0122-0127

[github-actions[bot]]

Zadate stranice

[NexyusNex]

Assign me

[NexyusNex]

\documentclass{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[serbian]{babel} \usepackage{tikz, xcolor} \usepackage{amsmath, amssymb, amsthm} \usepackage{float}

\newtheorem{zad}{Zadatak}

\renewcommand{\figurename}{Slika} \newcommand{\Placeholder}[2][(10, 10)] { \begin{tikzpicture} \draw[help lines] (0, 0) grid #1; \pgfgetlastxy{\x}{\y} \node[rotate=-25, align=center] at (\x / 2, \y / 2) {{\Huge Placeholder} \ #2}; \end{tikzpicture} }

\newcommand{\placeholder}[2][(10, 10)] { \begin{tikzpicture} \draw[help lines] (0, 0) grid #1; \pgfgetlastxy{\x}{\y} \node[rotate=-25, align=center] at (\x / 2, \y / 2) {{\Huge Placeholder} \ #2}; \end{tikzpicture} }

\begin{document} \begin{zad}

Deda \v Zivorad je kupio asdnice i kru\v sku, tre\v snju i vi\v snju(po jednu sadnicu svake vrste). Iskopao je $5$ rupa i numerisao ih ciframa $1,2,3,4,5$(tj. kod svake rupe stavio je tablu sa jednom cifrom).    \end{zad}

Na koliko na\v cina mo\v ze on posaditi spomenute sadnice u iskopane rupe?

Poku\v saj prvo mentalno(usmeno) da pomno\v zis date skupove, a zatim napravi \v semu proizvoda skupa sadnica(k,t,v) i skup cifara $\{1,2,3,4,5\}$.

Broj mogu\' cnosti se izra\v cunava dok sa\dj enje jo\v s nije po\v celo. Tada postoje $5$ mogu\v cnosti da se kru\v ska posadi, tj. $5$ puta(rupa) po $1$, ali ako je deda \v Zivorad posadio u rupu ozna\v cenu cifrom $4$, onda je ne mo\v ze posaditi ni u jednu drugu rupu.

Zato se broj mogu\v cnosti odre\dj uje dok sa\dj enje nije po\v celo, ima $5$ rupa po $3$: kru\v ska se mo\v ze posaditi u svaku od $5$ rupa, tre\v snja i vi\v snja takodje.

Zna\v ci, broj mogu\v cnosti je: kru\v ska $5$, tre\v snja $5$ \ldots $10$, i vi\v snja $5$ \ldots $1$5.

Obrati pa\v znju da se u ovom primeru najbolje vide razlike izme\dj u realnog i pojmovnog sveta, a ti mora\v s da se podigne\v s u pojmovni svet.

\v Sema proizvoda skupa sadnice \{k,t,v\} i skupa cifara $\{1,2,3,4,5\}$ je:

 \begin{figure}[h]
    \center
    \Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
    \caption{Ovo je figura}
\end{figure}

Na osnovu \v seme sa $125$ proizvod dva skupa zapisujem ovako:

\begin{align*}
\{k,t,v\} \times \{1,2,3,4,5\} = \{ &(k,1), (t,1), (v,1)\\
&(k,2), (t,2), (v,2)\\
&(k,3), (t,3), (v,3)\\
&(k,4), (t,4), (v,4)\\
&(k,5), (t,5), (v,5)\}\\
\end{align*}

Postoje $3$ mogu\' cnosti(na\v cina) da se sadnice zasade u rupu ozna\v cenu cifrom $1$, $3$ mogu\' cnosti u rupu ozna\v cenu cifrom $2$, \ldots, $3$ mogu\' cnosti u rupu ozna\v cenu cifrom $5$.

Zato je broj mogu\' cnosti:
$B(k,t,v) \cdot B(1,2,3,4,5) = 3+3+3+3+3 = 15$

Ovim proizvodom dva skupa elementi dobijenog skupa su raspore\dj eni u redove i stupce.

\begin{align*}
\bullet \ \bullet \ \bullet \\
\bullet \ \bullet \ \bullet \\
\bullet \ \bullet \ \bullet \\
\bullet \ \bullet \ \bullet \\
\bullet \ \bullet \ \bullet
\end{align*}

\begin{enumerate}
    \item[a)] $5$ redova po $3$ elementa $3+3+3+3+3 = 3$ $\cdot$ $5$ ($5$ puta $3$)
    \item[b)] $3$ stupca po $5$ elemenata $5+5+5 = 5$$\cdot$3 ($3$ puta $5$)
\end{enumerate}

Postoje $5$ mogu\v cnosti (rupa) u kojima se na primer kru\v ska mo\v ze da zasadi, $5$ mogu\' cnosti za te\v snju i $5$ mogu\' cnosti za vi\v snju.

