0286-0290 - Githubissues

\documentclass{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[serbian]{babel} \usepackage{tikz} \usepackage{amsmath, amssymb, amsthm} \usepackage{xcolor} \usepackage{enumitem}

\newtheorem{zad}{Zadatak}

\renewcommand{\figurename}{Slika} \newcommand{\Placeholder}[2][(10, 10)] { \begin{tikzpicture} \draw[help lines] (0, 0) grid #1; \pgfgetlastxy{\x}{\y} \node[rotate=-25, align=center] at (\x / 2, \y / 2) {{\Huge Placeholder} \ #2}; \end{tikzpicture} }

%\begin{figure}[h] % \center % \Placeholder[(3, 3)]{Ovde stoji opis ovog crteza} % \caption{Ovo je figura} %\end{figure}

\begin{document}

\begin{zad} Za\v sto je $0 : a = 0$, kad je $a \neq 0$? \end{zad}

Zato \v sto je prema definiciji deljenja: \begin{equation} 0 : a = 0, \quad \textrm{jer je}\ 0 \cdot a = 0 \end{equation} \v sto potvr\dj uje i proizbod $0 \cdot a = \underbrace{0 + 0 + \cdots + 0}_{a\ \textrm{sabiraka}\ 0} = 0$.

Da li postoji koli\v cnik ma kog broja koji nije nula i nule?

Na primer: $9 : 0,\ 19 : 0,\ 23 : 0, \dots$

Koliko je na primer $9 : 0?$

Polazim od koli\v cnika koji postoje, na primer: $15 : 3 = n$, zna\v ci: na\' ci takav broj $n$ da je $15 = 3n,\ n = 5$.

Neka je $9 : 0 = n$, tada mora biti $0 \cdot n = 0$, a ne $9$.

Prema tome, ne postoji broj koji bi bio koli\v cnik deljenja $9 : 0$. Isto je : \begin{align} 19 : 0 = n, \quad 0 \cdot n = 0, \; \textrm{a ne}\ 19, \ 23 : 0 = n, \quad 0 \cdot n = 0, \; \textrm{a ne}\ 23. \end{align}

Ne postoji takav broj, zato \v sto je $0 \cdot x = 0$, bez obzira ma koji je broj $x\ (x \neq 0\ \textrm{ili}\ x = 0)$.

\begin{zad} Podseti se prve osobine mno\v zenja: $a \cdot b = b \cdot a$ (komutativnost mno\v zenja) \end{zad}

Na primer: \begin{enumerate}[label={\arabic*)}] \item $3 \cdot 4 = 4 \cdot 3, \quad 3 + 3 + 3 + 3 = 4 + 4 + 4$ \item $2 \cdot 3 = 3 \cdot 2, \quad 2 + 2 + 2 = 3 + 3$ \end{enumerate}

Detaljnije videti zadatak 311.

Time je pokazano da ova osobina mno\v zenja va\v zi za bilo koje brojeve ve\' ce od 1.

Obrati pa\v znju na mno\v zenje brojeva ako je jedan od \v cinilaca 1 ili 0.

Na primer: \begin{gather} 1 \cdot 3 = 1 + 1 + 1 = 3, \quad 1 \cdot 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 \ 1 \cdot a = \underbrace{1 + 1 + 1 + \cdots + 1}_{a\ \textrm{sabiraka}\ 1} = a \end{gather}

Zna\v ci: $1 \cdot a = a$.

Ako je \v cinilac nula, na primer: \begin{gather} 0 \cdot 3 = 0 + 0 + 0 = 0, \quad 0 \cdot 4 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \ 0 \cdot a = \underbrace{0 + 0 + 0 + \cdots + 0}_{a\ \textrm{sabiraka}\ 0} = 0 \end{gather}

Obrati pa\v znju:

Ako je 1 mno\v zilac: $3 \cdot 1, 4 \cdot 1, \dots, a \cdot 1$; u ovom slu\v caju proizvod se ne mo\v ze prikazati kao zbir jednakih sabiraka, jer, na primer proizvod $3 \cdot 1$ ne mo\v ze da se shvati kao ,,uzmianje broja 3 jedanput kao sabirak.'' Tu nema ponavljanja sabiraka 3, jer nema ponavljanja ako je broj sabiraka manji od 2.

