Proposed problem for FDM

[dudung]

Propose a problem for FDM here.

• Put your NIM.
• Describe the system in a paragraph.
• Write the differential equation.
• Explain whether it will use BVP or IVP.
• List at least an internet link as reference.

[MalikAnshari-048]

• 10220048
• Salah satu model yang sering digunakan adalah model Friedmann-Robertson-Walker (FRW). Dalam model ini, bentuk ruangwaktu didefinisikan dengan metrik Robertson-Walker sehingga diperoleh dinamika ruangwaktu dalam bentuk sepasang persamaan Friedmann. Dalam analisis energi, seringkali energi gelap---energi yang tidak berupa materi ataupun radiasi---dipandang sebagai medan skalar dengan potensial berubah perlahan terhadap medan (disebut model quintessence). Kali ini, akan ditinjau dinamika energi kinetik $\dot{\phi}^2$ dan potensial $V(\phi)$ medan skalar.
• Misal didefinisikan parameter energi kinetik $x_\phi$ dan potensial $x_V$ medan skalar. Dinamika kedua energi ini dalam ruangwaktu datar 4-dimensi adalah

$$ \frac{\text{d}x\phi}{\text{d}N} = -3x\phi + \lambda\sqrt{\frac{3}{2}}xV^2 + \frac{3}{2}x\phi \left(2x\phi^2 + \gamma\left(1 - x\phi^2 - x_V^2\right)\right) $$

$$ \frac{\text{d}xV}{\text{d}N} = -\lambda\sqrt{\frac{3}{2}}x\phi x_V + \frac{3}{2}xV\left(2x\phi^2 + \gamma\left(1 - x_\phi^2 - x_V^2\right)\right) $$

• Dalam persoalan ini, hanya sepasang nilai $x_\phi$ dan $x_V$ yang dapat didefinisikan. Oleh karena itu, persoalan ini lebih efektif dipandang sebagai IVP.
• Referensi: https://doi.org/10.1103/PhysRevD.57.4686

[Sarahaul]

• 10220080
• Persamaan sistem osilasi pada pegas teredam : Sistem gerak ini merupakan suatu sistem mekanik yang melibatkan pegas dan massa yang bergerak secara periodik tergantung dari beberapa parameter yang memengaruhinya, dalam hal ini parameter yang memengaruhinya merupakan konstanta peredaman, konstanta pegas, dan gaya yang diberikan pada pegas tersebut. Parameter fisis tersebut akan menghasilkan suatu pergeseran posisi serta turunannya secara spesifik bergantung pada kasus yang diberikan. Persamaan yang digunakan dalam pegas dapat didekati dan diselesaikan dengan menggunakan FDM.

• $$ F= F{pegas}+ F{redaman} $$

$$ my''=-ky-cy' $$

$$ my''+ky+cy'=0 $$

$$ y" + \frac{c}{m} y' + \frac{k}{m} y = 0 $$

• Sistem ini menggunakan syarat awal (IVP) karena membutuhkan nilai c (konstanta peredaman) dan k (konstanta pegas) untuk menentukan persamaan geraknya
• https://journal.unhas.ac.id/index.php/jmsk/article/download/9574/pdf/29436

[tsaniyahhz]

• 10220076
• ALIRAN DEBRIS merupakan aliran air sungai dengan sedimen berkonsentrasi tinggi pada kemiringan yang sangat curam. Aliran debris dipengaruhi oleh gaya gravitasi dan akan mempunyai mobilitas besar seiring dengan membesarnya pori-pori sedimen yang dipenuhi oleh air.
• Aplikasi secara fisikanya meliputi pendiskritan terhadap persamaan kekekalan massa dan kekekalan momentum
  1. Persamaan kekekalan massa:

$$ \frac{\partial h}{\partial x} + \frac{\partial M}{\partial x} + \frac{\partial N}{\partial y} = 0 $$

Persamaan tersebut akan didiskritkan menggunakan metode beda hingga dengan mengevaluasi pada ruang (i,j) dan pada waktu ke-n

2. Persamaan kekekalan momentum (pergerakan aliran arah sumbu x)

$$ \frac{\partial M}{\partial t} + \frac{\partial (uM)}{\partial x} + \frac{\partial vM}{\partial y} = -gh \frac{\partial H}{\partial x} - \frac{\tau _{bx}}{\rho} $$

Untuk pendiskritan persamaan tersebut, dibutuhkan kondisi awal M sehingga digunakan IVP

3. Persamaan kekekalan momentum (pergerakan aliran arah sumbu y)

$$ \frac{\partial N}{\partial t} + \frac{\partial (uN)}{\partial x} + \frac{\partial vN}{\partial y} = -gh \frac{\partial H}{\partial y} - \frac{\tau _{by}}{\rho} $$

Untuk pendiskritan persamaan tersebut, dibutuhkan kondisi awal N sehingga digunakan IVP

• Referensi: https://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/prisma/article/download/20395/9687/

[MaynardoPS]

