1121-1125

[github-actions[bot]]

Zadate stranice

[recousin]

Assign me

[recousin]

\documentclass{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[serbian]{babel} \usepackage{tikz, xcolor, float} \usepackage{amsmath, amssymb, amsthm} \usepackage{caption, subcaption}

\newtheorem{zad}{Zadatak}

\renewcommand{\figurename}{Slika} \newcommand{\Placeholder}[2][(10, 10)] { \begin{tikzpicture} \draw[help lines] (0, 0) grid #1; \pgfgetlastxy{\x}{\y} \node[rotate=-25, align=center] at (\x / 2, \y / 2) {{\Huge Placeholder} \ #2}; \end{tikzpicture} }

\newcommand{\placeholder}[2][(10, 10)] { \begin{tikzpicture} \draw[help lines] (0, 0) grid #1; \pgfgetlastxy{\x}{\y} \node[rotate=-25, align=center] at (\x / 2, \y / 2) {{\Huge Placeholder} \ #2}; \end{tikzpicture} }

\begin{document} \begin{zad} Poluprava $O\overline{x}$, poluprava $O\overline{x}$ \end{zad} \begin{figure}[H] \center \Placeholder[(7, 1)]{Ovde stoji opis ovog crteza} \caption{Ovo je figura} \end{figure}

Ta\v cka O se transformi\v se u samu sebe, a ta\v cka b u b' 
\\ 

Poluprava se transformi\v se u suprotnu polupravu iste prave kada je centar njen po\v cetak.\\ 

[ \ bo ] \ $\cong$ [ \ ob' ] \ i $<$ bob' = 180$^{\circ}$
\\ 
    \begin{figure}[H]
    \center
    \Placeholder[(7, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
    \caption{}
\end{figure}

Poluprava se transformi\v se u suprotno paralelnu polupravu kad je njen centar ta\v cka O koja ne pripada polupravi. 
\\ 

\begin{zad}
\end{zad}

\begin{figure}[H]
    \center
    \Placeholder[(9, 5)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
    \caption{}
\end{figure}

1) \ Centralnom simetrijom ugao xoy se transformi\v se u unakrsni ugao x'o y' 

2) Centralnom simetrijom ugao xoy se transformi\v se u podudaran ugao \v ciji su kraci suprotno paralelni.
\\

Dva centralno simetri\v cna ugla su podudarna jer se mogu dobiti jedan iz drugog rotacijom za 180$^{\circ}$

\begin{zad} \end{zad} \begin{figure}[H] \center \Placeholder[(10, 10)]{Ovde stoji opis ovog crteza} \caption{} \end{figure}

Polukru\v znica \v ciji je polupre\v cnik [\ Oa  ] \ sadr\v zi ta\v cku a1 i a2; Polukru\v znica \v ciji je polupre\v cnik [\ Ob ] \ sadr\v ci ta\v cke b1 i b2;\\ 
Polukru\v znica polupre\v cnika [\ Oc ] \ sadr\v ze ta\v cke c1, c2\\

Ugao rotacije aOa2 koji transformi\v se figuru F u F2 je 180$^{\circ}$ \\ ( \ jer su a, O i a2 kolinearne ta\v cke ) \ $<$ aOa2 = 2 $<$ s1 O s2 = 2 $*$ 90$^{\circ}$ = 180$^{\circ}$

Kompozicija ( \ proizvod ) \ dveju osnih simetrija koje obrazuju pravi ugao je centralna simetrija ( \ specijalni slu\v caj rotacije \v ciji je ugao 180$^{\circ}$ ) \ .

\begin{zad} \end{zad} \begin{figure}[H] \center \Placeholder[(10, 10)]{Ovde stoji opis ovog crteza} \caption{} \end{figure}

Ugao rotacije $<$ aOa $\cong$ 2 $<$ s1os2, odakle je ugao koga obrazuju ose s1 i s2 je 

