用canvas绘制一个曲线动画——深入理解贝塞尔曲线

hujiulong commented 6 years ago

前言

在前端开发中，贝赛尔曲线无处不在：

它可以用来绘制曲线，在svg和canvas中，原生提供的曲线绘制都是使用贝赛尔曲线
它也可以用来描述一个缓动算法，设置css的transition-timing-function属性，可以使用贝塞尔曲线来描述过渡的缓动计算
几乎所有前端2D或3D图形图表库(echarts，d3，three.js)都会使用到贝塞尔曲线

这篇文章我准备从实现一个非常简单的曲线动画效果入手，帮助大家彻底地弄懂什么是贝塞尔曲线，以及它有哪些特性，文章中有一点点数学公式，但是都非常简单:)。

![160935917f7f0d3f](https://user-images.githubusercontent.com/13267437/34359508-9b656938-ea93-11e7-9caf-db0464af2db0.gif) 实现这样一个曲线动画

可以点击这里查看在线演示

在写代码之前，先了解一下什么是贝塞尔曲线吧。

贝塞尔曲线

贝塞尔曲线（Bezier curve）是计算机图形学中相当重要的参数曲线，它通过一个方程来描述一条曲线，根据方程的最高阶数，又分为线性贝赛尔曲线，二次贝塞尔曲线、三次贝塞尔曲线和更高阶的贝塞尔曲线。

下面详细介绍一下用得比较多的二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线

二次贝塞尔曲线

二次贝塞尔曲线由三个点P0,P1,P2来确定，这些点也被称作控制点。曲线的方程为：

![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%7B%5Cmathbf%20%7BB%7D%7D%28t%29%3D%281-t%29%5E%7B%7B2%7D%7D%7B%5Cmathbf%20%7BP%7D%7D_%7B0%7D+2t%281-t%29%7B%5Cmathbf%20%7BP%7D%7D_%7B1%7D+t%5E%7B%7B2%7D%7D%7B%5Cmathbf%20%7BP%7D%7D_%7B2%7D%7B%5Cmbox%7B%20%2C%20%7D%7Dt%5Cin%20%5B0%2C1%5D%u3002)

这个方程其实有它的几何意义，它表示可以通过这样的步骤来绘制一条曲线：

选定一个0-1的t值
通过P0和P1计算出点Q0，Q0在P0 P1连成的直线上，并且length( P0, Q0 ) = length( P0, P1 ) * t
同样，通过P1和P2计算出Q1，使得length( P1, Q1 ) = length( P1, P2 ) * t
再重复一次这个步骤，通过Q1和Q2计算出B，使得length( Q0, Q1 ) = length( Q0, B ) * t。B就为当前曲线上的点

注：上面的length表示两点之间的长度

![](https://user-gold-cdn.xitu.io/2017/12/25/1608e25792da9c97?w=240&h=100&f=png&s=5429) 图：二次贝塞尔曲线结构

有了曲线方程，我们直接代入具体的t值就能算出点B了。

如果将t的值从0过渡到1，不断计算点B，就可以得到一条二次贝塞尔曲线：

![s](https://user-gold-cdn.xitu.io/2017/12/25/1608e1929786355b?w=240&h=100&f=gif&s=74274) 图：二次贝塞尔线绘制过程

在canvas中，绘制二次贝塞尔曲线的方法为

ctx.quadraticCurveTo( p1x, p1y, p2x, p2y )

其中p1x, p1y, p2x, p2y为后两个控制点（P1和P2）的横纵坐标，它默认将当前路径的起点作为一个控制点（P0）。

三次贝塞尔曲线

三次贝塞尔曲线需要四个点P0,P1,P2,P3来确定，曲线方程为

![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%7B%5Cmathbf%20%7BB%7D%7D%28t%29%3D%7B%5Cmathbf%20%7BP%7D%7D_%7B0%7D%281-t%29%5E%7B3%7D+3%7B%5Cmathbf%20%7BP%7D%7D_%7B1%7Dt%281-t%29%5E%7B2%7D+3%7B%5Cmathbf%20%7BP%7D%7D_%7B2%7Dt%5E%7B2%7D%281-t%29+%7B%5Cmathbf%20%7BP%7D%7D_%7B3%7Dt%5E%7B3%7D%7B%5Cmbox%7B%20%2C%20%7D%7Dt%5Cin%20%5B0%2C1%5D%u3002)

