917511
commented
1 year ago \documentclass{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[serbian]{babel} \usepackage[T1,T2A]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \usepackage{tikz} \usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\newtheorem{zad}{Zadatak}
\renewcommand{\figurename}{Slika} \newcommand{\Placeholder}[2][(10, 10)] { \begin{tikzpicture} \draw[help lines] (0, 0) grid #1; \pgfgetlastxy{\x}{\y} \node[rotate=-25, align=center] at (\x / 2, \y / 2) {{\Huge Placeholder} \ #2}; \end{tikzpicture} }
\begin{document} \LaTeX\ \begin{center} Zapisivanje brojeva ciframa \end{center} \begin{zad} Zna\v s da zapisuje\v s ciframa brojeve 0, 1, 2, 3, 4, \ldots, 99, 100 u dekadnom sistemu brojanja. Sada treba da te uvedem u zapisivanje brojeva na pozicioni na\v cin. Obrati pa\v znju da sam rekao da te uvedem, a ne da te nau\v cim. To je mogu\' ce samo putem uvo\dj enja raznih sistema brojanja.
Podseti se da postoji o\v stra razlika izme\dj u pojma broj i njegovog imena.
Broj je zajedni\v cka osobina ekvipotentnih (ravnomo\v cnih) skupova. Svaki broj ima svoje ime. Svaki broj je jedna osobina, jedna apstrakcija, jedan pojam. Zato treba razlikovati (taj) pojam i njegovo ime. Ime se u raznim jezicima izra\v zavanja raznim re\v cima, na primer pet (u na\v sem jeziku), пять (ruski), cinq (francuski), five (engleski). Zato se uvodi internacionalno (zajedni\v cko) ime broja - jedan znak, jedna cifra (odnosno, vi\v se cifara pore\dj anih na ta\v cno utvr\dj en na\v cin). Zna\v ci treba razlikovati, na primer:
broj (pojam) 5 i cifru 5.
Kao \v sto razlikuje\v s de\v caka Igora i njegovo ime Igor.
Broj 25 je zajedni\v cka osobina svih skupova ekvipotentnih (ravnomo\' cnih) standardnom skupu
\begin{equation*}
\{0, 1, 2, 3, \ldots, 24\} .
\end{equation*}
Ili \v sto je isto, ta\v cno odre\dj eni element skupa N, dakle pojam, a dvadeset pet, ili kra\v ce, 25 je ime tog pojma, broja.
Zato ,,obratimo pa\v znju na to da brojevi nisu re\v ci, nego ono \v sto te re\v ci ozna\v cavaju. Naime, kao \v sto re\v ,,jabuka'' nije sam plod, predmet (koji se jede), tako ni re\v c ,,sedam'' nije broj nego njegovo ime''.
\end{zad}
\begin{zad}
Zamisli sto jedanaest raznih predmeta koji \v cine jedan skup. Da bi predstavio elemente tog skupa, zanemari (apstrahuj) izgled i sve ostalo i svaki predmet i sve ostalo i svaki predmet (element) predstavi ta\v ckom.
\begin{figure}[h]
\center
\Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
\caption{Ovo je figura}
\end{figure}
Sada sastavi (grupi\v si) podskupove od po 10 predmeta (elemenata).
\begin{figure}[h]
\center
\Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
\caption{Ovo je figura}
\end{figure}
A sada grupi\v si (sastavi) podskupove od po 10 podskupova od po 10 predmeta (elemenata).
\begin{figure}[h]
\center
\Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza}
\caption{Ovo je figura}
\end{figure}
Da li mo\v ze\v s bli\v ze, tj. konkretnije objasniti kako su grupisani (sastavljeni) podskupovi od predmeta (elemenata) datog skupa
Izvr\v seno je brojanje ,,po deset'' tako \v sto je stavljeno deset predmeta u zami\v sljenu ,,plavu kesu'' koja je predstavljena dijagramom. Svaka ,,plava kesa'' predstavlja podskup od po 10 predmeta (elemenata). Formirano je 11 takvih podskupova (,,plavih kesa''), i jedan podskup ,,braon kesa'' koja ima 1 predmet (element).
Zatim je 10 podskupova (,,plavih kesa'') stavljeno u zami\v sljenu ,,ve\v cu crvenu kesu'' (koja je tako\dj e predstavljena Venovim dijagramom) i ostale su jedna ,,plava kesa'' od 10 elemenata i jedna ,,braon kesa'' od jednog elementa.