• 10220063
• Pada komputer kuantum berbasis atom netral, terdapat suatu tantangan yang dihadapi, yaitu untuk membentuk susunan atom-atom dengan efektif dan efisien. Salah satu faktor yang dapat ditekankan adalah metode untuk memindahkan atomnya. Oleh karena itu, menurut Hwang (2023), salah satu cara yang efektif adalah dengan melempar atom tersebut dengan menggunakan optical tweezer yang potensialnya diaproksimasi menjadi $$U(\xi)=\frac{U_0}{d^2}(\xi-d)(\xi+d),$$ dengan $\xi$ adalah posisi partikel relatif terhadap jebakan potensial, serta $U_0$ dan $d$ berturut-turut adalah kedalaman dan lebar dari jebakan potensial. Selanjutnya untuk mencegah fluktuasi temperatur atom di dalam optical tweezer, didapatkan bahwa nilai percepatan optical tweezer sebagai $\ddot{x}=at-b$ untuk region pelemparan, $\ddot{x}=0$ untuk region terbang bebas, dan $\ddot{x}=-at+b$ untuk region penangkapan, dengan a dan b adalah konstanta.
• Persamaan diferensial yang mengatur gerakan atom di dalam optical tweezer diberikan oleh $$\ddot{\xi}+\omega^2\xi=-\ddot{x},$$ dengan $\omega$ adalah frekuensi dari optical trap. Akan ditinjau dinamika dari atom ini untuk setiap waktunya.
• Pada kasus ini, akan digunakan syarat awal dan syarat batas secara bersama-sama. Syarat awal yang digunakan adalah optical tweezer mula mula diam dan berada di titik asal $x=\dot{x}=0$ dan atom mula-mula memiliki simpangan dan kecepatan awal tertentu $\xi=\xi_0$ dan $\dot{\xi}=\dot{\xi_0}$. Sedangkan syarat batasnya adalah optical tweezer sampai di tujuan tertentu $x(t_{end})=L$.
• Referensi yang saya gunakan adalah: Hansub Hwang, Andrew Byun, Juyoung Park, Sylvain de Léséleuc, and Jaewook Ahn, "Optical tweezers throw and catch single atoms," Optica 10, 401-406 (2023). https://doi.org/10.1364/OPTICA.480535

[ArkanantaR]

Arkananta Rasendriya (10220014)

I propose Kronig-Penney model as a system that can be modelled using FDM (Finite Different System). Kronig-Penney model is a model that usually used in solid state physics which is highlighting the periodicity of atomic pattern in a crystal. Kronig-Penney model is powerful to obtaining many solid state properties, such as energy gap, density of states, etc.

Consider a system of crystal has a potential profile like this

Since the electron in a crystal fulfils the quantum mechanic properties, Schrodinger equation must be used. Consider an electron with mass $m$ and energy $E$ moves in a crystal with a potential profile like above.

Schrodinger equation for the region $0 < x < a$ gives

$$ \frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} + \frac{2m}{\hbar^{2}} E\psi = 0 $$

Then, Schrodinger equation for the region $a < x < b$ gives

$$ \frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} + \frac{2m}{\hbar^{2}} (E-V_{0})\psi = 0 $$

Next, in the sake of simplicity, we can define

$$ \alpha^{2} = \frac{2mE}{\hbar^{2}} $$

$$ \beta^{2} = \frac{2m(E-V_{0})}{\hbar^{2}} $$

and the Schrodinger equations can be converted to

$$ \frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} +\alpha^{2}\psi = 0 $$

$$ \frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} +\beta^{2}\psi = 0 $$

To solve and interpret the solution of both Schrodinger equations, we can take any "value" of wavefunction at the boundar(ies), such as $x=a$ or $x=b$. Thus, the problem used for this system is Boundary Value Problem.

Reference: https://www.physicsglobe.com/2020/12/the-kronig-penney-model-engineering.html Omar, M. A. (1975), Elementary Solid State Physics: Principle and Application, Addison-Wesley: Massachusets.

[kaniedo25]

• 10219009
• Suatu medan elektromagnetik yang memiliki kasus tidak ada muatan listrik bebas ($\rho$ = 0) yang melewati medium yang linear, homogen, dan isotropik (Hubungan konstitutif). Medan elektromagnetik yang melewati medium ini dapat dikatakan sebagai gelombang elektromagnetik. Diketahui juga medium yang dilewati merupakan medium dielektrik ($\sigma$ = 0)
• Persamaan gelombang EM yang melewati medium dielektrik:

$$ \nabla^2 \xi = \mu \epsilon \frac{\partial^2 \xi }{\partial t^2} $$

• Persamaan gelombang EM harus bersifat kontinu di antarmuka mediumnya. Oleh karena itu, persamaan ini menggunakan tipe BVP (Boundary Variable Problem).
• Referensi : Lifante, Gines. 2003. Integrated Photonics: Fundamentals. British : Wiley

[yuliajanah]

• 10219075

• Dam break is the result of an instantaneous, uncontrollable releasing of a large reservoir which can be considered as a semi-infinite volume of water in a short time. As a kind of complex rapidly varying unsteady flows, it can lead to numerous casualties and damages. It can also generate intense flooding wave, leading to rapid geomorphic change, erosion and sediment transport. In this process the maximum flow depths, wave propagation velocity and the flow regime highly depend on the irregular topography of the downstream channel. In practice, such an irregular topography is caused by debris in river bed such as buildings and bridges in urban areas which act as an obstacle to the flow. They may increase the water depth and change the flow pattern. The spatial and temporal variations of the water depth and velocity during a dam break event are important parameters in preparation of emergency action plans. Predicting the evolution of free surface, water depths and wave arrival times of a dam break is of a great importance to reduce loss of life and flood damages. So, in recent years great efforts are concentrated on the development of numerical methods for the simulation of this problem. Immediately after the dam break complicated mixing process occurs where, the reservoir water and ambient water interface capturing is very cumbersome.

• This problem using Navier-Stokes equation as the momentum equation

$$ \frac{Du}{Dt} = -\frac{1}{\rho} \nabla P + \frac{\mu}{\rho} \nabla^2 \vec{u} + \vec{g} $$

• Use BVP : In this research, the dynamic boundary condition is used. The dynamic boundary particles satisfy the same equations as fluid particles. However, they don’t move due to the forces applied to them. When the distance between the fluid particle and boundary particles becomes less than 2h, the density of affected particles increases. This in turn results in an increase in pressure. Due to the existence of the pressure term in the momentum equation, a repulsive force is exerted on the fluid particles.