它的计算过程和二次贝塞尔曲线类似，这里不再赘述，可以看下图：

![](https://user-gold-cdn.xitu.io/2017/12/25/1608e3077df20e7b?w=240&h=100&f=png&s=7942) 图：三次贝塞尔曲线结构

同样，将t的值从0过渡到1，就可以绘制出一条三次贝塞尔曲线：

![](https://user-gold-cdn.xitu.io/2017/12/25/1608e2ba9c18d8d6?w=240&h=100&f=gif&s=109773) 图：三次贝塞尔曲线绘制过程

在canvas中，绘制三次贝塞尔曲线的方法为

ctx.bezierCurveTo( p1x, p1y, p2x, p2y, p3x, p3y )

其中p1x, p1y, p2x, p2y, p3x, p3y为后三个控制点（P1,P2和P3）的横纵坐标，它默认将当前路径的起点作为一个控制点（P0）。

贝塞尔曲线的特征

在三次贝塞尔曲线后面，还有更高阶的贝塞尔曲线，同样它们绘制的过程也更加复杂

四次贝塞尔曲线

![](https://user-gold-cdn.xitu.io/2017/12/25/1608e388394dc30e?w=240&h=100&f=gif&s=138340) 图：四次贝塞尔曲线

五次贝塞尔曲线

![1608e389f3e76e8d](https://user-images.githubusercontent.com/13267437/34359956-345efd0e-ea97-11e7-9476-38c0c7c55da3.gif) 图：五次贝塞尔曲线

我们可以归纳出贝塞尔曲线有几个重要的特征：

n阶贝塞尔曲线需要n+1个点来确定
贝塞尔曲线是平滑的
贝塞尔曲线的起点和终点与对应控制点的连线相切

绘制贝塞尔曲线

复习完基础概念，接下来就要讲怎样绘制贝塞尔曲线啦

为简单起见，我们选择使用二次贝塞尔曲线。

我们先不考虑动画的事，我们先将问题简化成：给定一个起点和一个终点，需要实现一个函数，它能够绘制出一条曲线。

也就是说我们需要实现一个函数drawCurvePath，除渲染上下文ctx外（不清楚ctx是什么的同学可以先熟悉下canvas的基本概念），它接受三个参数，分别为二次贝塞尔曲线的三个控制点。我们将样式控制移到函数外，drawCurvePath只用来绘制路径。

/**
 * 绘制二次贝赛尔曲线路径
 * @param  {Object} ctx
 * @param  {Array<number>} p0
 * @param  {Array<number>} p1
 * @param  {Array<number>} p2
 */
function drawCurvePath( ctx, p0, p1, p2 ) {
    // ...
}

前文提到过，在canvas中，绘制二次贝赛尔曲线的方法是quadraticCurveTo，所以只要短短两行就能完成这个方法。

/**
 * 绘制二次贝赛尔曲线路径
 * @param  {CanvasRenderingContext2D} ctx
 * @param  {Array<number>} p0
 * @param  {Array<number>} p1
 * @param  {Array<number>} p2
 */
function drawCurvePath( ctx, p0, p1, p2 ) {
    ctx.moveTo( p0[ 0 ], p0[ 1 ] );
    ctx.quadraticCurveTo( 
        p1[ 0 ], p1[ 1 ],
        p2[ 0 ], p2[ 1 ]
    );
}

这样就完成了基本的绘制二次贝塞尔曲线的方法了。

但是函数这样设计有点小问题

如果我们是在做一个图形库，我们想给使用者提供一个绘制曲线的方法。

对于使用者来说，他只想在给定的起点和终点间间绘制一条曲线，他想要得到的曲线尽量美观，但是又不想关心具体的实现细节，如果还需要给第三个点，使用者会有一定的学习成本（至少需要弄明白什么是贝塞尔曲线）。

