A Bayesian approach to estimate the marginal loss distributions in operational risk management

[kwoongbae]

• https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0167947307003647
• Dalla Valle, L., & Giudici, P. (2008).

[kwoongbae]

1. Introduction

• OpRisk는 데이터 수가 부족함. (특히 꼬리분포쪽)
• AMA (Advanced Measurement Approach, LDA)로 OpRisk를 추정하지만, 부정확하며 데이터가 많이 없다는 단점이 존재함 (OpRisk의 정의 및 관리가 최근 들어서 이루어졌기 때문)
• 따라서 베이지안 추론과 시뮬레이션 기법(Markov chain Monte Carlo method)으로 위 문제를 해결.
• 이를 통해, 손실의 marginal distribution의 모수를 추정하고자 함.

[kwoongbae]

3. The model

• 빈도 분포는 주로 포아송분포, 음이항 분포를 따르며, 심도분포는 지수분포, 감마분포, 그리고 파레토분포를 따른다. (Johnson et al, 1994)
• 본 논문은 classical한 방법론 말고 Bayesian method를 사용함 + MLE (일반적으로 MLE가 실제값에 거의 확실하게 수렴하여 점근적 특성이 우수하므로)
• 그리고 MCMC로 빈도분포와 심도분포 convolution
• convolution한 loss 분포를 가지고 risk measure (VaR, ES)를 평가함.

[kwoongbae]

4. Application

4.2 Marginal parameter estimates: the classical approach

• intersection 1부터 8까지에 대해서 각각 추정을 하였음.
• MLE 기반으로 빈도 분포 (poisson, nbinom)와 심도분포 (exp, gamma, pareto)에 대해서 추정.
• 그리고 Poisson-Exponential과의 결합으로 K-S test 진행함.

4.3 Marginal parameter estimates: the Bayesian approach

• Two combinations --> Poisson-Exponential & Nbinom-Pareto

4.3.1 The Poisson-Exponential

• $n_t \sim Poi (\lambda), \ \lambda \sim \Gamma(a,b)$
• $X1,...,X{n_t} \sim Exp(\theta), \ \theta \sim \Gamma(c,d)$