还是P137页的7.2.5 monad vs monoid

Monad 就是自函子范畴上的一个幺半群

但是举了这么些例子，怎么一点也看不出来 monad 与 monoid 的关系呢？倒是很明确 Monad 是个比较特殊的 Functor。

我们需要进一步的抽象才能解释这句话，首先，回顾前面 Monoid 的知识，比如那个 Sum 的 Monoid。

Sum.of(1).append(Sum.of(2)).append(Sum.of(0)) // => Sum.of(3) 这个 Monoid 很明显，它的二元操作是 append ，幺元是 Sum.of(0) ，范畴是 Sum 。为了更明显我们可以降一个维度（范畴），把 Sum.of(1) 降成 1

(1 + 2 + 0)

但是 Monad 哪来的二元操作啊？一个 flat ，一个 fmap ，都是一元操作啊？

如果我们降一个维度，到只有数字的维度上，

(1.2).3 = 1.(2.3) 二元操作 + 可以使得这个等式成立。而幺元 0，又可以使得

0.2 = 2 = 2.0 在二元操作 + 上成立。

所以我们得到的 monoid 为 (数字集合，二元操作 + ，幺元 0)。

同样的，上升到函子的范畴上[fn:3]，注意是自函子范畴上的幺半群，就代表的是函子范畴而不是函子实例是幺半群，所以以 Maybe 为例，就需要符合：

(Maybe.Maybe).Maybe = Maybe.(Maybe.Maybe) 能找到一个二元操作使得上式成立？而不是：

(Just.of(1).append(Just.of(2))).append(Just.of(3)) = Just.of(1).append(Just.of(2).append(Just.of(3))) 这个二元操作就是我们刚实现的 Just Monad 的 flat。我们很容易可以把 flat 代入到式子变换成以下格式，

flat(flat(Maybe.Maybe).Maybe) = flat(Maybe.flat(Maybe.Maybe)) 其中的 . 是两个类型组合在一起。如同函数的组合是 f.g x= f(g(x)) ，在函子范畴上的组合就是 Maybe 类型的值，在一个 Maybe 类型的容器中：

Maybe.Maybe = Maybe[Maybe] 再代入一遍，就非常清晰结合律的等式是成立的了：

flat(flat(Maybe[Maybe])[Maybe]) = flat(Maybe[flat(Maybe[Maybe])]) 大声念出来应该就是： flat 一个容器为 flat(Maybe[Maybe]) 类型，其值类型为 Maybe 得到的类型等于， flat 一个 Maybe 类型，其内值类型为 flat(Maybe[Maybe]) 所得到的类型。

听起来比较像绕口令，仔细看看等式就能理解了。另外一个 monoid 的法则是需要有一个幺元，满足：

?.Maybe = Maybe = Maybe.? 我们很容易能猜到把 Maybe 代入就是我的解，因此任何 Maybe 类型都是幺元：

flat(M[M]) = M = flat(M[M]) 所以，flat 就像 moniod 里的 append 一样，但是它并不连接值或是容器，而是连接函子组合，让函子在不同范畴间变换

到这里，我可以告诉你现在的 Just 就是 Monad 了，它是 Functor 的加强，把 fmap 的结果铺平（flat）。同时又是 Applicative 的加强， Applicative 让我们可以用一般函数作用到在容器中的值，而 Monad 让我们可以把一个容器中的值传入一个接收值的函数中，并返回同样的容器

上面的内容前半段能看懂，但从

同样的，上升到函子的范畴上[fn:3]，注意是自函子范畴上的幺半群，就代表的是函子范畴而不是函子实例是幺半群，所以以 Maybe 为例，就需要符合：

这段开始就很费解了。还请作者，对上面的文字推理再进行仔细思考，能否有好的表达? 我是几个月后，再来阅读时，还是堵住了。

另外，我觉得不是flat而是flatmap才是monad幺半群上的二元运算符? 拜托解疑

jcouyang / clojure-flavored-javascript