$\frac{1}{2}$ $<$ aOa, = $\frac{1}{2}$ao $\circ$ ao' $=<$ ao $\circ$ po.\\

Figura Fo dobijena je iz F osnovnom simetrijom s1, \\ 
F1 je dobivena je iz Fo osnom simetrijom s2.

\begin{zad} \end{zad} \begin{figure}[H] \center \Placeholder[(10, 5)]{Ovde stoji opis ovog crteza} \caption{Ovo je figura} \end{figure}

Nacrtaj proizvolju polupravu $a\overline{x}$ . Uzmi du\v z [ \ ac1 ] \ i konstrui\v si ta\v cke c2, c3, c4, c5, c6, c7 tako da je\\ 

[ \ ac1 ] \ $\cong$  [ \ c1c2 ] \ $\cong$ [ \ c2c3 ] \ $\cong$ [ \ c3c4 ] \ $\cong$ [ \ c4c5] \ $\cong$ [ \ c5c6 ] \ $\cong$ [ \ c6c7 ] \ \\ 

Nacrtaj pravu c7b, pa konstrui\v si niz paralelnih podudarnih tangenta pravca bc7. Time je du\v z [ \ ab ] \ podeljena na 7 podudarnih du\v zi.

\begin{zad} \begin{figure}[H] \center \Placeholder[(13, 10)]{Ovde stoji opis ovog crteza} \caption{Ovo je figura} \end{figure} Konstrui\v sem $\vartriangle$ a'b'c' rotacijom oko a' za ugao koji dovodi [ \ a'c' ] \ u paralelan polo\v zaj sa [ \ a c ] \ . Dobijam trougao a'b1'c1'. Zatim translacijom za [ \ a'a ] \ tranformi\v sem $\vartriangle$ a'b1'c1 u trougao ab1'c1. Kako je $\vartriangle$ a'b'c $\cong$ $\vartriangle$ $\cong$ $\vartriangle$ ab1c1 a trougao ab1c1 je homogeni\v can trouglu abc sledi da je \ $\vartriangle$ a'b'c' $\thicksim$ $\vartriangle$ abc \end{zad} \begin{zad} \end{zad} \begin{figure}[H] \center \Placeholder[(5, 5)]{Ovde stoji opis ovog crteza} \caption{} \end{figure} \begin{tabular}{l c r} $[om]$ - jedini\v cna du\v ze & $[mp] \cong [op]$ ; \ & $[mp]^{2} + [mp]^{2} = 1^{2}$ \ & $2[mp]^{2} = 1$ \ & $[mp]^{2} = \dfrac{1}{2} $ \ & $[mp] = \dfrac{1}{\sqrt{2}} $ & $[op] = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ \end{tabular}

$\sin 45^{\circ} = \dfrac{[mp]}{[om]} = \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos 45^{\circ} = \dfrac{[op]}{[om]} = \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\tg 45^{\circ} = \dfrac{[\sin45^{\circ}]}{[\cos^{\circ}]} = \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} * \dfrac{\sqrt{2}}{1} = 1$

\begin{zad} $\sin \alpha = \dfrac{2}{3} , \cos \alpha = ? i \tg \alpha = ? $ \ $(\sin \alpha)^{2} + (\cos \alpha)^{2} = 1 $ \ $(\dfrac{2}{3})^{2} + (\cos \alpha)^{2} = 1$ \ $(\cos \alpha)^{2} = 1 - (\dfrac{2}{3})^{2} = \dfrac{5}{9} \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt{\dfrac{5}{9}} = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$ \ $\tg \alpha = \dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{\sqrt{5}}{3}} = \dfrac{2}{3} \dfrac{3}{\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ \end{zad} \begin{zad} Iz $b^{2} = ab^{'}$ tri du\v zi odre\dj uju proporciju $a,b,b^{'}$ tako da je $b b = a * b^{'} \Leftrightarrow b : a = b^{'} : b$ sledi da su te stranice sli\v cnih trougli\v ca $\triangle xyz i \triangle xyz$.