U ovom slu\v caju broj mogu\' cnosti je:

$B\{1,2,3,4,5\}\cdot B\{k,t,v\} = 5+5+5 = 15$

I ovim proizvodom dva skupa elementi dobijenog skupa su raspore\dj eni u redove i stupce

\begin{align*}
    \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \\
    \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \\
    \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \\
\end{align*}

\begin{enumerate}
    \item[a)] 3 redova po 5 elemenata $5+5+5 = 5 \cdot 3$ (3 puta 5)
    \item[b)] 5 stupca po 3 elemenata $3+3+3+3+3 = 3\cdot5$ (5 puta 3)
\end{enumerate}

Zna\v ci, predstavi sebi, zamisli svaki proizvod dva broja kao skup \v ciji su elementi raspore\dj eni u redove i stupce.

Veoma je korisno prikazati proizvod u obliku stabla(drva);

na primer, stablo proizvoda (ovog zadatka) $5x3$ izgleda

\begin{figure}[H]
    \center
    \Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
    \caption{Ovo je figura}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \center
    \Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
    \caption{Ovo je figura}
\end{figure}

Zamisli ``debele'' grane kao redove, a tanke kao stupce na slici 1), a na slici 2) ``debele'' grane kao stupce, a ``tanke'' kao redove.

\begin{zad}
Mirjana ima $3$ ma\v ceta: belo, sivo i \v sareno.

Na koliko na\v cina im moze zavezati: plavu, crvenu, zelenu i \v zutu ma\v snu.

Zapi\v si mno\v zenje, ili ozna\v ceni proizvod skupa ma\v ci\' ca i skupa ma\v sni.
\end{zad}
$\{b,s,\textrm{\v s}\}\times\{p,e,z,\textrm{\v z}\}$

Iz koliko elemenata tj. parova se taj skup-proizvod sastoji? Zapi\v si mno\v zenje odgovaraju\' cih brojeva.

$B(b,s,\textrm{\v s}) \cdot B\{p,c,z,\textrm{\v z}\} = 3+3+3+3 = 12$

$3 \cdot 4 = 3+3+3+3 = 12$

\v Sta je $3 \cdot 4$? Pro\v citaj.

$3\cdot4$ je ozna\v ceni proizvod brojeva $3$ i $4$ i pi\v sem: $4$ puta $3$.

Napi\v si izvr\v seni, izra\v cunati proizvod i pro\v citaj.

$3\cdot4 = 12$, \v citam: $4$ puta $3$ je $12$.

\begin{zad}
    Na stolu je \v cetiri tanjira, u svakom $7$ patuljaka.

    Prika\v zi postupke i na\v cine koji su primenjivani u prethodnim primerima.

    Neka je \{a,b,c,d\} skup tanjira, skup \{1,2,3,4,5,6,7\}.

    Pravim \v semu.
\end{zad}

\begin{figure}[h]
    \center
    \Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
    \caption{Ovo je figura}
\end{figure}

Time dobijam proizvod skupa tanjira i skupa patuljaka i dobijam skup ure\dj enih parova.

Ako ih prikazem ovako:

\begin{figure}[H]
    \center
    \Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
    \caption{Ovo je figura}
\end{figure}

Dobijam $4+4+4+4+4+4+4 = 4 \cdot 7$

Vidim da su sabirci ``iste vrste; tj. brojevi skupova koji \v cine uniju (4+4+\ldots4). Sabirak 4 je mno\v zenik, a $7$ mno\v zilac nije broj skupa, nego broj ekvivalentnih skupova.

Ako ih prikazem ovako:

\begin{figure}[H]
    \center
    \Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
    \caption{Ovo je figura}
\end{figure}

Dobijam $7+7+7+7 = 7\cdot4$

Sada su sabirci ``iste vrste; tj. brojevi skupova koji \v cine uniju (7+7+\ldots+7). Sabirak $7$ je mno\v zenik, a $4$ je mno\v zilac i nije broj skupa, nego broj ekvivalentnih skupova.