• https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0029801820306272?via%3Dihub

[BernardSujono]

• 10220011
• Salah satu model yang sering digunakan pada model FDM (Finite Different Model) adalah model logistik penduduk. Model logistik adalah model yang menggambarkan tentang pertumbuhan populasi. Pertumbuhan populasi penduduk menggunakan persamaan logistik tidak dipengaruhi dengan adanya distribusi usia. Misalkan 𝑃(𝑡) adalah jumlah penduduk di suatu kota saat 𝑡. Selanjutnya perubahan jumlah penduduk sebanding dengan selisih kelahiran dan kematian. Faktor abiotik dan kepadatan independent tidak memengaruhi laju kelahiran dan kematian. Misalnya 𝛽 laju kelahiran, dan 𝛿 laju kematian, maka selama selang waktu Δ𝑡 terdapat kelahiran sejumlah 𝛽∆𝑡𝑃(𝑡) dan kematian 𝛿∆𝑡𝑃(𝑡) maka
• Berikut adalah persamaannya, $$\frac{dP}{dt} = m ( 1 - \frac{P}{K}) P$$
• Pada kasus ini, menggunakan IVP karena pada kondisi awal 𝑡 = 0 dan 𝑃(0) = 𝑃0 untuk menentukan laju kelahiran dan laju kematian.
• https://jurnal.untan.ac.id/index.php/jbmstr/article/download/52200/75676592011

[gitaameliiaa]

• NIM: 10220018
• Deskripsi sistem: Sistem yang akan dimodelkan dengan menggunakan persamaan differensial berkaitan dengan hukum pendinginan newton. Sebuah kue yang dipanggang dengan menggunakan microwave memiliki suhu awal $350^0$ F. Suhu ruangan adalah $67^0$ F. Temperatur kue tersebut akan menurun seiring berjalannya waktu, ingin diketahui perubahan temperatur tersebut.
• Persamaan differensial yang digunakan adalah sebagai berikut.

$$\frac{dT}{dt} = -k(T_0-T_R)$$

Keterangan: T adalah temperatur t adalah waktu k adalah konstanta pendinginan $T_0$ adalah temperatur awal sistem $T_R$ adalah temperatur ruangan

• Akan menggunakan IVP atau permasalahan syarat awal karena memerlukan temperatur awal sistem dan temperatur ruangan
• Link referensi: https://www.researchgate.net/publication/366385998_Aplikasi_Persamaan_Diferensial_Orde_Pertama_Model_Pendinginan_dan_Model_Pencampuran_dalam_Tangki

[ElizabethMichele]

10220004

Aliran Fluida Inkompressibel 2D dengan menggunakan FDM

1. Deskripsi Sistem: Dalam situasi aliran fluida inkompressibel 2D, fluida bergerak dalam bidang datar tanpa perubahan densitas. Aliran semacam ini sering ditemukan dalam aplikasi teknik, seperti aliran di sekitar benda padat (misalnya sayap pesawat) atau aliran di dalam saluran.

2. Persamaan Diferensial: Untuk aliran inkompressibel 2D, persamaan Navier-Stokes diberikan oleh:

$$ [ \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + \nu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) ] $$

$$ [ \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} + \nu \left( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} \right) ] $$

Dengan syarat keberlanjutan

$$( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0 )$$

Keterangan ( u ): Komponen kecepatan fluida dalam arah x. ( v ): Komponen kecepatan fluida dalam arah y. ( t ): Waktu. ( x, y ): Koordinat spasial. ( p ): Tekanan fluida. (\rho): Densitas fluida, dianggap konstan untuk aliran inkompressibel. ( \nu): Viskositas kinematik fluida, yang merupakan rasio viskositas dinamik terhadap densitas fluida.

Persamaan Navier-Stokes untuk aliran inkompressibel 2D menggabungkan momentum linear dalam arah x dan y, serta prinsip keberlanjutan. Persamaan momentum menggambarkan keseimbangan antara percepatan fluida, konveksi, gradien tekanan, dan viskositas, sementara syarat keberlanjutan memastikan bahwa aliran bersifat inkompressibel.

3. Penerapan FDM: Menggunakan FDM, kita mendiskritisasi domain ruang menjadi jaringan 2D dengan interval ( \Delta x ) dan ( \Delta y ). Interval waktu ( \Delta t ) juga didefinisikan. Dengan menggunakan skema selisih hingga pusat untuk turunan spasial dan skema selisih hingga maju untuk turunan waktu, kita dapat mendekati solusi pada setiap titik jaringan untuk setiap langkah waktu.

4. Jenis Persoalan: Dengan kondisi awal dan kondisi batas yang diberikan, seperti kecepatan dan tekanan pada batas domain, masalah ini menjadi masalah nilai awal dan batas (IVP dan BVP).

5. Referensi: https://www.researchgate.net/publication/329388603_2-D_Fluid_Surface_Flow_Modeling_using_Finite-Difference_Method

[purwariadi]

10219109 Metode Ground Penetrating Radar adalah salah satu metode geofisika yang sering digunakan untuk menganalisis struktur bawah permukaan tanah, dimana alat ini menggunakan persamaan gelombang elektromagnetik yaitu persamaan maxwell, persamaan maxwell sendiri terdiri dari empat persamaan diferensial, empat persamaan differensial ini menyatakan hubungan antara medan listrik dan medan magnet, juga menyatakan arah perambatan pada gelombang elektromagnet, berikut persamaannya

• Hukum gauss

$$ \nabla \bullet E = \frac {\rho} {\epsilon} $$

• Hukum gauss untuk magnetik

$$ \nabla \bullet B = 0 $$

• Hukum induksi faraday

$$ \nabla \times E = -\frac {\partial B} {\partial t} $$

• Hukum ampere

$$ \nabla \times B = \mu \sigma E + \epsilon \mu \frac {\partial E} {\partial t} $$

pada kasus ini menggunakan BVP

referensi https://www.academia.edu/download/68491876/BSDG_20Vol11_20No1.pdf

[Voxxis11]

