第一章 量化交易基础：成对交易与优化

[jimjinyan]

1. 成对交易

• 找出两只走势相关的股票， 这两只股票的价格差距长期来看在一个固定的水平内波动， 如果价差暂时性的超过或低于这个水平， 就买多价格偏低的股票， 卖空价格偏高的股票。 等到价差恢复正常水平时， 进行平仓操作。

涉及到的基础概念

1. Timeseries-时间序列
   • 按时间发生先后顺序排列的数据点序列
   • 把一系列离散的和时间相关的一维数据转化为二维时间， x轴为（通常）时间间隔 y轴为数据。

2. Stationary - 平稳过程 2.1 严格平稳（或强平稳）

   • 是一种特殊的随机过程： 当时间变化时， 无条件（意味着对起始时间点没有要求）的联合概率分布不发生变化。
     • 平均值、方差不随时间发生变化。 如白噪音
     • 联合概率分布之和时间差值有关， 和其它参数都无关。 2.2 N-th order Stationarity
   • N-th 意味这n个样本的随机过程和该样本平移时间n后的分布是一样的。

   2.3 弱或者广义平稳过程（WSS）

   • WSS只要求第一动量（如， 均值）和自相关系数不随时间变化而发生变化。 同时，第二动量（如方差）在所有时间内为有限的。
   • 这样，满足WSS的时间序列就是在希尔伯特空间里， 那么很多欧式空间里的方法就可以用在此时间序列中了。

• 两种平稳过程并没有包含关系，即弱平稳不一定是强平稳，强平稳也不一定是弱平稳
  • 强平稳是事实上的平稳（同分布）；
  • 弱平稳是统计量在观测意义上的平稳（均值、方差)
• 那么，为什么我们需要时间序列的统计性质关于时间平移不变呢？因为我们研究时间序列很重要的一个应用（或者出发点），是希望通过时间序列的历史数据来得到其未来的一些预测。换句话说，我们希望时间序列在历史数据上的一些性质，在将来保持不变，这不就是时间平移的不变性么？反过来想，如果时间序列不是平稳的，由历史数据得到的统计性质对未来毫无意义，那么研究时间序列还有什么意义呢？参考资料
• The reason I took up this section first was that until unless your time series is stationary, you cannot build a time series model.

3. Order of Integration -单整阶数 （I(d)）（https://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_integration）

   • 是时间序列的一个统计学的指标（总结）， 它表明使一个时间序列为平稳过程（WSS）的最小的d阶差分。
   • 注意I(0)的定义为$$\sum_{i=0}^{\infinit}|a_i|^2<\infinit$$.这个定义， 相对于严格平稳来说， 是松的。 他是弱平稳。

4. Correlation-相关

   • 显示两个随机变量之间线性关系的强度和方向
   • 计算方式就是标准化后的X和Y乘积的平均数。

5. Cointergration-协整

   • Two or more series are individually integrated (in the time series sense) but some linear combination of them has a lower order of integration, then the series are said to be cointegrated （所以这两个量不能为I(0))
   • 一个常见的单位根检验方法是Dickey-Fuller test，大致思路如下：假设被检测的时间序列Yt满足自回归模型Yt=αYt−1+εt，其中α为回归系数，εt为噪声的随机变量。若经过检验，发现α<1，则可以肯定序列是平稳的
   • 如果为了排除扰动项的自相关可能， 就需要引入Y的高阶之后， 如Y(t-2), Y(t-3)...等。 这个时候就是ADF检验。

协整和相关的区别：

• 协整是说两个变量X， Y之间的差值，总是在一个固定区间内， 只要在一个固定区间内， X和Y的走势方向是可以不同的。 而相关是说， X，Y的走势是相同或相反的， 但我们并不知道两个变量之间的差值是多少。
• One of the best explanations of cointegration is as follows: “A man leaves a pub to go home with his dog, the man is drunk and goes on a random walk, the dog also goes on a random walk. They approach a busy road and the man puts his dog on a lead, the man and the dog are now cointegrated. They can both go on random walks but the maximum distance they can move away from each other is fixed ie length of the lead”. So in essence the distance/spread between the man and his dog is fixed, also note from the story that the man and dog are still on a random walk, there is nothing to say if their movements are correlated or uncorrelated.With correlated stocks they will move in the same direction most of the time however the magnitude of the moves is unknown, this means that if you’re trading the spread between two stocks then the spread can keep growing and growing showing no signs of mean reversion. This is in contract to cointegration where we say the spread is “fixed” and that if the spread deviates from the “fixing” then it will mean revert.
• 两个数列相关， 那是否可以用一个数列预测另一个呢？它是不能的， 因为，即使相关， 他们的相关系数， 在时间维度上是稳定的吗？如果不是， 那就不能做预测！但如果两个数列是协整的， 那么就可以用来做预测。

6. Buy， Sell， Long， Short的意义

   • Long包含Buy同时还代表了买进之后的方向是多头部位。（做多， 现在手上没有股票）
   • Short包含Sell同时还代表了卖出之后的方向是空头部位。（做空， 现在手上没有股票）

7. Hedging-对冲

   • An investment position intended to offset potential losses or gains that may be incurred by a companion investment
   • 对冲位置（Hedging Position）
   • 找到一对long/short的投资组合（股票）

成对交易-Pairs trading

1. 找到有协整关系的两只股票： X， Y。 即找到了对冲位置
   • 注意这里的X， Y一般为I(1).
   • 找配对股票时， 切忌撒网扑鱼似的找， 应为当股票变多时， 会有概率是两只股票偶然发生协整。 所以，数据上的检验只是辅助手段。 需要做基本面判断和分析。
2. 计算spread，从而确定波动区间
   • 根据定义， 应为X， Y是协整的， 所以存在一个关系$y_t-\betax_t = \mu_t$. 因为已知X， Y， 我们要算的就是$\beta$。 如何算呢？就是最小二乘法得到
3. 等待， 当两只股票的价差过大时， 做多低价股票， 同时做空高价股票。 等价格回归后， 平仓。
   • 定义， 多大算大？可以对比不同边界下的盈利能力来得到最优边界。

• 特点
  • 无视大盘涨跌
  • 降低亏钱风险
  • 做空，做多仓位需由统计学计算给出

具体代码，见jupyter文件

几个比较好的时间序列参考文章

• 1
• 2
• 3
• 11 classical time series forecasting methods in python