看到这里你可能会比较疑惑，即使是二次贝塞尔曲线也需要三个控制点，只有起点和终点怎么绘制曲线呢。

我们可以在起点和终点的垂直平分线上选一点作为第三个控制点，可以提供给使用者一个参数来控制曲线的弯曲程度，现在函数就变成了这样

/**
 * 绘制一条曲线路径
 * @param  {CanvasRenderingContext2D} ctx
 * @param  {Array<number>} start 起点
 * @param  {Array<number>} end 终点
 * @param  {number} curveness 曲度(0-1)
 */
function drawCurvePath( ctx, start, end, curveness ) {
    // ...
}

我们用curveness来表示曲线的弯曲程度，也就是第三个控制点的偏离程度。这样很容易就能计算出中间点。现在完整的函数变成了这样：

/**
 * 绘制一条曲线路径
 * @param  {Object} ctx canvas渲染上下文
 * @param  {Array<number>} start 起点
 * @param  {Array<number>} end 终点
 * @param  {number} curveness 曲度(0-1)
 */
function drawCurvePath( ctx, start, end, curveness ) {
    // 计算中间控制点
    var cp = [
         ( start[ 0 ] + end[ 0 ] ) / 2 - ( start[ 1 ] - end[ 1 ] ) * curveness,
         ( start[ 1 ] + end[ 1 ] ) / 2 - ( end[ 0 ] - start[ 0 ] ) * curveness
    ];
    ctx.moveTo( start[ 0 ], start[ 1 ] );
    ctx.quadraticCurveTo( 
        cp[ 0 ], cp[ 1 ],
        end[ 0 ], end[ 1 ]
    );
}

对，就这么短短几行，接下来我们就可以通过它来绘制一条曲线了，代码如下

<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
    <head>
        <title>draw curve</title>
    </head>
    <body>
        <canvas id="canvas" width="800" height="800"></canvas>
        <script>
            var canvas = document.getElementById( 'canvas' );
            var ctx = canvas.getContext( '2d' );

            ctx.lineWidth = 2;
            ctx.strokeStyle = '#000';
            ctx.beginPath();

            drawCurvePath( 
                ctx,
                [ 100, 100 ],
                [ 200, 300 ],
                0.4
            );

            ctx.stroke();

            function drawCurvePath( ctx, start, end, curveness ) {
                // ...
            }
        </script>
    </body>
</html>

绘制结果：

![qq 20171226233508](https://user-images.githubusercontent.com/13267437/34359735-96a3aa2a-ea95-11e7-96a4-8f436e12f567.png) 绘制一条曲线

绘制贝塞尔曲线动画

终于来到文章的本体啦，我们的目的不是绘制一条静态的曲线，我们想绘制一条有过渡效果的曲线。

简化一下问题，那就是我们希望绘制曲线的函数还接受另一个参数，表示绘制曲线的百分比。我们定时去调用这个函数，递增百分比这个参数，就能画出动画了。

我们新增一个参数percent来表示百分比，现在函数变成了这样：

/**
 * 绘制一条曲线路径
 * @param  {Object} ctx canvas渲染上下文
 * @param  {Array<number>} start 起点
 * @param  {Array<number>} end 终点
 * @param  {number} curveness 曲度(0-1)
 * @param  {number} percent 绘制百分比(0-100)
 */
function drawCurvePath( ctx, start, end, curveness, percent ) {
    // ...
}

但是canvas提供的quadraticCurveTo方法只能绘制一条完整的二次贝赛尔曲线，没有办法去控制它只画一部分。

画完后用clearRect擦除掉一部分？这不太可行，因为很难确定要擦除的范围。如果曲线的线宽比较宽，就还需要保证擦除的边界和曲线末端垂直，问题就变得很复杂了。

现在再重新看看这张图

![s](https://user-gold-cdn.xitu.io/2017/12/25/1608e1929786355b?w=240&h=100&f=gif&s=74274)