Tako je dobijena jedna jedinica (,,braon kesa''), jedna desetice (,,plava kesa'') koja predstavlja 10 puta vi\v se elemenata nego \v sto je u ,,braon kes'', i na kraju jedna stotina (,,crvena kesa'') koja je sastavljena od 10 prethodnih ,,plavih kesa'', tj. 10 puta po 10 predmeta, tj. 100 predmeta (elemenata). Zato ovaj broj mogu zapisati ovako: \begin{equation*}
10\cdot 10\cdot {\color{red} 1} + 10\cdot 1 + {\color{brown} 1}= {\color{red}1} 0 {\color{brown} 0} + 1 {\color{brown} 0} + {\color{brown} 1} = {\color{red} 1} 1 {\color{brown} 1} = 111
\end{equation*}
Zna\v ci, ako brojim tako \v sto deset predmeta koje brojim stavim u jednu ,,kesu'' (Venov dijagram), pa zatim takvih deset ,,ve\v cih kesa'' stavim u "jo\v s ve\v cu kesu" i tako dakle ne zavr\v sim s brojanjem.
Brojanjem po deset se zavr\v silo tako \v sto je ostao jedan element i on je stavljen u posebnu kesu.
Eto vidi\v s, za to brojanje se ka\v ze da je osnova brojanja deset, a sam na\v cin brojanja zove se dekadni ili deseti\v cni sistem brojanja.
Uo\v ci da je ovaj postupak brojanja i zapisivanja glomazan, tj. neprakti\v can, bez obzira \v sto je svaki element predstavljen ta\v ckom.
Zato se, verovatno, i ti pita\v s kao \v sto su se i na\v si preci pitali: kako je mogu\v ce sa malim i vrlo malim brojem cifara zapisati sve prirodne brojeve? Odgovor na ovo pitanje je slede\' ci:
Najve\' ci pronalazak, koji je omogu\' cio ne samo pisanje, imenovanje svakog prirodnog broja, nego i razvoj aritmetike jeste pozicioni na\v cin ("sistem") pisanja brojeva ili abak - kako se zvala sprava koja je u davnoj pro\v slosti predstavljala njegovu materijalizaciju.
Abak je niz, pravolinijski pore\dj anih, pregrada koji kazuje slede\' ci dogovor:
Svaki znak (ta\v cka, nekada stvarni predmet) u prvoj pregradi ozna\v cava jedan predmet.
Svaki znak (ta\v cka) druge pregrade ozna\v cava 10 puta vi\v se predmeta. Svaki znak tre\' ce pregrade ozna\v cava 10 puta vi\v se predmeta nego svaki znak (ta\v cka) druge pregrade. Svaki znak \v cetvrte pregrade ozna\v cava 10 puta vi\v se predmeta nego svaki znak tre\' ce pregrade. Svaki znak pete pregrade ozna\v cava 10 puta vi\v se predmeta nego svaki znak \v cetvrte pregrade i tako dalje. To je dekadni (deseti\v cni) sistem brojanja \v cija je osnova deset.
Brojanjem po 10 predmeta dobijeno je 11 podskupova i jedan podskup od jednog predmeta. Zatim je od 11 podskupova sastavljen novi podskup od 10 podskupova od po 10 predmeta i ostaje jedan podskup od 10 predmeta. Tako je dobijen 1 podskup od jednog predmeta (,,braon kesa''). Jedan podskup od deset predmeta (,,plava kesa'') i 1 podskup od sto predmeta (,,crvena kesa'').
Na osnovu dogovora podskup od jednog predmeta predstavljen je ta\v ckom u prvoj pregradi abaka, podskup od 10 predmeta predstavljen je ta\v ckom u drugoj pregradi abaka i podskup od 10 puta po 10 predmeta predstavljen je ta\v ckom u tre\' coj pregradi abaka.
Ta\v cka u prvoj pregradi predstavlja jedinicu prvog reda (1 ta\v cka, 1 predmet), ta\v cka u drugoj predstavlja jedinicu drugog red (1 ta\v cka 10 predmeta, tj. jednu deseticu). Ta\v cka u tre\' coj pregradi predstavlja jedinicu tre\' ceg reda (1 ta\v cka 100 predmeta, tj. jednu stotinu).
Ako u abaku umesto jedne ta\v cke upi\v se\v se cifru 1, umesto dve ta\v cke upi\v se\v s cifru 2, umesto 5 ta\v caka upi\v se\v s cifru 5, u odgovaraju\' cu pregradu ispod, a u svakoj praznoj pregradi cifru 0, dobi\' ces ,,savremeni abak''.
Tako je abakom zapisan slede\' ci broj:
\begin{equation*}
10\cdot 10 \cdot 1 + 10 \cdot 1 + 1 = 100 + 10 + 1 = 111
\end{equation*}
i time je zapisan broj elemenata datog skupa.
Ako izostavi\v s pregrade ,,savremenog abaka'', dobija\v s broj napisan na pozicioni na\v cin u dekadnom sistemu brojanja
\begin{equation*}
111_{10}.
