0116-0121 - Githubissues

\documentclass{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[serbian]{babel} \usepackage{tikz, xcolor, float} \usepackage{amsmath, amssymb, amsthm} \usepackage[inline]{enumitem}
\newtheorem{zad}{Zadatak}
\renewcommand{\figurename}{Slika} \newcommand{\Placeholder}[2][(10, 10)] { \begin{tikzpicture} \draw[help lines] (0, 0) grid #1; \pgfgetlastxy{\x}{\y} \node[rotate=-25, align=center] at (\x / 2, \y / 2) {{\Huge Placeholder} \ #2}; \end{tikzpicture} }
\newcommand{\placeholder}[2][(10, 10)] { \begin{tikzpicture} \draw[help lines] (0, 0) grid #1; \pgfgetlastxy{\x}{\y} \node[rotate=-25, align=center] at (\x / 2, \y / 2) {{\Huge Placeholder} \ #2}; \end{tikzpicture} }
\begin{document} \begin{zad} \v Sta mo\v ze\v s re\' ci za $C$, ako je: \end{zad} \begin{enumerate}[label={\arabic)}] \item $4 + C < 7\quad$ \item $4 + C < 7\quad$ \item $7 - C > 3\quad$ \item $7 - C < 3\quad$ \end{enumerate*}
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
    \item $4 + C = 7$, $\quad C = 3$. Da bi zbir $4 + C$ bio ve\' ci od $7$, mora biti $C > 3$, tj. $C > 7 - 4$. \\
    Zato, ako je $4 + C > 7$, onda je $C > 7 - 4$ tj. $C > 3$. \\
    Dakle, $C$ ozna\v cava sve brojeve ve\' ce od $3$ tj. $4, 5, 6$...;
    \setcounter{enumi}{2}
    \item Kad bi bilo $7 - C = 3$, bilo bi $C = 7 - 3 = 4$. Kako je $7 - C > 3$, $C < 7 - 3 = 4$, $C < 4$ pa je $C \in {0, 1, 2, 3}$.  
\end{enumerate}

\begin{zad}
    \v Sta mo\v ze\v s re\' ci za slovo $x$, ako je:
\end{zad}

\begin{enumerate*}[label={\arabic*)}]
    \item $15 < x < 17\quad$
    \item $x - 5 < 1\quad$
    \item $x + 5 < 3\quad$
\end{enumerate*}

\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
    \setcounter{enumi}{2}
    \item $x + 5 < 3$. Kako $5$ nije manje od $3$, onda ne postoji broj koji se mo\v ze staviti umesto slova $x$, tj. $x = \{ \} = \emptyset$.
\end{enumerate}

\begin{zad}
    Odredi umesto kojeg broja stoji slovo $x$, na primer:
\end{zad}

\begin{enumerate*}[label={\arabic*)}]
    \item $2 - x + 5 = 3\quad$
    \item $2 - x + 5 = 9$
\end{enumerate*}

\begin{align*}
    1) \quad 2 - x + 5 &= 3 && 2) &2 - x + 5 &= 9 \\
    2 + 5 - x &= 3 && &2 + 5 - x &= 9 \\
    7 - x &= 3 && &7 - x &= 9 \\
    x &= 7 - 3 && & \textrm{Ne postoji broj $x$} \\
    x &= 4 && & \textrm{koji \' ce umanjiti} \\ 
    x &\in {4} && & \textrm{broj $7$ i dobiti broj $9$}
\end{align*}

\begin{zad}
    Odredi brojeve koji stoje umesto slova $x$, na primer:
\end{zad}

\begin{enumerate*}[label={\arabic*)}]
    \item $2 - x + 7 < 3\quad$
    \item $2 - x + 7 > 3$
\end{enumerate*}
\\ \\
\begin{enumerate*}[label={\arabic*)}]
    \item $2 - x + 7 < 3 \\$
    \item[] \qquad $9 - x < 3$
\end{enumerate*}

Ako je $9 - x < 3$, onda $x$ mora biti ve\' ci od $6$, jer je $9 - 6 = 3$.
Ako se umanjilac pove\' ca razlika se smanjuje i zato je $x > 6$, gde je $x \in \{7, 8, 9\}$.

\begin{enumerate*}[label={\arabic*)}]
    \setcounter{enumi}{1}
    \item $2 - x + 7 > 3 \\$
    \item[] \qquad $9 - x > 3$
\end{enumerate*}

Da bi bilo $9 - x = 3$, onda $x$ mora biti $6$.