我们是不是可以将percent这个参数理解成t值，然后通过贝赛尔曲线方程去计算出中间所有的点，用直线连接起来，以此模拟绘制贝赛尔曲线的一部分呢？

方法一

我们不再用canvas提供的quadraticCurveTo来绘制曲线，而是通过贝赛尔曲线的方程计算出一系列点，用多端直线来模拟曲线。

这样做的好处时，我们可以很容易的控制绘制的范围。

那么函数实现就变成了这样：

/**
 * 绘制一条曲线路径
 * @param  {Object} ctx canvas渲染上下文
 * @param  {Array<number>} start 起点
 * @param  {Array<number>} end 终点
 * @param  {number} curveness 曲度(0-1)
 * @param  {number} percent 绘制百分比(0-100)
 */
function drawCurvePath( ctx, start, end, curveness, percent ) {

    var cp = [
         ( start[ 0 ] + end[ 0 ] ) / 2 - ( start[ 1 ] - end[ 1 ] ) * curveness,
         ( start[ 1 ] + end[ 1 ] ) / 2 - ( end[ 0 ] - start[ 0 ] ) * curveness
    ];

    ctx.moveTo( start[ 0 ], start[ 1 ] );

    for ( var t = 0; t <= percent / 100; t += 0.01 ) {

        var x = quadraticBezier( start[ 0 ], cp[ 0 ], end[ 0 ], t );
        var y = quadraticBezier( start[ 1 ], cp[ 1 ], end[ 1 ], t );

        ctx.lineTo( x, y );
    }

}

function quadraticBezier( p0, p1, p2, t ) {
    var k = 1 - t;
    return k * k * p0 + 2 * ( 1 - t ) * t * p1 + t * t * p2;    // 这个方程就是二次贝赛尔曲线方程
}

接下来就可以通过设置定时器，每隔一段时间调用一次这个方法，并且递增percent

为了动画更加平滑，我们使用requestAnimationFrame来代替定时器

<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
    <head>
        <title>draw curve</title>
    </head>
    <body>
        <canvas id="canvas" width="800" height="800"></canvas>
        <script>
            var canvas = document.getElementById( 'canvas' );
            var ctx = canvas.getContext( '2d' );

            ctx.lineWidth = 2;
            ctx.strokeStyle = '#000';

            var percent = 0;

            function animate() {

                ctx.clearRect( 0, 0, 800, 800 );
                ctx.beginPath();

                drawCurvePath( 
                    ctx,
                    [ 100, 100 ],
                    [ 200, 300 ],
                    0.2,
                    percent
                );

                ctx.stroke();

                percent = ( percent + 1 ) % 100;

                requestAnimationFrame( animate );

            }

            animate();

            function drawCurvePath( ctx, start, end, curveness, percent ) {
                // ...
            }
        </script>
    </body>
</html>

得到的结果：

![](https://user-gold-cdn.xitu.io/2017/12/26/160935c22ae1e69a?w=305&h=269&f=gif&s=27239)

这样基本实现了我们的需求，但它有一个问题：

测试发现，进行一次lineTo的时间和一次quadraticCurveTo的时间差不多，但是quadraticCurveTo只需要一次就能画出曲线，而使用lineTo则需要数十次。

换言之，用这样的方式绘制曲线，和我们前面的实现方式相比性能下降了数十倍之多。在绘制一条曲线时可能感觉不到区别，但是如果需要同时绘制上千条曲线，性能就会受到很大的影响。

方法二

那有没有什么方法可以做到用quadraticCurveTo来实现绘制完整曲线的一部分呢？

我们再次回到这张图

![s](https://user-gold-cdn.xitu.io/2017/12/25/1608e1929786355b?w=240&h=100&f=gif&s=74274)

在中间的某一时刻，例如t=0.25时，它是这样的：

![](https://user-gold-cdn.xitu.io/2017/12/25/1608e25792da9c97?w=240&h=100&f=png&s=5429)

我们注意到，曲线P0-B这一段似乎也是贝赛尔曲线，它的控制点变成了P0，Q0，B。

现在问题就迎刃而解了，我们只需要每次计算出Q0，B，就能得到其中一小段贝赛尔曲线的控制点，然后就可以通过quadraticCurveTo来绘制它了。

代码如下：

/**
 * 绘制一条曲线路径
 * @param  {Object} ctx canvas渲染上下文
 * @param  {Array<number>} start 起点
 * @param  {Array<number>} end 终点
 * @param  {number} curveness 曲度(0-1)
 * @param  {number} percent 绘制百分比(0-100)
 */
function drawCurvePath( ctx, start, end, curveness, percent ) {

    var cp = [
         ( start[ 0 ] + end[ 0 ] ) / 2 - ( start[ 1 ] - end[ 1 ] ) * curveness,
         ( start[ 1 ] + end[ 1 ] ) / 2 - ( end[ 0 ] - start[ 0 ] ) * curveness
    ];