Zato je proizvod skupova $\{a,b,c,d\}\times\{1,2,3,4,5,6,7\}$ zapisan kao mno\v zenje odgovaraju\' cih brojeva $B\{a,b,c,d\}\cdot\{1,2,3,4,5,6,7\}=4+4+4+4+4+4+4+4=28$.

Ili \v sto je isto,

\begin{center}
    $4\cdot7 = 4+4+4+4+4+4+4=28$
\end{center}

$4\cdot7 = 28$ izvr\v seni proizvod, izra\v cunati proizovd, kazuje da je broj $4$ pomno\v zen brojem 7, a \v cita se kratko : $7$ mno\v zen $4$.

Skup od $4$ elemenata (stupac iz \v seme sl.$127$ prikazana na sl.$128$) je mno\v zenik, a mno\v zilac $7$ nije broj skupa, nego broj ekvipotentnih skupova od 4 elementa(proizvod stubaca i redova).

{\color{red}{Prema tome, mno\v zenje dva broja svodi se na sabiranje jednakih sabiraka:}}

\begin{equation*} 4\cdot7=\underbrace{4+4+4+4+4+4+4}_{\textrm{7 sabiraka}},\quad 
7\cdot4= \underbrace{7+7+7+7}_{4 sabiraka}
\end{equation*}

Ovaj zadatak tu pru\v za priliku da shvati\v s (uo\v cis), da treba napustiti zapisivanja kao \v sto su:

\begin{center}
$7r\cdot4=28r$, ili $4\cdot7r=28r$ (r - ratluk)

$3m\cdot5=15m$, ili $5\cdot3m=15m$ (m - metar)
\end{center}

Jer znak ``='' se pi\v se samo izme\dj u dva imena, dva zapisivanja istog broja.

\begin{center}
$7r\cdot4 = 7r+7r+7r+7r=28r$

$4r\cdot7 = 4r+4r+4r+4r+4r+4r+4r = 28r$
\end{center}

U ovoj konkretnoj situaciji mno\v zenik $7$r i prozivod $28$r su istoimeni brojevi, a mno\v zilac je neimenovani broj (broj tanjira, tj. sabiraka). To je realna situacija iz teksta ovog zadatka.

U drugom slucaju mno\v zenik $4$r i proizvod $28$r su istoimeni brojevi, a mno\v zilac neimenovani broj $7$ (broj tanjira i sabiraka). Situacija nije realna jer nije bilo $7$ tanjira.

U slucaju

$3m\cdot5 = 3m+3m+3m+3m+3m$,

Na primer ``za svako od $5$ odela treba $3$m tkanine''

Ovo je realna situacija, i ovde su mno\v zenik $3$m i proizvod $15$m istoimeni brojevi, a mno\v zilac 5 neimenovani broj (broj odela, tj. sabiraka).

Dok u slu\v caju

$5m\cdot3=5m+5m+5m=15m$(za svako od $3$ odela treba $5$m, \v sto nije realna situacija).

Ovo je u nastavku preneto iz obi\v cnog \v zivota.

Pravilno je matemati\v ckim jezikom napisati:

Ukupan broj ratluka je: $7\cdot4=28$,

Isto tako, ne $7 ratluka \times 4 tanjira = 28 tanjira$

Ukupno tkanine u m : $3\cdot5=28$,

Isto tako, ne $3m\times4 odela = 35m tkanine$

U ovim zadacima koje postavlja \v zivot mno\v zenik i proizvod su istoimeni brojevi, a mno\v zilac se uvek smatra neimenovanim brojem. U teoriji sva tri broja su neimenovana. Zato treba napustiti termine(``pojmove'') mno\v zenik i mno\v zilac, jer je to u interesu pravilnog i uspe\v snog izra\v zavanja pojma proizvod.

\end{document}

[github-actions[bot]]

There was an error in submited code

note: Running TeX ... note: downloading SHA256SUM note: downloading multicol.sty error: 0122-0127.tex:37: LaTeX Error: Command \end{zad} invalid in math mode.

See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. Type H for immediate help error: halted on potentially-recoverable error as specified