Iz $xyz \tilde \triangle xyz$ sledi $h * h = b^{'}c^{'} \Leftrightarrow h : b^{'} = c^{'} : h ( b : h = h : c^{'} )$ zaklju\v cujem da je $h$ visina $\triangle xyz$ i da je $a = b^{'} + c^{'}$ 

Kako je $\angle$ u pravi i $\triangle yz$ u $\Rightarrow \angle z$ o\v star ugao, $a$ iz $\cos \angle x = a : b$ zaklju\v cujemo da je $\angle$ o\v star ugao ako su $\angle x i \angle z$ o\v stri onda je $\angle y$ prav.

\end{zad} \begin{zad} \begin{enumerate} \item [a)] ( \ ab ) \ = stranica opisanog petougla i \item [b)] \ ( \ ab ) \ stranica opisanog osmougla\

\item [a)] $2\alpha = \frac{1}{5} 360^{\circ} = 72^{\circ}, \alpha = 36^{\circ}  tg 36^{\circ} = 0,7265 \approx 0,727$\\ 
( \ ab ) \ = $2\pi tg\alpha = 2\pi 36^{\circ} \approx 2*0,727 \approx 1,454\pi$\\ 

\item [b)] $2\alpha = \frac{1}{8} 360^{\circ} = 45^{\circ}, \alpha = 22^{\circ}30'$\\ 

$tg 22^{\circ}30' \approx 0,414.$\\  
( \ ab ) \ = $2\pi tg\alpha = 2\pi tg 22^{\circ}30' \approx 2\pi * 0,414 \approx 0,828\pi$

\end{enumerate} \end{zad} \end{document}

[github-actions[bot]]

There was an error in submited code

note: Running TeX ... note: downloading SHA256SUM note: downloading multicol.sty error: 1121-1125.tex:36: Missing $ inserted error: halted on potentially-recoverable error as specified

[recousin]

\documentclass{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[serbian]{babel} \usepackage{tikz, xcolor, float} \usepackage{amsmath, amssymb, amsthm} \usepackage{caption, subcaption}

\newtheorem{zad}{Zadatak}

\renewcommand{\figurename}{Slika} \newcommand{\Placeholder}[2][(10, 10)] { \begin{tikzpicture} \draw[help lines] (0, 0) grid #1; \pgfgetlastxy{\x}{\y} \node[rotate=-25, align=center] at (\x / 2, \y / 2) {{\Huge Placeholder} \ #2}; \end{tikzpicture} }

\newcommand{\placeholder}[2][(10, 10)] { \begin{tikzpicture} \draw[help lines] (0, 0) grid #1; \pgfgetlastxy{\x}{\y} \node[rotate=-25, align=center] at (\x / 2, \y / 2) {{\Huge Placeholder} \ #2}; \end{tikzpicture} }

\begin{document} \begin{zad} Poluprava $O\overline{x}$, poluprava $O\overline{x}$ \end{zad} \begin{figure}[H] \center \Placeholder[(7, 1)]{Ovde stoji opis ovog crteza} \caption{Ovo je figura} \end{figure}

Ta\v cka O se transformi\v se u samu sebe, a ta\v cka b u b' 
\\ 

Poluprava se transformi\v se u suprotnu polupravu iste prave kada je centar njen po\v cetak.\\ 

[ \ bo ] \ $\cong$ [ \ ob' ] \ i $<$ bob' = 180$^{\circ}$
\\ 
    \begin{figure}[H]
    \center
    \Placeholder[(7, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
    \caption{}
\end{figure}

Poluprava se transformi\v se u suprotno paralelnu polupravu kad je njen centar ta\v cka O koja ne pripada polupravi. 
\\ 

\begin{zad}
\end{zad}

\begin{figure}[H]
    \center
    \Placeholder[(9, 5)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
    \caption{}
\end{figure}