\end{equation*}
Posmatraj abak i odgovori koliko predmeta ozna\v cava ta\v cka u dekadnom sistemu brojanja.
U prvoj pregradi jedna tazv cka ozna\v cava jedan predmet.
U drugoj pregradi jedna ta\v cka ozna\v cava deset puta vi\v se nego u prvoj pregradi, tj. 10 predmeta.
U tre\' coj pregradi jedna ta\v cka ozna\v cava deset puta vi\v se nego u drugoj pregradi, tj. $10\cdot 10 = 100$ predmeta.
A sada posmatraj ,,savremeni abak'' i odgovori koliko predmeta ozna\v cxava cifra 1 u dekadnom sistemu brojanja.
U prvoj pregradi cifra 1 ozna\v cava jedan predmet.
U drugoj pregradi cifra 1 ozna\v cava 10 predmeta, tj. jednu deseticu.
U tre\' coj pregradi cifra 1 oznazv cava 100 predmeta, tj. jednu stotinu.
Da li posle tvojih odgovora o ,,savremenom abaku'' mo\v ze\v s objasniti iskaz: Ako izostavi\v s pregrade dobija\v s $111_{10}$ napisan na pozicioni na\v cin u dekadnom sistemu brojanja?
Vidim da je istom cifrom 1 napisan broj i da cifra 1 prva zdesna (tj. iz prve pregrade abaka) ozna\v cava 10 predmeta, cifre 1 tre\' ca cifra zdesna (iz tre\' ce pregrade) ozna\v cava 100 predmeta.
Zaklju\v cujem da se cifra 1, u ovom broju, javlja na tri razli\v cita mesta. Njena brojevna vrednost iznosi jedan, ali njena mesna (poziciona) vrednost se menja. Njena vrednost na prvoj poziciji (prvom mestu) zdesna je 1 jedinica, na drugoj poziciji (na drugom mestu) je 1 desetica, tj $1\cdot 10 = 10$, a na tre\' cem mestu zdesna 1 stotina, tj $1\cdot 100 = 100$.
Zna\v ci da cifra 1 ima svoju brojevnu vrednost i pozicionu ili mesnu vrednost u zavisnosti od pozicije (mesta) u zapisu na pozicioni na\v cin.
Da li svaka cifra pored svoje brojevne vrednosti ima jo\v s i pozicionu ili mesnu vrednost u dekadnom sistemu brojanja?
Vidi\v s da ,,savremeni abak'' potvr\dj uje da cifra ima svoju brojevnu vrednost (koja je stalna, tj. nepromenljiva) i mesnu vrednost (koja je promenljiva i zavisi od pozicije, tj. mesta na kome se nalazi).
Ako izostavi\v s pregrade ,,savremenog abaka'', dobija\v s napisane brojeve na pozicioni na\v cin:
Indeks 10 ozna\v cava da je broj zapisan na pozicioni na\v cin u dekadnom sistemu brojanja.
Time su zapisane dekadne jedinice:
deset 10 (nula jedinica i 1 desetica)
sto 100 (nula jedinica, nula desetica i 1 stotina)
hiljadu 1000 (nula jedinica, nula desetica, nula stotina i 1 hiljada)
Prva pregrada ,,savremenog abaka'' zdesna oznav cava 2 jedinice, druga pregrada 2 desetice, tre\' ca pregrada ozna\v cava 2 stotine i \v cetvrta pregrada ozna\v cava 2 hiljade.
Time se potvr\dj uje da i cifra 2 ima svoju brojevnu vrednost (koja se ne menja) i mesnu vrednost zdesna ulevo 2 jedinice, 2 desetice, 2 stotine i 2 hiljade.
Kako je $2000 = 1000\cdot 2$, $200 = 100\cdot 2$ i $20 = 10\cdot 2$, to su 2000, 200, 20 - dvostruke dekadne jedinice.
Ako izostavimo pregrade ,,savremenog abaka'', dobija se broj zapisan na pozicioni na\v cin: \begin{equation*}
2222_{10}.
\end{equation*}
Koje cifre koristi\v s za pisanje brojeva u dekadnom sistemu?
To je skup cifara \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}, tj. 10 razli\v citih cifara, gde je 0 jedina nevrednosna cifra.
Svaki znak (ta\v cka) u prvoj pregradi zdesna ulevo ozna\v cava jedan predmet (to je 4 puta po jedna ta\v cka, tj. $1\cdot 4 = 4$). Zato u prvoj pregradi umesto 4 ta\v cke pi\v sem cifru 4.
Zatim u drugoj pregradi svaka ta\v cka ozna\v cava 10 predmeta (to je 4 puta po 10 ta\v caka, tj. $10\cdot 9 = 90$).
\end{zad}\end{document}
github-actions[bot]
Zadate stranice