3.2 집합의 연산

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집합의 연산

벤 다이어그램(Venn diagram)

전체 집합 U는 사각형, 주어진 집합들은 U의 부분 집합들이므로 사각형 안에 원으로 표현한다.

합집합(Union) A ∪ B

집합 A 또는 집합 B에 속하는 모든 원소의 집합 A ∪ B = {x | x ∈ A ⋁ x ∈ B}

교집합(Intersection) A ∩ B

집합 A에도 속하고 집합 B에도 속하는 모든 원소의 집합 A ∩ B = {x| x ∈ A ⋀ x ∈ B} A ∩ B = ∅, 즉 공통된 원소를 하나도 가지지 않은 경우 두 집합을 서로소(disjoint)라고 한다.

차집합(Difference) A - B

집합 A에 속하고 집합 B에는 속하지 않는 모든 원소들의 집합 A - B = {x| x ∈ A ⋀ x ∉ B}

대칭 차집합(Symmetric difference) A ⊕ B

A ∪ B의 원소 중에서 A ∩ B에 속하지 않는 모든 원소들의 집합

곱집합(Cartesian product), 카티시안 곱 A X B

순서쌍(ordered pair)

순서로 구분되는 원소들의 쌍 (a, b) A X B = {(x, y)| x ∈ A, y ∈ B} 예) A = {1,2} B = {a,b} 일때 A X B = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)}

집합 연산의 카디날리티

집합 A, B, C가 유한 집합일 때 다음 식들이 성립한다.

집합 대수의 법칙

법칙	합집합 (∪)	교집합 (∩)
교환법칙	A ∪ B = B ∪ A	A ∩ B = B ∩ A
결합법칙	(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)	(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
분배법칙	A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)	A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
항등법칙	A ∪ ∅ = A	A ∩ U = A
보수법칙	A ∪ A' = U	A ∩ A' = ∅
멱등법칙	A ∪ A = A	A ∩ A = A
흡수법칙	A ∪ (A ∩ B) = A	A ∩ (A ∪ B) = A
드모르간 법칙	(A ∪ B)' = A' ∩ B'	(A ∩ B)' = A' ∪ B'

여기서: ∅ : 공집합 U : 전체집합 A' : A의 여집합

쌍대(duality)

집합에 관한 명제에서 그 명제 안에 있는 교집합과 합집합을 전체 집합에 대한 여집합을 바꾸어서 만든 새로운 명제 드모르간 법칙이 곧 쌍대의 원리를 이용한 것

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