U slu\v caju $3 \cdot 0, 4 \cdot 0, \dots, a \cdot 0;$ na primer $3 \cdot 0$, ,,uzeti broj 3 kao sabirak 0 puta'' ne zna\v ci ni\v sta.

Da bi ova osobina uvek va\v zila, tj. postala zakon usvaja se (defini\v se se) da je $a \cdot 1 = a$ (ma koji broj pomno\v zen brojem 1 ostaje neizmenjen).

Ma koji broj pomno\v zili nulom postaje nula: $a \cdot 0 = 0$. Zna\v ci va\v zi komutativnost. \begin{equation} 1 \cdot a = a \cdot 1 \quad \textrm{i} \quad 0 \cdot a = a \cdot 0 \end{equation}

Time osobina $a \cdot b = b \cdot a$ va\v zi uvek i zato se zove zakon komutacije.

\begin{enumerate}[label={\arabic*)}] \item Broj 1 kao \v cinilac ne menja drugi \v cinilac, tj. $1 \cdot a = a \cdot 1$.

Pokazati to pomo\' cu \v seme Dekartova proizvoda.

Neka je $J = \lbrace l \rbrace, A = \lbrace p, q, r \rbrace$

\begin{figure}[h]
    \center
    \Placeholder[(3, 3)]{Neki dekartov proizvod}
    \caption{Ovo je figura}
\end{figure}

Dekartova \v sema $I \times A$ pokazuje da 3 reda imaju po 1 element, tj. $n(I \times A) = n(I) \cdot n(A) = 1 \cdot 3 = 3$.

Dekartova \v sema $A \times I$ pokazuje da 1 red ima 3 elementa (parova), tj. $n(A \times I) = n(A) \cdot n(I) = 3 \cdot 1 = 3$.

Uop\v ste, $n(I) = 1$ i $n(A) = a$

\begin{align*}
    n(I \times A) = n(I) \cdot n(A) = 1 \cdot a = a \\
    n(A \times I) = n(A) \cdot n(I) = a \cdot 1 = a \\
\end{align*}

Prema tome: $1 \cdot a = a \cdot 1$.

\item Delilac 1 ne menja deljenik. Na primer: $83 : 1 = 83$, jer je $1 \cdot 83 = 83$ i $169 : 1 = 169$, jer je $1 \cdot 169 = 169$.

Uop\v ste je $a : 1 = a$, jer je $1 \cdot a = a$.

U slu\v caju kad je deljenik 1, na primer $1 : 3, 1 : 123, \dots$ koli\v cnik nije poznat broj (od dosad upoznatih brojeva).

Na ime $1 : 3 = n$, jer ne zna\v s koji je broj $n$ tako da je $3 \cdot n = 1$, isto je i sa $1 : 123 = n,\ 123 \cdot n = 1$.

Uop\v ste $1 : a$, kad $a \neq 0$ i $a \neq 1$ ne znamo koji je broj takav da je $3 \cdot n = 1$, $123 \cdot n = 1$, uop\v ste $a \cdot n = 1$.

Uo\v ci da ka\v zemo da ne znamo koji je broj $n$, a ne da ne postoji takav broj, jer bi to zna\v cilo da ne postoje drugi brojevi osim onih koje smo upoznali. To je bitan misaoni proces u tvom matemati\v ckom obrazovanju.

Na osnovu toga razume\v s da je $1 : 1 = 1$, jer je $1 : 1 = 1$.

\v Cesto dolazi do zabune kad se ka\v ze pove\' cati 1 put ili smanjiti 1 put dati broj.

Da bi se to moglo shvatiti, treba da shvati\v s da ako se broj $a$ pove\' cava
\begin{tabular}{rl}
    2 puta ovako & $a + a$ (seti se $a \cdot 2 = a + a$) \\
    3 puta ovako & $a + a + a$ ($a \cdot 3 = a + a + a$)
\end{tabular}

Onda pove\' cati $a$ 1 put zna\v ci ne menjati ga, tj. $a \cdot 1 = a$. Sli\v cno i pri smanjivanju $a$ 1 put zna\v ci ne menjati ga, tj. $a : 1 = a$.