10220035 Terdapat suatu silinder kemudian kita akan menentukan laju aliran kalor (konduksi) antara dua titik ketika silinder tersebut digunakan. Persamaan konduksinya adalah sebagai berikut.

$$ \frac{dQ}{dT} = \lambda A \frac{dx}{dT} $$

Pada kasus ini kita punya syarat awal yaitu $Q(0)=0$. artinya pada saat awal peninjauan (t=0) aliran kalor (Q) adalah nol atau tidak ada aliran panas yang terjadi antara dua titik di dalam silinder yang dipanaskan. oleh karena itu, kita akan memperlakukan permasalahan ini sebagai permasalahan syarat awal (IVP)

Referensi : https://byjus.com/heat-conduction-formula/

​

[fatihahjazaaufa]

• 10220013 Transfer kalor melalui medium plat dengan ukuran tertentu

Terdapat plat dengan ukuran 10x10 cm dengan temperatur 100°C pada y=10 cm dan 0°C pada batas lainnya. Dilakukan dengan menyelesaikan persamaan Laplace secara analitik menggunakan separasi variabel. Selanjutnya digunakan FDM untuk memperoleh hasil numerik.

Persamaan diferensial:

$$ \frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0 $$

$$ \frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\frac{u{i+1,j}-2u{i,j}+u_{i-1,j}}{\Delta x^2} $$

$$ \frac{\partial^2u}{\partial y^2}=\frac{u{i+1,j}-2u{i,j}+u_{i-1,j}}{\Delta y^2} $$

Permasalahan ini merupakan BVP (boundary value problem) dan IVP (initial value problem) karena luasan dari plat (area perpindahan kalor) harus dibatasi (didefinsikan secara jelas) serta nilai temperatur awal harus diketahui.

Referensi: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/2017/1/012009

[DedeAditiaaa]

• 10220007
• Metode Magnetotelurik adalah salah satu metode geofisika yang dapat digunakan untuk menganilisis struktur bawah permukaan bumi. Metode magnetotelurik sendiri menggunakan 4 persamaan maxwell. Salah satu persamaan yang digunakan adalah

$$ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $$

• Dengan mengasumsikan bumi merupakan medium yang homogen isotropis maka berlaku

$$ B = \mu H $$

• Dengan mensubstitusikan persamaan 2 ke persamaan 1 maka persamaan tersebut dapat ditulis

$$ \nabla \times \mathbf{E} = -\mu \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $$

• Persamaan maxwell dapat termasuk kedalam permasalahan BVP. contohnya yaitu jika mempertimbangkan kotak berbentuk kubus yang membatasi ruang hampa vakum di dalamnya.
• Referensi : https://doi.org/10.1103/PhysRevB.13.1777

[clarissastvn]

10220042

Persebaran panas pada luas daerah tertentu dapat dideskripsikan dengan persamaan panas yang merupakan salah satu persamaan differensial parsial. Salah satu metode untuk menyelesaikan persamaan differensial parsial yaitu skema Foward-Time Centered-Space (FTCS). Metode FTCS merupakan jenis pendekatan persamaan differensial menggunakan FDM. Titik dasar untuk pendekatan beda hingga dari persamaan diferensial parsial adalah titik ke (𝑖, 𝑛) pada kisi. Turunan parsial pertama terhadap waktu didekati dengan aproksimasi forward-time orde pertama dan turunan parsial kedua terhadap ruang didekati dengan aproksimasi centered-space orde kedua. Berikut adalah contoh persamaan FTCS untuk ruang dan dimensi tertentu.

$$ \frac{u_i^{n+1} - ui^n}{\Delta t} = -c \frac{u{i+1}^n - u{i-1}^n}{2\Delta x} + D \frac{u{i+1}^n - 2ui^n + u{i-1}^n}{\Delta x^2} $$

Sistem pesebaran panas ini menggunakan BVP dan IVP karena pada persamaan panas dalam satu dimensi ruang dan waktu perlu syarat batas Dirichlet dan nilai awal yang ditentukan sesuai dengan ruang dan waktu yang akan ditinjau.

Referensi: Hoffman, J. and Frankel, S. (2001). Numerical Methods for Engineers and Scientists, Second Edition,. Taylor & Francis.

[yusuff10]

10220021 - Ahmad Yusuf Firdaus

Persamaan Kalor Satu Dimensi Permasalahan yang akan dianalisis pada kali ini adalah distribusi atau perpindahan kalor yang terjadi pada suatu bidang pengantar. Perpindahan panas menjelaskan peristiwa perpindahan energi yang terjadi karena adanya perbedaan suhu di antara benda atau material. . Gambar 1. Aliran panas dalam suatu ruang

Pada kasus tersebut jika terjadi peningkatan suhu pada segmen penampang batang dari 𝑥 ke 𝑥 + ∆𝑥 sebesar satu derajat maka energi panas yang diperlukan adalah sebagai berikut. $𝐸= ρ × c × A × ∆𝑥. $ Dengan ρ adalah massa jenis benda, c adalah banyak energi panas yang dibutuhkan, A adalah luas penampang, dan ∆𝑥 adalah jarak perpindahan. Sedangkan jika suhunya yang akan ditingkatkan dari nol ke 𝑢(𝑥,𝑡) maka energi panas yang diperlukan adalah sebagai berikut. $𝐸= ρ × c × A × ∆𝑥 × 𝑢(𝑥,𝑡)$ Maka Total energi yang dibutuhkan adalah $|fluks=𝐸(𝑡) = ∫ ρ × c × A × 𝑢(𝑧,𝑡) 𝑑𝑧, 𝑡 > 0$ sehingga dapat diperoleh laju perubahan panas sebagai berikut. $\frac{𝜕𝐸}{𝜕𝑡} = ∫ ρ × c × A × \frac{𝜕𝑢(𝑧,𝑡)}{𝜕𝑡} 𝑑𝑧$ Misalkan 𝜑(𝑥,𝑡) merupakan suatu fungsi fluks panas yang menyatakan jumlah energi panas per satuan luas yang mengalir melewati penampang batang di ruang 𝑥 saat waktu 𝑡 menuju kearah sumbu 𝑥, Maka diperoleh $𝐸𝑓𝑙𝑢𝑘𝑠 = 𝐴𝜑(𝑥,𝑡) − 𝐴𝜑(𝑥 + ∆𝑥,𝑡)$ dengan $𝜑(𝑥,𝑡) = −𝐾\frac{𝜕𝑢(𝑥,𝑡)}{𝜕𝑡}$ sehingga dapat diperoleh persamaan akhir sebagai berikut. $\frac{𝜕𝑢((𝑥,𝑡)}{𝜕𝑡} = 𝐾 \frac{𝜕^2u(𝑥,𝑡)}{𝜕𝑥^2}$