1) \ Centralnom simetrijom ugao xoy se transformi\v se u unakrsni ugao x'o y' 

2) Centralnom simetrijom ugao xoy se transformi\v se u podudaran ugao \v ciji su kraci suprotno paralelni.
\\

Dva centralno simetri\v cna ugla su podudarna jer se mogu dobiti jedan iz drugog rotacijom za 180$^{\circ}$

\begin{zad} \end{zad} \begin{figure}[H] \center \Placeholder[(10, 10)]{Ovde stoji opis ovog crteza} \caption{} \end{figure}

Polukru\v znica \v ciji je polupre\v cnik [\ Oa  ] \ sadr\v zi ta\v cku a1 i a2; Polukru\v znica \v ciji je polupre\v cnik [\ Ob ] \ sadr\v ci ta\v cke b1 i b2;\\ 
Polukru\v znica polupre\v cnika [\ Oc ] \ sadr\v ze ta\v cke c1, c2\\

Ugao rotacije aOa2 koji transformi\v se figuru F u F2 je 180$^{\circ}$ \\ ( \ jer su a, O i a2 kolinearne ta\v cke ) \ $<$ aOa2 = 2 $<$ s1 O s2 = 2 $*$ 90$^{\circ}$ = 180$^{\circ}$

Kompozicija ( \ proizvod ) \ dveju osnih simetrija koje obrazuju pravi ugao je centralna simetrija ( \ specijalni slu\v caj rotacije \v ciji je ugao 180$^{\circ}$ ) \ .

\begin{zad} \end{zad} \begin{figure}[H] \center \Placeholder[(10, 10)]{Ovde stoji opis ovog crteza} \caption{} \end{figure}

Ugao rotacije $<$ aOa $\cong$ 2 $<$ s1os2, odakle je ugao koga obrazuju ose s1 i s2 je 

$\frac{1}{2}$ $<$ aOa, = $\frac{1}{2}$ao $\circ$ ao' $=<$ ao $\circ$ po.\\

Figura Fo dobijena je iz F osnovnom simetrijom s1, \\ 
F1 je dobivena je iz Fo osnom simetrijom s2.

\begin{zad} \end{zad} \begin{figure}[H] \center \Placeholder[(10, 5)]{Ovde stoji opis ovog crteza} \caption{Ovo je figura} \end{figure}

Nacrtaj proizvolju polupravu $a\overline{x}$ . Uzmi du\v z [ \ ac1 ] \ i konstrui\v si ta\v cke c2, c3, c4, c5, c6, c7 tako da je\\ 

[ \ ac1 ] \ $\cong$  [ \ c1c2 ] \ $\cong$ [ \ c2c3 ] \ $\cong$ [ \ c3c4 ] \ $\cong$ [ \ c4c5] \ $\cong$ [ \ c5c6 ] \ $\cong$ [ \ c6c7 ] \ \\ 

Nacrtaj pravu c7b, pa konstrui\v si niz paralelnih podudarnih tangenta pravca bc7. Time je du\v z [ \ ab ] \ podeljena na 7 podudarnih du\v zi.

\begin{zad} \begin{figure}[H] \center \Placeholder[(13, 10)]{Ovde stoji opis ovog crteza} \caption{Ovo je figura} \end{figure} Konstrui\v sem $\vartriangle$ a'b'c' rotacijom oko a' za ugao koji dovodi [ \ a'c' ] \ u paralelan polo\v zaj sa [ \ a c ] \ . Dobijam trougao a'b1'c1'. Zatim translacijom za [ \ a'a ] \ tranformi\v sem $\vartriangle$ a'b1'c1 u trougao ab1'c1. Kako je $\vartriangle$ a'b'c $\cong$ $\vartriangle$ $\cong$ $\vartriangle$ ab1c1 a trougao ab1c1 je homogeni\v can trouglu abc sledi da je \ $\vartriangle$ a'b'c' $\thicksim$ $\vartriangle$ abc \end{zad} \begin{zad} \end{zad} \begin{figure}[H] \center \Placeholder[(5, 5)]{Ovde stoji opis ovog crteza} \caption{} \end{figure} \begin{tabular}{l c r} $[om]$ - jedini\v cna du\v ze & $[mp] \cong [op]$ ; \ & $[mp]^{2} + [mp]^{2} = 1^{2}$ \ & $2[mp]^{2} = 1$ \ & $[mp]^{2} = \dfrac{1}{2} $ \ & $[mp] = \dfrac{1}{\sqrt{2}} $ & $[op] = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ \end{tabular}