\end{enumerate}

\begin{zad} Komutativnost mno\v zenja obrazlo\v zi rasu\dj ivanjem koje je vr\v seno u zadatku 311. Pri tome uzmi ve\' ce brojeve, na primer: $35 \cdot 28$. \end{zad}

\begin{align} 35 \cdot 28 &= \underbrace{35 + 35 + \cdots + 35}{28\ \textrm{sabiraka}\ 35} \ &= \underbrace{(28 + 7) + (28 + 7) + \cdots + (28 + 7)}{28\ \textrm{sabiraka}\ (28 + 7)} \ &= \underbrace{\left(28 + 28 + \cdots + 28\right)}{28\ \textrm{sabiraka}\ 28} + \underbrace{\left(7 + 7 + \cdots + 7\right)}{28\ \textrm{sabiraka}\ 7}\ &= \underbrace{\left(28 + 28 + \cdots + 28\right)}{28\ \textrm{sabiraka}\ 28} + \underbrace{\underbrace{\left(7 + 7 + 7 + 7\right)}{4\ \textrm{sabirka}\ 7} + \cdots + \underbrace{\left(7 + 7 + 7 + 7\right)}{4\ \textrm{sabirka}\ 7}}{7\ \textrm{sabiraka}\ 28}\ &= \underbrace{\left(28 + 28 + \cdots + 28\right)}{28\ \textrm{sabiraka}\ 28} + \underbrace{\left(28 + 28 + \cdots + 28\right)}{7\ \textrm{sabiraka}\ 28}\ &= \underbrace{\left(28 + 28 + \cdots + 28\right)}_{35\ \textrm{sabiraka}\ 28}\ &= 28 \cdot 35 \end{align}

Time je pokazano da je: $35 \cdot 28 = 28 \cdot 35$.

Na taj na\v cin mo\v ze\v s pokazati za ma koje brojeve, dakle \begin{equation} a \cdot b = b \cdot a \end{equation}

Op\v sti postupak je ve\' c pokazan: da je $A \times B \neq B \times A$, ali da je $n(A \times B) = n(B \times A)$, tj. $a \cdot b = b \cdot a$, gde je $n(A) = a$ i $n(B) = b$ (482, 483 i 499 zadatak).

Koristi komutativnost mno\v zenja u svakoj prilici. Na primer: $2008 \cdot 525 = 525 \cdot 2008 = 5235 \cdot (2000 + 8) = 525 \cdot 2000 + 525 \cdot 8 = 1050000 + 4200 = 1054200.$

Obrati pa\v znju da deljenje nije komutativno, jer je o\v cigledno da $135 : 9$ nije isto \v sto i $9 : 135$, tj. $135 : 9 \neq 9 : 135$.

\begin{zad} \end{zad}

\begin{enumerate}[label={\arabic*)}] \item Izra\v cunati proizvod vi\v se \v cinilaca, na primer: $7 \cdot 2 \cdot 5$. \end{enumerate}

$7 \cdot 2 \cdot 5$ zna\v ci da proizvod brojeva $7$ i $2$ treba pomno\v ziti brojem $5$, tj. $7 \cdot 2 \cdot 5 = (7 \cdot 2) \cdot 5$.

Napi\v si proizvod $(7 \cdot 2) \cdot 5$ u obliku sabiranja jednakih sabiraka:

\begin{align} (7 \cdot 2) \cdot 5 &= 7 \cdot 2 + 7 \cdot 2 + 7 \cdot 2 + 7 \cdot 2 + 7 \cdot 2 \ &= \underbrace{(7 + 7)}{2\ \textrm{sabirka}\ 7} + \underset{\dots}{(7 + 7) + (7 + 7) + (7 + 7)} + \underbrace{(7 + 7)}{2\ \textrm{sabirka}\ 7}\ &= \underbrace{7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7}_{10\ \textrm{sabiraka}\ 7} \ &= 7 \cdot 10 \ &= 7 \cdot (2 \cdot 5), \quad \textrm{gde je}\ 10 = 2 \cdot 5 \end{align}

Dakle, $(7 \cdot 2) \dots 5 = 7 \cdot (2 \cdot 5)$.

\begin{enumerate}[label={\arabic*)}, start=2] \item Izra\v cunaj $2 \cdot 7 \cdot 5$. Primeni prethodni postupak $2 \cdot 7 \cdot 5 = (2 \cdot 7) \cdot 5$. \end{enumerate}

\begin{align} (2 \cdot 7) \cdot 5 &= 2 \cdot 7 + 2 \cdot 7 + 2 \cdot 7 + 2 \cdot 7 + 2 \cdot 7 \ \underbrace{\underbrace{(2 + 2 + \cdots + 2)}{7\ \textrm{sabiraka}\ 2} + \underbrace{(2 + 2 + \cdots + 2)}{7\ \textrm{sabiraka}\ 2} + \cdots + \underbrace{(2 + 2 + \cdots + 2)}{7\ \textrm{sabiraka}\ 2}}{5 puta po (2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2)} \end{align} tj. 5 puta 7 sabiraka 2 = $(7 \cdot 5)$ sabiraka $2 = 2 \cdot (7 \cdot 5)$.