Persamaan Ini adalah permasalahan nilai batas (BVP) karena kondisi batas ditentukan pada kedua ujung batang.

Referensi : Sanusi, W., Side, S., Pratama, M., & Fitriyani, F. (2022). Penyelesaian Persamaan Panas Dimensi Satu dengan Metode Beda Hingga Skema Eksplisit. Journal of Mathematics, Computations, and Statistics, 5(2), 91-97.

[winieamellia]

10220055 Sistem peluruhan radioaktif merupakan suatu proses dimana inti atom yang tidak stabil menjalani perubahan menjadi inti yang lebih stabil dengan melepaskan energi dalam bentuk radiasi. Biasanya, peluruhan ini terjadi dari atom dengan energi ikat yang tidak terlalu kuat meluruh menjadi atom yang memiliki energi ikat yang lebih kuat. Dalam kehidupan sehari-hari, ada banyak sekali aplikasi dari proses peluruhan radioaktif. Contohnya pada bidang radioterapi, proses peluruhan radioaktif dapat dimanfaatkan untuk mematikan sel-sel kanker yang mungkin ada di dalam tubuh manusia. Contoh lainnya adalah, peluruhan radioaktif dapat dimanfaatkan untuk mengecek kobocoran pipa dan tangki penyimpanan minyak. Persamaan untuk peluruhan radioaktif dituliskan sebagai

$$ \frac{dN{(t)}}{dt} = -\lambda N{(t)} $$

atau bisa ditulis juga sebagai

$$ N{(t)} = N{(0)} e^{(-\lambda t)} $$

Kasus peluruhan radioaktif lebih baik dipandang sebagai IVP (Initial Value Problem) maupun BVP (Boundary Value Problem). IVP ketika kita mengetahui informasi terkait jumlah zat radioaktif pada waktu awal serta lama waktu peluruhan. Dari sini, kita bisa menebak jumlah berapa jumlah zat radioaktif yang tersisa di akhir nanti. Sedangkan BVP ketika kita mengetahui jumlah zat radioaktif saat awal dan akhir sedemikian sehingga kita tahu telah berapa lama zat radioaktif tersebut meluruh.

Referensi:

• https://www.personal.soton.ac.uk/ab1u06/teaching/phys3002/course/06_radioactivity.pdf
• https://www.sfu.ca/math-coursenotes/Math%20158%20Course%20Notes/sec_first_order_differential_equations.html

[NurlailaTan]

10219076 Sistem : Bandul Matematis Sebuah bandul sederhana dari bola kecil bermassa m yang digantungkan pada ujung tali dengan panjang 1 meter yang massanya dapat diabaikan tanpa gesekan udara. Saat bandul disimpangkan sejauh theta maka bandul akan berayun ke kanan dan ke kiri dengan periode tertentu. Simpangan yang diberikan pada bandul menyebabkan gaya total yang bekerja pada bandul menghasilkan gaya pembalik sehingga bandul bekerja secara periodik.

$$ F_x = m \frac{d^2 s}{dt^2} = -mg \sin \theta $$

dengan mensubtitusi s= (l)(theta), akan menjadi

$$ m\frac{d^2(l \theta)}{dt^2} = -mg \sin \theta $$

$$ l \frac{d^2(\theta)}{dt^2} = -g \sin \theta $$

$$ \frac{d^2(\theta)}{dt^2} = \frac{g}{l} \sin \theta $$

Pada kasus ini menggunakan IVP karena panjang tali yang digunakan sudah ditentukan dari awal Link : https://www.scribd.com/document/351846573/Proposal-Pkm-gt-Bandul-Matematis-Differensial-Orde-Dua

[dianatan]

• 10220038
• Perambatan panas pada penampang kawat sederhana berdimensi satu. Kawat penampang berorientasi ke arah x, dari x=0 sampai x=L, dengan luas penampang = A dan 𝜑(𝑥,𝑡) merupakan besarnya energi panas per satuan luas penampang yang lewat di penampang kawat pada posisi 𝑥 pada waktu 𝑡. Asumsikan bahwa suhu pada kawat tersebut pada posisi x di setiap waktu akan selalu sama, yaitu 𝑢(𝑥,𝑡), tetapi akan berbeda jika dibandingkan dengan suhu penampang kawat pada posisi lain.
• Persamaan laju perubahan energi panas ketika waktu 𝑡 disepanjang segmen penampang batang dari 𝑥 ke 𝑥 + ∆𝑥 yaitu

$$ Fluks = \frac {\partial E}{\partial t}$$

Jumlah energi panas per satuan luas yang mengalir melewati penampang batang di ruang 𝑥 saat waktu 𝑡 menuju kearah sumbu x didefinisikan oleh fungsi fluks panas 𝜑(𝑥,𝑡), sehingga diperoleh

$$ E = KA \frac {\partial u (x + \Delta x, t)}{\partial x} - KA \frac {\partial u (x, t)}{\partial x} $$

dengan menerapkan kedua persamaan tersebut, akan diperoleh persamaan panas dimensi satu:

$$ \frac {\partial u}{\partial t} (x,t) = K \frac {\partial ^2 u}{\partial x^2} (x,t) $$