Ako se umanjilac umanji razlika se pove\' cava pa je $x < 6$, i tada je $9 - x > 3$, onda je $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.

Nejedna\v cine i nejednakosti imaju ve\' ci zna\v caj za matemati\v cko obrazovanje. Ustvari, uslov jedna\v cine (na ovom nivou) najvi\v se jedan broj. a svaka nejedna\v cina defini\v se (odre\dj uje), uop\v ste, skup brojeva (koji mo\v ze biti i prazan).

Obavezno se pridr\v zavaj uputstva (\v sto je vrlo va\v zno):

,,Nikada ni pod kojim uslovom ne ,,prebacivati" brojeve s jedne strane (jedna\v cine, nejedna\v cine) na drugu stranu" [10].

\section*{Mno\v zenje skupova i mno\v zenje brojeva}

\begin{zad}
    Kaja ima crvenu, plavu i zelenu majicu, a \v sarenu i \v zutu suknju.

    Na koliko na\v cina (koliko dana) mo\v ze Kaja da se obla\v ci, pa da uvek bude razli\v cito obu\v cena?
\end{zad}

Skup majica i skup suknji prikazuju Venovi dijagrami na slici 117 (M - skup majica, S - skup suknji).

\begin{figure}[H]
    \center
    \Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
    \caption{}
\end{figure}

\begin{align*}
    &\textrm{Gde je } &&\textrm{$c \in M$ crvena smajica} &\textrm{ i \qquad } &\textrm{$s \in S$ \v sarena suknja.} \\
    &\textrm{}  &&\textrm{$p \in M$ plava majica } &\textrm{} &\textrm{$s \in S$ \v zuta suknja} \\
    &\textrm{} &&\textrm{$z \in M$ zelena majica.}
\end{align*}

Par $(c, S)$ ozna\v cava da crvenu majicu i \v sarenu suknju mo\v ze obu\' ci samo jednog dana (jedan na\v cin tj. jedna mogu\' cnost), gde su \v clanovi ure\dj enog para povezani strelicom tako \v sto je glava strelice okrenuta od prvog \v clana ka drugom.

Par $(c, Z)$ ozna\v cava da crvenu majicu mo\v ze obu\' ci nekog drugog dana (drugi dan, druga mogu\' cnost), \v sto je prikazano strelicom.

Tada se mo\v ze sastaviti \v sema pomo\' cu strelice (cagitalna \v sema) proizvoda $M \times S$.

Sastavi parove.

Koliko su parova (majica, suknja) sastavljeni?

Sastavljena su \v sest para: $(c, S), (c, Z), (p, S), (p, Z), (z, S), (z, Z)$.

Svaki par je jedan na\v cin (jedan dan), tj. jedna mogu\' cnost obla\v cenja.

Kaja mo\v ze na \v sest razli\v citih na\v cina (6 dana) da se obu\v ce, tj. postoje \v sest mogu\' cnosti obla\v cenja (to pokazuju i \v sest strelica na slici 117).

Sada mo\v ze\v s sastaviti \v semu proizvoda skupova $M \times S$.

\begin{figure}[H]
    \center
    \Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
    \caption{}
\end{figure}

Zapisuje\v s mno\v zenje skupa Kajinih majica i skupa Kajinih suknji ovako:

$\{c, p, z\} \times \{S, Z\}$.

Kako je $\{c, p, z\} \times \{S, Z\} = \left\{(c, S), (p, S), (z, S), (c, Z), (p, Z), (z, Z)\right\}$

Vidi \v semu slike 118.