Dakle, $(2 \cdot 7) \cdot 5 = 2 \cdot (7 \cdot 5)$.

Pokazano je da \begin{align} 7 \cdot 2 \cdot 5 = (7 \cdot 2) \cdot 5 = 7 \cdot (2 \cdot 5), \ 2 \cdot 7 \cdot 5 = (2 \cdot 7) \cdot 5 = 2 \cdot (7 \cdot 5). \end{align}

Ova osobina zove se asocijativno mno\v zenje i izra\v zava se u op\v stem obliku \begin{equation} a \cdot b \cdot c = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c). \end{equation}

Ova jednakost sre pi\v se sleva na desno, a treba je \v citati i zdesna na levo \begin{equation} a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot b \cdot c. \end{equation}

\begin{zad} Pokazano je da je mno\v zenje komutativno kad su dva \v cinioca (zad. 503). A kad ih je vi\v se? Obrazlo\v zi da li je $15 \cdot 8 \cdot 3 = 15 \cdot 3 \cdot 8$. \end{zad}

Kako je $15 \cdot 8 \cdot 3 = 120 \cdot 3 = 360$ i $15 \cdot 3 \cdot 8 = 45 \cdot 8 = 360$ pa je $15 \cdot 8 \cdot 3 = 15 \cdot 3 \cdot 8$.

To je izra\v cunato, ali nije obrazlo\v zeno. Poka\v zi da je $15 \cdot 8 \cdot 3 = 15 \cdot 3 \cdot 8$ ne izra\v cunavaju\' ci proizvod, nego primeni prethodne osobine.

\begin{align} 15 \cdot 8 \cdot 3 &= 15 \cdot (8 \cdot 3) \quad \textrm{[asocijativnost -- \v citanje sleva]} \ &= 15 \cdot (3 \cdot 8) \quad \textrm{[komutativnost]} \ &= (15 \cdot 3) \cdot 8 \quad \textrm{[asocijativnost -- \v citanje zdesna]} \ &= 15 \cdot 3 \cdot 8 \end{align}

Dakle $15 \cdot 8 \cdot 3 = 15 \cdot 3 \cdot 8$

Pokazano je da su \v cinioci $8$ i $3$ me\dj usobno zamenili mesta (komutativnost). Poka\v zi da se na isti na\v cin mogu zameniti $15$ i $3$.

Polazim od $15 \cdot 3 \cdot 8 = (15 \cdot 3) \cdot 8 = (3 \cdot 15) \cdot 8 = 3 \cdot 15 \cdot 8.$

\v Sto je trebalo pokazati, $15 \cdot 8 \cdot 3 = 14 \cdot 3 \cdot 8 = 3 \cdot 15 \cdot 8$.

Dalje: \begin{align} 3 \cdot 15 \cdot 8 &= 3 \cdot (15 \cdot 8) \quad \textrm{[asocijativnost -- \v citanje sleva]} \ &= 3 \cdot (8 \cdot 15) \quad \textrm{[komutativnost]} \ &= (3 \cdot 8) \cdot 15 \quad \textrm{[asocijativnost -- \v citanje zdesna]} \ &= 3 \cdot 8 \cdot 15 \end{align}

Prema toma: $15 \cdot 8 \cdot 3 = 15 \cdot 3 \cdot 8 = 3 \cdot 15 \cdot 8 = 8 \cdot 3 \cdot 15 = 8 \cdot 15 \cdot 3$.

Ve\v zbaj na vi\v se primera i zapi\v si ???: \begin{equation} a \cdot b \cdot c = b \cdot a \cdot c = b \cdot c \cdot a = c \cdot b \cdot a = c \cdot a \cdot b = a \cdot c \cdot b \end{equation}

Time se odgovara i na postavljeni problem. Na koliko se na\v cina mo\v ze napisati proizvod od tri \v cinioca?

\end{document}

dimchee / ZDSSMO

0286-0290 #54

There was an error in submited code