,0) i $(1,a), a > 0$

        \item Iz $y = -2x i y= -2x^{2} \Rightarrow -2X = -2X^{2} \Rightarrow x = 1$ pa je zajedni\v cka ta\v cka (1,-2).

        \begin{figure}[H]
            \center
            \Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
            \caption{Ovo je figura}
        \end{figure}

        $y = ax, y = ax^{2}, za a < 0$ zajedni\v cke ta\v cke su $(1,a) i (0,0)$

    \end{enumerate}

\end{zad}

\begin{zad}     
\end{zad}
\phantom{.} \\
 1 sistem
$
\begin{cases}
    xy = 16 \\
    y = x 
\end{cases}
$

$x*x = 16 \Rightarrow x^{2} = 16 \Rightarrow x \pm \sqrt{16} = \pm  4$

za $x = 4,  y = 4$ je ta\v cka  $t_{1}(4,4)$

za $x = -4, xy = 16 \Rightarrow y = -4, t_{2}(-4,-4)$ \\

Hiperbola i prava $y=x$ seku se u ta\v ckama $t_{1} i t_{2} (t_{1}$ i $t_{2}$ su zajedna\v cke ta\v cke). \\

2 sistem
$
\begin{cases}
    x+y = 10 \\
    x*y = 16
\end{cases}
$

$x + y = 10 \Rightarrow y = 10 - x$ 

$x(10 - x) = 16$

$-x^{2} + 10x = 16$

$x^{2} - 10x = -16$

$(x-5)^{2} - 5^{2} = - 16$

$(x-5)^{2} = 9$

$x-5 = \pm \sqrt{9}$

$x-5 = \pm 3$

$x = 5 \pm 3$

$x_{1} = 8$

$x_{2} = 2$

za $x_{1} = 8, y_{1} = 2 ; (x,y) = (8,2)$

za $x_{2} = 2, y_{2} = 8 ; (x,y) = (2,8)$

\begin{figure}[H]
    \center
    \Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
    \caption{Ovo je figura}
\end{figure}

Hiperbola je centralno simetri\v cna u odnosu na (0,0) i osno simetri\v cna u odnosu na pravu $y = x$ (odnosno $y=-x$)

\begin{zad}     
\end{zad}

\begin{figure}[H]
    \center
    \Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
    \caption{Ovo je figura}
\end{figure}

Iz slike se vidi da dva tamena odre\dj uju stranicu pravugoanoika i neka pripadaju pravi (A). \\

Ta\v cka $t$ je ta\v cka prave $A_{1}$ pravca $(A)$ i njoj pripada naspramna stranica pravougaonika. \\

Konstrui\v sem prave $B i B_{1}$ normalnog pravca $(B)$ koje sadr\v ze temena $a$ i $b$, tako da su $B_{1} \cap A_{1} = {c}$ i $B \cup A_{1} = {d}$ i time se odre\dj uju temena $c$ i $d$ tj naspramna stranica pravugaonika.

\begin{figure}[H]
    \center
    \Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
    \caption{Ovo je figura}
\end{figure}

\begin{center}
     $A // A$
\end{center}

\begin{zad}
Prava $P_{1} b,c,f \notin P_{1}$
\end{zad}

\begin{figure}[H]
    \center
    \Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
    \caption{Ovo je figura}
\end{figure}

Odstojanje ta\v cke $b$ od $P_{1}$ je $[be]$, ta\v cke $c$ je $[cd]$ i ta\v cke $f$ je $[fg]$

\end{document}

[github-actions[bot]]

There was an error in submited code

note: Running TeX ... note: downloading SHA256SUM note: downloading multicol.sty error: 1111-1115.tex:38: Missing $ inserted error: halted on potentially-recoverable error as specified