Zna\v ci postoje 3 mogu\' cnosti (para) obla\v cenja majice sa \v sarenom suknjom i 3 para sa \v zutom.

Zato primeni:

$B(c, p, z)\cdot B(S, Z) = 3 + 3 = 6$

Ili \v sto je isto $3 \cdot 2 = 3 + 3 = 6$

Tako ozna\v cava\v s mno\v zenje broja $3$ brojem $2$.

$3 \cdot 2$ je ozna\v ceno mno\v zenje broja $3$ brojem $2$, ili ozna\v ceni proizvod brojeva $3$ i $2$ i \v cita\v s: $2$ puta $3$.

$3 \cdot 2 = 6$ je izvr\v sen, izra\v cunati proizvod $2$ i $3$ i \v cita\v s: $2$ puta $3$ je (jednako je) $6$.

\begin{zad}
    Vera ima \v sarenu i \v zutu suknju, a crvenu, plavu i zelenu majicu. Koliko mogu\' cnosti postoje da se Vera obu\v ce?
\end{zad}

\begin{figure}[H]
    \center
    \Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
    \caption{}
\end{figure}

Skup suknji $(S)$ i skup majica $(M)$ prikazani su na slici 119, time je prikazana \v sema pomo\' cu strelice (sagitalna \v sema).

Mno\v zenje skupa Verinih suknji i skupa Verinih majica zapisujemo ovako:

$\{S, Z\} \times \{c, p, z\}$.

Poka\v zi to sastavljanjem \v seme proizvoda skupova $S \times M$.

\begin{figure}[H]
    \center
    \Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
    \caption{}
\end{figure}

Od koliko elemenata (tj. od koliko parova) se taj skup-proizvod sastoji?

Na osnovu \v seme slika 120, proizvod zapisujemo:

\begin{align*}
    \{S, Z\} \times \{c, p, z\} = \{ &(S, c), (Z, c) \\
    &(S, p), (S, p) \\
    &(S, z), (Z, z)\}
\end{align*}

Vidimo da postoje $2$ mogu\' cnosti obla\v cenja $2$ suknje sa crvenom majicom, $2$ mogu\' cnosti sa plavom, $2$ mogu\' cnosti sa zelenom.

Zato pi\v semo:

\begin{align*}
    B\{S, Z\} \cdot B\{c, p, z\} = 2 + 2 + 2 = 6
\end{align*}

Ili \v sto je isto $2 \cdot 3 = 2 + 2 + 2 = 6$.

Tako se ozna\v cava mno\v zenje broja $2$ brojem $3$.

$2 \cdot 3$ je ozna\v ceno mno\v zenje broja $2$ brojem $3$, ili ozna\v ceni proizvod brojeva $2$ i $3$ i \v citamo: $3$ puta $2$.

$2 \cdot 3 = 6$ je izvr\v seni, izra\v cunati proizvod brojeva $3$ i $2$ i \v citamo: $3$ puta $2$ je $6$. 

\begin{zad}
    Deca Aca, Bogdan i Petar donelo je po $6$ kofa vode za zalivanje ba\v ste. \v Sta mo\v ze\v s izra\v cunati? Izra\v cunaj i napravi \v semu.

    Ozna\v cimo skup dece $\{a, b, p\}$, pa skup kofa $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ i pravimo \v semu.
\end{zad}

\begin{figure}[H]
    \center
    \Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
    \caption{}
\end{figure}

Na ovnovu \v seme sa slike 121, proizvod dva skupa zapisujemo:

\begin{align*}
    \{a, b, p\} \times \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \{ &(a, 1), (b, 1), (p, 1) \\
    &(a, 2), (b, 2), (p, 2) \\ 
    &(a, 3), (b, 3), (p, 3) \\
    &(a, 4), (b, 4), (p, 4) \\
    &(a, 5), (b, 5), (p, 5) \\
    &(a, 6), (b, 6), (p, 6)\} \\
\end{align*}

Vidimo da postoje $3$ mogu\' cnosti dono\v senja prve kofe, $3$ mogu\' cnosti druge kofe...