• Pada kasus ini, akan digunakan IVP, karena perlu ditentukan dahulu suhu awal dalam batang logam yang merupakan kondisi awal.
• Link: https://ojs.unm.ac.id/JMathCoS/article/download/33560/pdf_2

[andrewanggoh]

• 10220012
• Untuk melakukan suatu pemrosesan sinyal audio, dapat digunakan persamaan diferensial gelombang. Dengan menggunakan persamaan diferensial gelombamg tersebut, dapat dilakukan analisis maupun pengolahan sinyal suara tersebut. Pada persamaan ini, terdapat variabel y yang merupakan fungsi gelombang dan parameter fisis lain seperti kecepatan rambat gelombang (v), variabel posisi dalam ruang (x), dan variabel waktu (t).
• Pers. Diferensial Gelombang:

$$ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} $$

• Pada kasus pemrosesan sinyal, baik variabel ruang maupun variabel waktu dapat digunakan untuk mengatur kondisi awal (IVP) dan syarat batas (BVP).
• Referensi: http://ejurnal.mipa.unsri.ac.id/index.php/jps/article/view/323

[keziaalodiac]

10220009

Heat Transfer menggunakan FDM

• Deskripsi Sistem : Heat transfer merupakan proses perpindahan energi panas dari suatu titik ke titik lain yang memiliki suhu berbeda. Pada sistem ini, kita akan memanfaatkan FDM untuk memahami fenomena heat transfer dan mengetahui suhu di titik tertentu. Pada sistem heat transfer 2D ini, terdapat 3 nilai yang memengaruhi distribusi perpindahan panas yaitu suhu, konduktivitas termal, dan laju pembangkitan energi internal.

• The second-degree heat equation for 2D steady-state heat generation can be expressed as,

$$ \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \frac{q}{k} = 0 $$

T= temperature k=thermal conductivity q=internal energy generation rate

dengan menggunakan ekspansi deret Taylor pada grid, asumsi jarak grid yang seragam (∆x=∆y), memberikan syarat batas dan menggunakan hukum Fourier untuk konduksi panas, kita mendapatkan persamaan untuk mengidentifikasi nilai suhu pada setiap titik grid

• Sistem ini termasuk dalam BVP (Boundaries Value Problem) karena nilai batas sistem (T, k dan Q) diketahui atau diberikan.
• Referensi : https://resources.system-analysis.cadence.com/blog/msa2022-explaining-the-finite-difference-method-and-heat-transfer

[cyukis]

10220056

Pada fenomena transpor polutan, terdapat beberapa fenomena fisis yang perlu ditinjau. Dua fenomena yang paling menonjol adalah difusi dan adveksi. Difusi adalah ketika molekul atau partikel bergerak dari daerah dengan konstrasi yang tinggi berpindah ke daerah dengan konsentrasi rendah untuk mencapai kesetimbangan. Adveksi terjadi karena perbedaan tekanan, suhu, atau sifat lainnya dalam fluida yang menghasilkan perpindahan materi. Pada fenomena transpor polutan juga berlaku hukum kekekalan massa.

Persamaan umum untuk transpor zat terlarut satu dimensi dengan mempertimbangkan difusi-adveksi tanpa istilah sumber adalah sebagai berikut.

$$ \frac{\partial c}{\partial t} = D\frac{\partial^2 c}{\partial x^2} - u\frac{\partial c}{\partial x} $$

Dengan c adalah konsentrasi dari zat terlarut, u adalah kecepatan, dan D adalah koefisien difusi. Persamaan di atas biasa disebut sebagai Advection-Diffusion equation.

Ketika meninjau fenomena transpor polutan, kita tentukan batas tinjauan kita sehingga menggunakan BVP, dan juga kita akan mengasumsikan nilai awal sehingga juga menggunakan IVP.

Referensi: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1757-899X/1153/1/012003/meta

[elsbthbunga]

• 10220068
• Perpindahan panas karena fenomena difusi di material nonhomogen : Melihat masalah difusi panas dua dimensi pada material non-homogen. Kita memiliki domain persegi atau persegi panjang yang dibagi menjadi titik-titik kisi. Sifat material, seperti konduktivitas termal, bervariasi di seluruh domain. Menerapkan Metode Beda Hingga untuk menyelesaikan persamaan difusi panas guna menemukan distribusi suhu dari waktu ke waktu.
• Persamaan umum untuk menyelesaikan problem ini : ∂u/∂t = α * ∂²u/∂x²
• Untuk menyelesaikan masalah difusi panas dalam bahan non-homogen kebanyakan kasus akan memerlukan perumusan sebagai Boundary Value Problem (BVP) , informasi mengenai suhu atau gradien suhu di batas bahan non-homogen tersebut.
• Referensi https://www.researchgate.net/publication/273775893_Heat_Flow_in_Non-homogeneous_Material

[RizkiArdikaF]

• 10219023

• Pada sebuah strip metal, jika diberi boundary temperature conditions pada ujungnya (misal pada L=0) tentunya akan terjadi perubahan temperatur. Perubahan temperature ini akan terjadi secara konduksi, yang mana bergantung pada beberapa variabel, boundary condition dari sistem yang kita punya, dan sebaran temperature awal di strip metal yang kita punya. Boundary condition yang dimaksud adalah Temperature awal yang kita berikan di ujung metal dan apakah pada sisi lain metal ada insulasi panas (apakah ada panas yang keluar sistem). Untuk variabel yang kita butuhkan tentunya kita butuh densitas (rho), specific heat (c), dan konduktivitas (k).