$\sin 45^{\circ} = \dfrac{[mp]}{[om]} = \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos 45^{\circ} = \dfrac{[op]}{[om]} = \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\tg 45^{\circ} = \dfrac{[\sin45^{\circ}]}{[\cos^{\circ}]} = \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} * \dfrac{\sqrt{2}}{1} = 1$

\begin{zad} $\sin \alpha = \dfrac{2}{3} , \cos \alpha = ? i \tg \alpha = ? $ \ $(\sin \alpha)^{2} + (\cos \alpha)^{2} = 1 $ \ $(\dfrac{2}{3})^{2} + (\cos \alpha)^{2} = 1$ \ $(\cos \alpha)^{2} = 1 - (\dfrac{2}{3})^{2} = \dfrac{5}{9} \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt{\dfrac{5}{9}} = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$ \ $\tan \alpha = \dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{\sqrt{5}}{3}} = \dfrac{2}{3} \dfrac{3}{\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ \end{zad} \begin{zad} Iz $b^{2} = ab^{'}$ tri du\v zi odre\dj uju proporciju $a,b,b^{'}$ tako da je $b b = a * b^{'} \Leftrightarrow b : a = b^{'} : b$ sledi da su te stranice sli\v cnih trougli\v ca $\triangle xyz i \triangle xyz$.

Iz $xyz \tilde \triangle xyz$ sledi $h * h = b^{'}c^{'} \Leftrightarrow h : b^{'} = c^{'} : h ( b : h = h : c^{'} )$ zaklju\v cujem da je $h$ visina $\triangle xyz$ i da je $a = b^{'} + c^{'}$ 

Kako je $\angle$ u pravi i $\triangle yz$ u $\Rightarrow \angle z$ o\v star ugao, $a$ iz $\cos \angle x = a : b$ zaklju\v cujemo da je $\angle$ o\v star ugao ako su $\angle x i \angle z$ o\v stri onda je $\angle y$ prav.

\end{zad} \begin{zad} \begin{enumerate} \item [a)] ( \ ab ) \ = stranica opisanog petougla i \item [b)] \ ( \ ab ) \ stranica opisanog osmougla\

\item [a)] $2\alpha = \frac{1}{5} 360^{\circ} = 72^{\circ}, \alpha = 36^{\circ}  tg 36^{\circ} = 0,7265 \approx 0,727$\\ 
( \ ab ) \ = $2\pi tg\alpha = 2\pi 36^{\circ} \approx 2*0,727 \approx 1,454\pi$\\ 

\item [b)] $2\alpha = \frac{1}{8} 360^{\circ} = 45^{\circ}, \alpha = 22^{\circ}30'$\\ 

$tg 22^{\circ}30' \approx 0,414.$\\  
( \ ab ) \ = $2\pi tg\alpha = 2\pi tg 22^{\circ}30' \approx 2\pi * 0,414 \approx 0,828\pi$

\end{enumerate} \end{zad} \end{document}

[github-actions[bot]]

There was an error in submited code

note: Running TeX ... note: downloading SHA256SUM note: downloading multicol.sty error: 1121-1125.tex:36: Missing $ inserted error: halted on potentially-recoverable error as specified