iLovEing
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1 year ago 傅里叶级数
级数可以理解为无穷求和，傅里叶级数就是将周期函数在三角函数系上展开。类比线性代数，三角函数系就是线性空间的一组正交基，该空间维度为无穷，函数在三角函数系上展开就是向量在基底上线性表出，两者过程基本一致。
1. 用三角函数系表示周期函数
假设一周期函数 $f(t)$ ，其周期为 $T$ ，将 $f(t)$ 变换到三角函数为基地的空间，得到傅里叶级数：
这里可能会有两点疑惑：
- 有些地方写的是 $a_0 + ...$ ，求和从1开始；两者是一样的，这里求和从0开始，当 $n=0$ 时， $sin0$ 值为0。
- 为什么只有频率参数，没有相位？这里每一组频率有两个分量，包含 $\cos、\sin$ 其实已经包含相位信息，逆向运用三角函数展开式可以化成 $\sin(wt+\phi)$ 的形式。
2. 三角函数基底的正交性
两个周期函数之间的分量计算，取函数乘积在一个周期内的积分： $\int{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2}} \cos(nwt)\cos(mwt)dt$ $= \frac{1}{2} \int{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2}} [\cos(m+n)wt + \cos(m-n)wt]dt $ $=$ $(when: m=n)： \frac{1}{2} \int{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2}} \cos0 dt = \frac{T}{2}$ $(when: m\ne n)： \frac{1}{2} \int{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2}} \cos0 dt = \frac{T}{2}$ 这里只证明了三角函数系的正交性，没有证明收敛性。
latex附录 式(a)： f(t) = \sum_{0}^{+\infty }[a_n\cos(nwt)+b_n\sin(nwt)]，w=\frac{2\pi }{T}
傅里叶变换各种信号处理的基础，可以将信号从时域转换到频域。
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