• Persamaan dari sistem diatas adalah ρc ∂T/∂t = ∇ · (k ∇T)

dimana ∇T adalah gradien temperature, yang mana merupakan besaran yang akan kita dapat dari persamaan ini. Sedangkan ∂T/∂t merupakan besaran yang dicari menggunakan metode numerik, seperti menggunakan FDM. Intinya variabel ∇T dan ∂T/∂t merupakan solusi yang kita perlu cari.

• Permasalahan ini merupakan permasalahan yang diselesaikan dengan IVP karena kita tidak tahu boundary akhirnya seperti apa, hanya tahu initial temperature-nya saja.

• Referensi: https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0029549322004952

[rafifprastya]

• 10220033 • Persamaan Poisson adalah salah satu persamaan differensial parsial eliptik dua dimensi yang umumnya digunakan untuk memodelkan fenomena fisika seperti medan potensial atau distribusi gaya dalam sebuah wilayah. Persamaan Poisson sering digunakan untuk menghitung distribusi potensial di perangkat semikonduktor. • $[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}]= f(x, y)]$

• Persamaan Poisson dapat ditulis dalam bentuk sistem persamaan linier, yang kemudian dapat diselesaikan menggunakan teknik matriks dan algoritma iteratif. Dengan menggunakan persamaan beda hingga yang sesuai untuk operator Laplace, kita dapat mengubah Persamaan Poisson menjadi sistem persamaan linier, yang kemudian dapat dipecahkan untuk mendapatkan solusi numerik yang mendekati solusi sebenarnya dari Persamaan Poisson dalam domain yang diberikan. -Dalam konteks Persamaan Poisson, karena tidak ada informasi yang diberikan tentang kondisi awal pada suatu waktu tertentu, melainkan kondisi batas pada domain ruang, maka problem tersebut termasuk dalam kategori Persamaan Nilai Batas (Boundary Value Problem - BVP). • https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&opi=89978449&url=https://media.neliti.com/media/publications/195290-ID-penyelesaian-persamaan-poisson-2d-dengan.pdf&ved=2ahUKEwikuMfS7aGCAxWSUGwGHR7vAtEQFnoECAkQAQ&usg=AOvVaw3qy-0szijANeZEQaziVodR

[syakuradhya]

• 10220073
• Metode Finite Difference ini dapat digunakan dalam sistem penukar panas bumi (GHE). Pada lubang bor vertikal, sistem penukar panas panas bumi (GHE) terdiri dari sejumlah lubang bor yang masing-masing berisi satu pipa U atau sejumlah pipa U-tube. Perpindahan panas antara GHE vertikal dan tanah di sekitarnya diselidiki dengan mempertimbangkan bidang vertikal yang melewati pusat penukar panas yang dilengkapi dengan sepasang pipa sirkulasi (yaitu tabung-U). Perubahan suhu yang bergantung pada waktu dalam fluida, nat, dan tanah di sekitar penukar panas dievaluasi dengan mempertimbangkan kontinuitas aliran panas pada batas material
• Dengan mengabaikan resistensi konveksi radial dari fluida yang bersirkulasi di dalam tabung, persamaan keseimbangan panas untuk setiap elemen dalam cabang tabung-U dapat dinyatakan sebagai: $$\frac{\partial T}{\partial t} = v\frac{\partial T}{\partial z} + \frac{{2k{\text{p}} }}{{\rho{\text{f}} C{{\text{pf}}} r{\text{p}} }}\frac{\partial T}{\partial r}$$ dimana $\rho{\text{f}}$ adalah massa jenis fluida sirkulasi, $k{\text{p}}$ adalah konduktivitas termal pipa sirkulasi, v adalah kecepatan sirkulasi fluida, $r{\text{p}}$ adalah jari-jari pipa sirkulasi, $C{\text{pf}}$ adalah kalor jenis fluida sirkulasi, dan dT adalah kenaikan rata-rata suhu elemen dalam interval waktu kecil dt. Kenaikan suhu untuk setiap elemen dalam media akibat masing-masing cabang tabung-U (sumber panas) dapat dihitung menggunakan persamaan keseimbangan panas yang diberikan oleh: $$\frac{1}{\alpha }\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{{\partial^{2} T}}{{\partial z^{2} }} + \frac{{\partial^{2} T}}{{\partial r^{2} }} + \frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial r}$$ dimana α adalah difusivitas termal, ρ adalah kepadatan massa, t adalah waktu, dan r dan z masing-masing adalah koordinat radial dan vertikal. Dengan kedua persamaan tersebut, akan diperoleh kondisi batas konvektif untuk permukaan tanah dan batas suhu konstan untuk sisi bawah yang didefinisikan dalam $$T{i,j}^{t + 1} - T{i,j}^{t} = \alpha{i,j} \varDelta t\left[ {\frac{{\partial^{2} T}}{{\partial r^{2} }} + \frac{1}{{r{i} }}\frac{{(T{i + 1,j}^{t} - T{i,j}^{t} )}}{{\varDelta r{i + 1} }}}\right. \left. {- \frac{1}{{\varDelta z{j + 1} }}\left( {\frac{{(T{i,j + 1}^{t} - T{i,j}^{t} )}}{{\varDelta z{j + 1} }} + h{{\text{top}}} (T{i,j}^{t} - T{{\text{ag}}} )} \right)} \right]$$ $\text{for} \, - R < r < R \, z = 0$ $$T = T_{{\text{initial}}}\quad\text{for} \, - R \le r \le R \, z = Z$$
• Sistem ini menggunakan IVP (Initial Value Problem) karena terdapat initial temperature yang diketahui dan (Boundary Value Problem) karena terdapat interval langkah waktu dan syarat batas yang diketahui.
• Referensi: https://link.springer.com/article/10.1007/s10706-014-9822-z