    var t = percent / 100;

    var p0 = start;
    var p1 = cp;
    var p2 = end;

    var v01 = [ p1[ 0 ] - p0[ 0 ], p1[ 1 ] - p0[ 1 ] ];     // 向量<p0, p1>
    var v12 = [ p2[ 0 ] - p1[ 0 ], p2[ 1 ] - p1[ 1 ] ];     // 向量<p1, p2>

    var q0 = [ p0[ 0 ] + v01[ 0 ] * t, p0[ 1 ] + v01[ 1 ] * t ];
    var q1 = [ p1[ 0 ] + v12[ 0 ] * t, p1[ 1 ] + v12[ 1 ] * t ];

    var v = [ q1[ 0 ] - q0[ 0 ], q1[ 1 ] - q0[ 1 ] ];       // 向量<q0, q1>

    var b = [ q0[ 0 ] + v[ 0 ] * t, q0[ 1 ] + v[ 1 ] * t ];

    ctx.moveTo( p0[ 0 ], p0[ 1 ] );

    ctx.quadraticCurveTo( 
        q0[ 0 ], q0[ 1 ],
        b[ 0 ], b[ 1 ]
    );

}

将前面写的页面替换成上面的代码，可以看到得到的结果是一样的：

![](https://user-gold-cdn.xitu.io/2017/12/26/160935c22ae1e69a?w=305&h=269&f=gif&s=27239)

绘制动画

现在已经解决了最关键的问题，我们可以绘制动画啦。不过这一部分并不重要，我就不贴代码了。

完整代码可以看这里

![160935917f7f0d3f](https://user-images.githubusercontent.com/13267437/34359508-9b656938-ea93-11e7-9caf-db0464af2db0.gif)

关于我的博客

这篇文章到这里就结束了。

我计划写一系列关于前端图形渲染的文章，将会涵盖常用的前端图形绘制技术:canvas、svg和WebGL。希望通过这一系列文章能让读者对前端的各种图形绘制接口以及图像处理、图形学的基础知识有所了解。希望在分享的同时，也能巩固和复习自己所学知识，和大家共同进步。

系列博客地址：https://github.com/hujiulong/blog

如果能帮助到你，欢迎star，这样也能及时追踪博客的更新。

kobef08 commented 6 years ago

支持。

a992681784 commented 6 years ago

我可以理解（start[ 0 ] + end[ 0 ] ) / 2是中点坐标，但是减去y轴差值乘以曲率( start[ 1 ] - end[ 1 ] ) * curveness理解不了！能否细说一下？谢谢

hujiulong commented 6 years ago

@a992681784 这个其实很容易理解当curveness为0时，中间控制点落在这条线段上，当curveness为1时，中间控制点与直线的距离为这条线段的长度

起点和终点分别为start,end 这条线段的中点为

var mid = [ ( start[ 0 ] + end[ 0 ] ) / 2, ( start[ 1 ] + end[ 1 ]  ) / 2 ];

根据起点和终点也可以得到一个向量v

var v = [ end[ 0 ] - start[ 0 ], end[ 1 ] - start[ 1 ] ];

将这个向量顺时针旋转90度，得到一个垂直于它的向量v2

var v2 = [ v[ 1 ], -v[ 0 ] ];

那么中间控制点的坐标为(向量v2乘curveness加上中间点坐标)

var cp = [
    mid[ 0 ] + v2[ 0 ] * curveness,
    mid[ 1 ] + v2[ 1 ] * curveness
] = [
    ( start[ 0 ] + end[ 0 ] ) / 2 - ( start[ 1 ] - end[ 1 ] ) * curveness,
    ( start[ 1 ] + end[ 1 ] ) / 2 - ( end[ 0 ] - start[ 0 ] ) * curveness
]