Zato pi\v semo:

\begin{align*}
    B\{a, b, c\} \cdot B\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18
\end{align*}

Ili \v sto je isto $3 \cdot 6 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18$

Tako se ozna\v cava mno\v zenje broja $3$ brojem $6$.

$3 \cdot 6$ je ozna\v ceno mno\v zenje broja $3$ brojem $6$, ili ozna\v ceni proizvod brojeva $3$ i $6$ i \v citamo: $6$ puta $3$.

$3 \cdot 6 = 18$ je izvr\v sen, izra\v cunati proizvod brojeva $6$ i $3$ i \v citamo: $6$ puta $3$ je $18$.

\v Semu na slici 121 predstavi ta\v ckama, gde ta\v cka ozna\v cava ure\dj eni par (dete, kofa), npr. $(a, 1),\dots(b, 3),\dots(p, 6)$. 

\begin{figure}[H]
    \center
    \Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
    \caption{}
\end{figure}

Proizvod dva skupa je skup ure\dj enih parova koji su raspore\dj eni u redove i stupce. Ova \v sema ima $3$ reda i $6$ stupca.

Sada mo\v zemo broj $18$ da prika\v zemo u obliku proizvoda.

\begin{align*}
    18 = 6 \times 3 \quad &[3 \textrm{ reda po $6$ predmeta, polja}] \\
    18 = 3 \times 6 \quad &[6 \textrm{ stupca po $3$ predmeta, polja}]
\end{align*}

Tako se pi\v se broj $18$ u obliku prizvoda broja $3$ i broja $6$, \v sto zapisujemo:

\begin{align*}
    6 \times 3 \textrm{ ili } 3 \times 6
\end{align*}

to jest

\begin{align*}
    6 \cdot 3 \textrm{ ili } 3 \cdot 6
\end{align*}

Ovo zapisivanje se naziva proizvod brojeva $3$ i $6$ (ili $6$ i $3$).

Prethodnu \v semu sl. 121 i sl. 122, gde je \v sema prikazana ta\v ckama raspore\dj enih u redove i skupove, prikazujemo ovako:

\begin{figure}[H]
    \center
    \Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
    \caption{}
\end{figure}

Tako dobija\v s $6 + 6 + 6$.

Time je pokazano da se ozna\v ceni proizvod $6 \cdot 3$ mo\v ze prikazati u obliku zbira jednakih sabiraka:
\begin{align*}
    6 \cdot 3 = 6 + 6 + 6
\end{align*}

Gde su sabirci brojevi ,,pete vrste", brojevi ekvipotentnih skupova koji \v cine uniju proizvoda skupova. Broj ekvipotentnog skupa je $6$ i naziva se mno\v zenik, a broj $3$ je mno\v zilac koji nije broj skupa, nego broj ekvipotentnih skupova (broj jednakih sabiraka).

Ako tu \v semu prika\v ze\v s ovako:

\begin{figure}[H]
    \center
    \Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
    \caption{}
\end{figure}

Dobija\v s $3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3$

Pokazano je da se ozna\v ceni proizvod $3 \cdot 6$ mo\v ze prikazati u obliku zbira jednakih sabiraka:

$3 \cdot 6 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3$

Sabirci su brojevi ,,iste vrste", brojevi ekvipotentnih skupova. Broj ekvipotentnih skupova je $3$ i naziva se mno\v zenik, a broj $6$ je mno\v zilac koji nije broj skupa, nego broj ekvipotentnih skupova (broj jednakih sabiraka).

Time je pokazano da se svaki proizvod mo\v ze prikazati u obliku zbira jednakih sabiraka, a izra\v cunava putem sabiranja jednakih sabiraka.

$6 \cdot 3 = 6 + 6 + 6 = 18$

$3 \cdot 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18$
\end{document}
dimchee / ZDSSMO

0116-0121 #22

There was an error in submited code