[BerlianOkaI]

10220037

Sistem Fisis yang Akan Diselesaikan oleh FDM

Sistem fisis yang akan saya coba selesaikan dengan metode FDM adalah sistem banyak benda terkopel pegas dengan derajat kebebasan untuk gerak masing-masing partikel sebear 2 (masing-masing partikel bergerak di bidang x-y). Jumlah benda yang terkopel adalah sebanyak $N$ buah yang tersusun secara seri. Kedua partikel pada tiap ujung sistem (ujung kanan dan kiri) partikel masing-masing dihubungkan dengan pegas yang terhubung dengan, masing-masing, dinding kanan dan kiri. Setiap pegas yang mengkopel dua partikel terdekat memiliki nilai konstanta pegas dan panjang awal pegas (di mana pegasnya relaksasi) bernilai sama. Selain itu, tiap partikel pada sistem identik. Pada kasus ini, interaksi gravitasi diabaikan.

Persamaan Diferensialnya

Misalkan $n$ menyatakan indeks partikel ke $n$. Untuk partikel $n$ dengan $n \neq 1$ (ujung kiri) dan $n \neq N$ (ujung kanan), persamaan geraknya diberikan sebagai berikut ini.

$$ \vec{a_n} = -\frac{k}{m} \left( 1 - \frac{l_0}{\left| \vec{rn} - \vec{r{n-1}} \right| } \right) (\vec{rn} - \vec{r{n-1}}) -\frac{k}{m} \left( 1 - \frac{l_0}{\left| \vec{rn} - \vec{r{n+1}} \right| } \right) (\vec{rn} - \vec{r{n+1}}) $$

Dengan $\vec{a}$ menyatakan percepatan partikel, $k$ menyatakan konstanta pegas, $m$ menyatakan massa partikel, $\vec{r}$ menyatakan vektor posisi dan $l_0$ adalah panjang awal pegas. Persamaan tersebut digunakan untuk mensimulasikan gerak sistem melalui metode Euler di mana digunakan pendekatan sebagai berikut

$$ \vec{v}_{n+1} = \vec{v_n} + \vec{a_n} \delta t $$

$$ \vec{r}_{n+1} = \vec{r_n} + \vec{v_n} \delta t $$

Untuk partikel pada kedua ujung sistem, salah salah satu suku pada persamaan gerak di atas merupakan gaya pegas antara dinding terhadap partikel tersebut.

BVP atau IVP

Pada kasus ini, saya akan menggunakan Initial Value Problem. Hal ini disebabkan karena pada kasus ini, akan ditinjau perilaku sistem untuk keaadaan inisial yang berbeda-beda.

Referensi

Arya, A.P. (1990). Introduction to Classical Mechanics 2nd Edition. Prentice Hall Landau, R. H., Páez, M. J., Bordeianu, C. C. (2007). Computational Physics. Weinheim: WILEY-VCH Verlag GmbH & Co KGaA

[emahdyt]

• 102200051
• Suatu rangkaian listrik misal terdiri dari resistor dan diberikan sumber tegangan DC (searah) maka dalam rangkaian tersebut akan ada arus yang mengalir. Arus adalah banyaknya muatan yang mengalir per satuan waktu. Arus mengalir karena ada elektron yang mengalir, arah arus akan mengalir dari sumber tegangan positif ke negatif berlawanan arah dengan aliran elektron
• Persamaan diferensial yang digunakan adalah sebagai berikut $I=frac(dQ)(dt)$ -Dengan menerapkan persoalan nilai awal (IVP) pada waktu akan didapatkan jumlah muatan yang mengalir dalam suatu rentang waktu tertentu. -https://www.web-formulas.com/Physics_Formulas/Electric_Current.aspx

[BracchialisG]

Problem Title: Temperature Distribution in a Rod with Heat Source

NIM: 10220067

Description: Consider a one-dimensional system representing a long rod with a heat source at one end. The rod has a length L and is initially at a uniform temperature T0. At time t=0, a heat source is applied at one end of the rod, causing a temperature gradient along the rod's length. The objective is to determine the temperature distribution within the rod over time, taking into account the heat conduction through the rod's material and the heat source's characteristics.

Differential Equation: The temperature distribution in the rod can be described by the one-dimensional heat conduction equation, which is a partial differential equation (PDE):

∂T/∂t = α ∂²T/∂x² + Q(x, t)

Where:

• T(x, t) is the temperature at position x along the rod at time t.
• α is the thermal diffusivity of the rod's material.
• ∂T/∂t represents the rate of change of temperature with respect to time.
• ∂²T/∂x² represents the second spatial derivative of temperature.
• Q(x, t) is the heat source term, which describes the heat input at different locations and times.

Boundary Value Problem (BVP) or Initial Value Problem (IVP): This problem can be approached as an Initial Value Problem (IVP) because it is concerned with determining the temperature distribution within the rod over time, starting from an initial condition (T0) and evolving it in time due to the applied heat source.

Reference Link: For more information on solving one-dimensional heat conduction problems and numerical methods, you can refer to this resource: https://en.wikipedia.org/wiki/Heat_equation

[desulight99]

• 10220082

• Deskripsi

Model reaksi-difusi adalah model matematika yang mendeskripsikan bagaimana konsentrasi dari satu atau lebih substansi terdistribusi dalam ruang berubah karena pengaruh dua proses: reaksi kimia lokal dimana substansi diubah menjadi yang lain, dan difusi yang menyebabkan substansi menyebar dalam ruang.

• Persamaan diferensial

$$ \partial_t u = D \partial_x^2 u + R(u) $$

• Solusi untuk menyelesaikan persamaan tersebut adalah menggunakan BVP

• Link : https://en.wikipedia.org/wiki/Reaction%E2%80%93diffusion_system#One-component_reaction%E2%80%93diffusion_equations