gdmec07150725 commented 6 years ago

感觉好深奥，看不懂

hujiulong commented 6 years ago

@gdmec07150725 唔，其实没什么深奥的，照着写一遍就熟悉了

hopepdm commented 6 years ago

@a992681784 这里得曲率不是圆周上半径R倒数得曲率，就是中垂线上得一个偏移比率而已

gaoyouAwait commented 6 years ago

博主可以写个三次贝塞尔曲线的动画吗，根据两次的写不出来三次额

hujiulong commented 6 years ago

@zongyuan0204 你看“三次贝塞尔曲线绘制过程”这个动图，把那几个控制点的坐标算对，肯定能画出来的。你可以把控制点和它们的连线也画出来，找找问题出在哪

navono commented 6 years ago

如果是多阶的贝塞尔曲线，且可动态增加控制点，有什么好办法吗？

hujiulong commented 6 years ago

@navono 你的问题是什么？怎么做到动态添加控制点？贝塞尔曲线的阶数和控制点数量是对应的，增加控制点就要改变贝塞尔曲线的方程，所以一般的绘图软件绘制曲线都是固定几个控制点。你要动态添加，就动态生成对应阶数的贝塞尔曲线方程，然后绘图就行了

navono commented 6 years ago

没事。已经解决了。

16slowly commented 6 years ago

好想把数学老师请来坐在旁边~

liuxinxin4288 commented 6 years ago

笔芯

gy134340 commented 6 years ago

nice, 建议第一张图可以再清晰一丢丢

callofdutyops commented 6 years ago

一处小笔误： 绘制贝塞尔曲线小节的第一句：...接下来就要讲如果绘制贝塞尔... 如果应改为如何

iyow commented 5 years ago

二次贝塞尔曲线此处是否有误： (原文)再重复一次这个步骤，通过Q1和Q2计算出B，使得length( Q0, Q1 ) = length( Q0, B ) t。B就为当前曲线上的点 (修改为)length( Q0, B ) = length( Q0, Q1 ) t。理解：计算由 P0 至 P1 的连续点 Q0，描述一条线段。(t=P0Q0/P0P1) 计算由 P1 至 P2 的连续点 Q1，描述一条线段。 (t=P1Q1/P1P2) 计算由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。(t=Q0B/Q0Q1)

lijibing01 commented 5 years ago

最后还是用到了clearRect啊

surahe commented 4 years ago

如果要实现三次贝塞尔曲线绘制过程，是不是只能提供4个点作为参数，不能使用曲率了？

可以怎么实现？

tiger8888 commented 4 years ago

全部以向量来理解,就很清晰了

microkof commented 3 years ago

再重复一次这个步骤，通过Q1和Q2计算出B，使得length( Q0, Q1 ) = length( Q0, B ) * t。

这句写错了。是等号前面乘以t，不是后面

microkof commented 3 years ago

@hujiulong 大佬，我问个高深点的。如果你的曲线是三次贝塞尔，那么，如果只取曲线的一部分，还能用方程表达么？

hujiulong commented 3 years ago

@hujiulong 大佬，我问个高深点的。如果你的曲线是三次贝塞尔，那么，如果只取曲线的一部分，还能用方程表达么？

和二次贝塞尔曲线一样的，计算出对应的控制点位置即可

microkof commented 3 years ago

@hujiulong 大佬，我问个高深点的。如果你的曲线是三次贝塞尔，那么，如果只取曲线的一部分，还能用方程表达么？

和二次贝塞尔曲线一样的，计算出对应的控制点位置即可

大佬，我实在想象不出三阶贝塞尔的局部怎么计算控制点，大佬能不能写一个DEMO给大家参考，毕竟搜索这方面需求，搜索引擎都会指向你这个文章

不是不相信你，我们大家想开开眼界 ^ ^

daibor commented 3 years ago

@hujiulong 大佬，我问个高深点的。如果你的曲线是三次贝塞尔，那么，如果只取曲线的一部分，还能用方程表达么？

和二次贝塞尔曲线一样的，计算出对应的控制点位置即可

大佬，我实在想象不出三阶贝塞尔的局部怎么计算控制点，大佬能不能写一个DEMO给大家参考，毕竟搜索这方面需求，搜索引擎都会指向你这个文章

不是不相信你，我们大家想开开眼界 ^ ^

参考这个图分别计算：Q0坐标、Q1坐标、根据这俩算出的 Q0Q1 向量，以及根据该向量算出的 R0 坐标。控制点的移动是线性的。 Q0 为控制点1，R0 为控制点2

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